D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret 09.10.2021
Durée de l’épreuve : 3h00 L’usage de la calculatrice est autorisé.
L’énoncé de ce devoir comporte 9 pages.
â La numérotation des exercices doit être respectée.
â Les résultats doivent être systématiquement encadrés.
â Les pages doivent être numérotées de la façon suivante : n˚page courante/nombre total de pages.
â Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
â Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené à prendre.
Problème 1 – Une solution pour rendre l’eau potable
Il existe plusieurs solutions pour rendre potable de l’eau trouvée en chemin, par exemple issu d’une source.
L’une d’elle est l’ajout d’une solution d’alcool iodé. On consultera les documents 1 à 5.
Doc.1 – Comment rendre l’eau potable
Doc.2 – D’après le guide « Antiseptiques et désinfectants » du centre de Co-
ordination de la Lutte contre mes Infections Nosocomiales de l’Inter-région
Paris-Nord
Doc.3 – Alcool iodé à 1% (d’après la fiche de l’Agence Nationale de Sécurité du médicament). Premier extrait.
1. On souhaite préparer la solution d’alcool iodé en suivant le descriptif du document 3. préciser le matériel le plus adapté à utiliser pour :
— obtenir les 5 mL d’eau purifiée,
— préparer les quantités adéquates de diiode solide et d’iodure de potassium solide.
2. Le processus de désinfection de l’eau repose sur des réactions chimiques. Quelle est la nature de ces réactions chimiques ? On ne demande pas d’équation bilan de réaction.
3. Expliquer pourquoi il y a un délai entre l’utilisation du désinfectant et le moment où l’on peut consommer l’eau. Ce délai s’allonge lorsque la température diminue : pourquoi ?
On s’intéresse maintenant au dosage du diiode.
Doc.4 – Alcool iodé à 1% (d’après la fiche de l’Agence Nationale de Sécurité du médicament). Deuxième extrait.
Doc.5 – Données
4. Faire un schéma annoté du dosage avec la verrerie et les solutions utilisées.
5. Dans l’alcool iodé, la substance qui réagit avec les ions thiosulfate S2O2−3 lors du dosage est le diiode.
Écrire la réaction de dosage.
6. La constante d’équilibre de cette réaction vaut :
K◦= 10
E◦(I2/I−)−E◦(S4O2−
6 /S2O2−
3 ) 0.03
Calculer et commenter.
7. Comment l’équivalence est-elle repérée dans le protocole présenté dans le document 4 ?
8. Établir le lien entre la quantité de matièren(I2) de diiode présent dans la massemd’alcool iodé dosé, le volume V0 (exprimée en litres) de solution de thiosulfate de sodium versée à l’équivalence du dosage et la
Problème 2 – Théorie des rais : localisation d’un séisme et mesure de l’épaisseur de la croûte terrestre
Les ondes sismiques peuvent être induites de façon naturelle, suite à un tremblement de terre, ou de façon artificielle, à l’aide de charges explosives disposées sous terre. Leurs domaines d’investigation sont nombreux : localisation d’un épicentre de tremblement de terre, prospection pétrolière, mesure d’épaisseur de la croûte terrestre. . .Il existe deux grands types d’ondes sismiques : les ondes de compression (ondes P) et les ondes de cisaillement (onde S) (doc.6).
Le passage d’une onde sismique à l’intérieur d’un milieu solide peut-y induire localement deux types de déformations :
— une compression ou un étirement (déformation du milieu qui se fait parallèlement au sens de propagation de l’onde) provoqué par une onde sismique qualifiée d’onde P (onde longitudinale).
— une cisaillement (déformation du milieu qui se fait perpendiculairement au sens de propagation de l’onde) provoqué par une onde sismique qualifiée d’onde S (onde transversale).
Doc.6 – Ondes sismiques
1 – Estimation de la célérité des ondes sismiques
On ne s’intéresse qu’aux ondes de compression et on suppose que la propagation des ondes P à travers la croûte terrestre est analogue à la propagation des ondes de compression au sein d’une poutre. On considère donc une poutre solide, homogène, d’axe Ox, de sectionS constante et de masse volumique µconstante dont la déformation longitudinale est expliquée dans le document 7.
Soit une poutre, de longueur au reposeL0, fixée en son extrémité gauche. On décide de comprimer ou d’étirer la poutre en l’amenant jusqu’à la longueurL:
Doc.7 – Élasticité d’un solide
L’expérience montre alors que pour des petites déformations, il faut appliquer sur la sectionS située à droite une forceF~d telle que :
F~d=ESL−L0
L0 ~ux (R) où L−L0
L0
est l’allongement relatif de la poutre etE est une constante positive appelée le module d’Young.
la relation (R) est connue sous le nom de loi de Hooke.
1. Donner la dimension et l’unité légale du module d’Young d’un matériau.
On note ψ(x, t) l’onde de compression susceptible de se propager le long de la poutre. Cette onde ψ(x, t) vérifie l’équation de d’Alembert :
∂2ψ
∂t2 −c2∂2ψ
∂x2 = 0 avec c= s
E µ avecE le module d’Young du matériau etµsa masse volumique.
2. Quel peut-être le sens physique decvis-à-vis de l’onde ?
3. Estimer la valeur dec pour du granit, de densitéd= 2,4 et de module d’YoungE= 6×1010u·S·I·. 4. Calculer la longueur d’onde d’une onde sismique de fréquence f = 0,10 Hz.
2 – Théorie des rais
Dans cette partie, on décrit les ondes sismiques selon la théorie des rais, analogue à la description des ondes lumineuses dans l’approximation de l’optique géométrique. Ainsi, on appellerail’équivalent du rayon lumineux en optique. Cette théorie est adoptée pour :
— localiser et dater un séisme,
— mesurer l’épaisseur de la croûte terrestre,
— sonder le manteau.
2.1 – Positionnement et datation d’un séisme par la méthode des S-P
Dans cette question, on cherche à positionner et à dater un séisme qui vient d’avoir lieu à faible profondeur ; on considère que, dans ces conditions, les ondes sismiques se propagent du foyer du séisme jusqu’aux capteurs (sismographes) de façon rectiligne, avec des vitesses de propagation uniformes - et supposées connues -vP pour
De la même façon, on peut déterminer les distances, notées ∆2et ∆3, entre le foyer du séisme et deux autres sismographes. Les trois sismographes sont placés sur le sol en trois points A, B et C non alignés. On choisit l’origine O en A, et l’axeOx selon AB. On note (b,0,0) les coordonnées cartésiennes du point B, et (c, d,0) celles du pointC, celles du pointAétant évidemment nulles. On pourra supposer que les trois valeursb,cetd sont positives.
6. Montrer que la connaissance de ∆1et ∆2 permet d’affirmer que le foyer du séisme est sur un cercle dont le centre Ω(x,0,0) appartient au segment [AB]. Donner la valeur dexet du rayonrdu cercle en fonction deb, ∆1 et ∆2.
7. Montrer sans calcul que la connaissance deb,c,d, ∆1, ∆2et ∆3limite les positions possibles du foyer du séisme à un très petit nombre de points.
Dans la suite, on ne considérera que les ondes P, dont on notera simplement v la vitesse de propagation, par souci d’allégement.
2.2 – Mesure de l’épaisseur de la croûte terrestre
Les ondes sismiques vérifient également les lois de Descartes concernant la réflexion et la réfraction. On assimile la séparation « croûte terrestre - manteau » à un dioptre plan. Dans la croûte terrestre la vitesse de propagation des ondes est notéevC, dans le manteau elle est notée vm, et on suppose que vm est supérieure à vC. On introduit, pour chaque milieu, l’indice sismique, qui joue un rôle équivalent à celui de l’indice optique.
On notenC =c0/vC l’indice sismique de la croûte terrestre, et nm=c0/vm l’indice sismique du manteau, c0
étant une vitesse de référence.
8. Un rai sismique incident provenant de la croûte terrestre arrive au dioptre croûte-manteau sous l’angle d’incidence iC positif. Montrer qu’il existe une valeur limite, notéei0, de l’angleiC au delà de laquelle la réfraction n’est plus possible. Exprimeri0 en fonction devC et devm.
Lorsqu’un séisme a lieu en un point E (qu’on suppose en surface, pour simplifier l’étude), le sismographe placé enS enregistre, pour le seul type d’onde considéré (ondes P), 2 ou 3 signaux (voir fig.1) : une onde directe, une onde réfléchie et, dans certaines conditions étudiées dans la suite, une onde nommée « conique », qu’on peut décrire ainsi : le rai incident frappant le dioptre avec l’angle limite i0 donne un émergent qui rase, à la vitesse vm, la surface de séparation dans le manteau ; cet émergent rasant émet dans la croûte des rais émissaires, sous l’angle d’émergencei0, qui se propagent à la vitessevC.
Figure1 – Les différentes ondes se propageant du foyerE d’un séisme à une station sismographiqueS.H est l’épaisseur de la croûte terrestre, ∆ la distance entre l’épicentreE (assimilé au foyer) et la stationS.
9. Déterminer, en fonction deH et de l’angle limitei0introduit à la question précédente, la valeur minimale, notée ∆m, de la distance épicentrale ∆ pour que le sismographe placé en S puisse détecter l’onde conique.
10. Établir, dans le cas où ∆>∆m, la relation entre la profondeur de la croûte terrestreH et la duréeτ qui sépare les arrivées en S d’une onde directe et d’une onde réfléchie.
11. Une mesure effectuée dans les Alpes donne une valeur de τ = 3,91 s , pour une distance épicentrale
∆ = 105 km. En déduire la valeur numérique de la profondeur H, sachant que la vitesse sismique dans la croûte terrestre est, dans la région, de l’ordre de 6,2 km·s−1.
2.3 – Variation de la vitesse des ondes au sein du manteau
L’étude de la propagation des ondes sismiques dans la partie lithosphérique du manteau permet d’obtenir de précieux renseignements.
On assimile encore la surface terrestre à une portion du planXOY, l’axeOZétant vertical descendant (voir la figure 2).
Figure 2 – Un rai modélisant la propagation d’une onde sismique au sein du manteau.P est le point bas du rai.
On considère qu’à l’échelle de l’étude (profondeur de l’ordre de plusieurs dizaines de kilomètres), on peut faire abstraction de l’épaisseur de l’écorce terrestre ; on suppose que la vitesse des ondes sismiques est, pour toute direction de propagation, une fonctionv(Z) continue et croissante - que l’on cherche à caractériser - de la profondeur notéeZ.
On note ∆ la distance épicentrale : ∆ = ES. On étudie les rais situés dans le planEXZ.S est placé sur l’axeEX.
12. En assimilant la partie étudiée du manteau à un empilement de différentes strates telles quev00> v0 > v, montrer que la valeur absolue de la quantitép= sin(i(Z))
v(Z) est constante, pour un rai donné. On nomme paramètre du rai et note pcette valeur absolue, qui est fonction du rai considéré.
Chaque rai étudié ici possède un « point bas » noté P (voir figure 2), de profondeur notée h (et dont la valeur est fonction du rai considéré).
13. Établir une relation entre le paramètrepd’un rai et la vitesse de propagation des ondes au niveau de son point bas.
On considère deux rais issus deE, infiniment voisins, coupant le sol en deux pointsM etM0 (voir la figure 3).
On note ∆ la distance épicentrale du point M , et (∆−d∆) celle du pointM0;d∆ est un infiniment petit.
On admet que le point M’ et le point H, projeté orthogonal de M0 sur le rai passant par M, perçoivent simultanément l’onde sismique émise parE.
On note dtle temps (très court) entre les perceptions de l’onde enM0 et enM, eti(0) l’angle d’incidence, enZ= 0, du rai coupant le sol enM.
La portion de rai entreH etM peut ici être assimilée à sa tangente enM. 14. Montrer que la « vitesse apparente au sol »va= d∆
dt est reliée au paramètrepdu rai passant par le point M par la relation :
va= 1 p On admet la formule de Herglotz-Wiechert :
h(∆) = 1 π
Z ∆0=∆
∆0=0
Argch
va(∆) va(∆0)
d∆0
On suppose connu le graphe, obtenu expérimentalement, de la fonctiont(∆) qui relie le temps de propagation de l’onde (deE àS) à la distance épicentrale ∆ =ES.
15. Montrer, sans calcul, qu’il est alors possible de déduire des points du graphe la vitesse de propagation des ondes sismique en fonction de la profondeur v(Z)
