D.Malka – MPSI 2021-2022 – Lycée Jeanne d’Albret 23.10.2021
Durée de l’épreuve : 3h00 L’usage de la calculatrice est autorisé.
L’énoncé de ce devoir comporte 6 pages.
â La numérotation des exercices doit être respectée.
â Les résultats doivent être systématiquement encadrés.
â Les pages doivent être numérotées de la façon suivante : n˚page courante/nombre total de pages.
â Il ne faudra pas hésiter à formuler des commentaires. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.
â Si, au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous semble être une erreur d’énoncé, signalez le sur votre copie et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous êtes amené à prendre.
Problème 1 – Capture d’empreintes digitales par réflexion totale frus- trée
Il existe différentes technologies de capteurs d’empreinte digitale, c’est-à-dire de dispositifs permettant d’ob- tenir une image numérisée d’une empreinte digitale, le plus souvent à des fins d’identification. Certaines de ces technologies sont embarquées dans des smartphones. La technologie dite « capteur optique d’empreinte digitale » est très employée, elle repose sur le phénomène de réflexion totale frustrée qui est l’objet de cette étude.
Figure 1 – Capteur d’empreinte digitale (Wikimedia, Rachmaninoff, 2009-10-21)
Le doigt est posé à plat sur l’hypoténuse d’un prisme droit isocèle taillé dans un verre d’indice optique noté n. Il est éclairé par une diode laser de longueur d’ondeλ0dans le vide. L’image de l’empreinte digitale à travers un système optique est formée sur un capteur CCD puis numérisée. La figure 2 décrit le schéma de principe de ce dispositif.
Figure 2 – Principe d’un capteur optique d’empreinte digitale
En première approche, le système optique se résume à la traversée d’un dioptre (D) et d’une lentille conver- gente (L) (fig.3). Si A est un point objet de l’empreinte digitale, alors on note A1 l’image deA à travers le dioptre (D) et A01celle de A1à travers la lentille (L) :
A−→(D) A1−→(L) A01 On définit également les longueurs algébriques suivantes :
D1=A1A01, D=AA01, p=OA1, p0=OA01.
Figure 3 – Schéma optique
1 - Lumière émise par les diodes
L’éclairage du doigt est assuré par des diodes laser dont on donne le spectre normalisé figure 4.
200 300 400 500 600 700
f ( THz )
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
I/ I
mFigure4 – Spectre des LED. 1 THz = 1012Hz.
1. Caractériser le spectre des diodes laser utilisée.
2. Estimer la valeur de la longueur dans le vide λ0 de la radiation émise par les diodes. Á quelle couleur correspond-elle ?
3. Représenter graphiquement le signals(t) associé à cette radiation. Le cas échéant, on indiquera la période du signal et on donnera sa valeur.
2 - Conception du système optique
L’objectif ici est de choisir la distance focalef0de la lentille et sa position, par exemple en déterminantp0. À cet effet, on donnen= 1,5,L= 3 cm,D= 10 cm et le grandissement transversalγ=p0/pdu système optique.
1. Reproduire le schéma fig.5 et indiquer les angles d’incidence i et de réfraction r du rayon lumineux au pointI. Donner le lien entreiet r.
2. Rappeler ce qu’on appelle conditions de Gauss en optique.
3. Montrer que, dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison entre A et A1 par le dioptre plan formé par la face de sortie du prisme s’écrit HA1= 1
nHA(fig.5).
Figure5 – Interface de sortie du prisme
4. Déterminer alors f0 en fonction de D1 et de γ à l’aide de la formule de conjugaison de Descartes : 1
p0 −1 p= 1
f0.
On souhaite déterminer la condition portant sur la distance focalef0 d’une lentille convergente si l’on veut former l’image réelle sur un écran situé à une distanceD1d’un objet réel. On donne le graphe représentatif de la fonctiong:u7→ (1−u)2
u (fig.6).
2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
u
10 8 6 4 2 0 2 4
g ( u )
Figure6 – Fonctiong:u7→(1−u)2 u
5. Montrer queγ <0.
6. Déterminer alors l’inégalité vérifiée parf0 et D1.
7. Applications numériques. On suppose γ = −2. Quelle est la focale de la lentille et à quelle distance la place-t-on devant l’écran ?
8. On souhaite avoir une image la plus agrandie possible (|γ|maximal), mais sans augmenter l’encombrement du dispositif, ce qui impose de ne pas augmenter la longueurD1. Dans quel sens faut-il faire varierf0?
3 - Résolution de l’image
Dans cette sous-partie, on fait abstraction du prisme, on considère que l’empreinte est positionnée en A1au lieu deA.
Une empreinte digitale est faite de sillons de profondeur moyenne e= 30 µm et dont deux crêtes voisines parallèles sont distantes dea= 100 µm. On notelcla largeur d’un pixel (considéré comme étant de forme carrée) du capteur CCD. On cherche à obtenir l’image des crêtes du sillon sur le capteur CCD : la lentille conjugue le plan des crêtes, où se situeA1, à l’écran CCD (fig.7).
Figure 7 – Modélisation d’un sillon du doigt
Sur la figure fig.8, les pointsM1,M2etM3détaillent le motif de l’empreinte et leurs images respectivesM10, M20 et M30 détaillent l’image de l’empreinte. On remarque que le point M20 ne se forme pas tout à fait sur la surface du CCD, les rayons lumineux délimités par la monture de la lentille viennent former une petite tâche circulaire de diamètreφ.
Figure 8 – Formation de l’image d’un sillon d’empreinte digitale
On note p0 la distance entre la lentille et la surface du CCD et |p| avec p <0, la distance entre la lentille et le plan formé par les points objets M1 et M3. On note alors γ=p0/p le grandissement entre les couples de points conjugués (M1, M10) et (M3, M30). On a γ=−2.
9. En faisant abstraction de la tâche formée par M2, à quelle condition sur a et sur lc peut-on distinguer deux crêtes successives ? Quelle taille de pixel recommandez-vous ?
10. On notedle diamètre de la monture de la lentille (L). Montrer queφ=γde
p, dans l’approximatione |p|. On donne 1
1−u≈1 +usiu1.
11. On voudrait que seules les crêtes soient nettes sur l’image et donc que les creux apparaissent flous. Quelle inégalité doit alors vérifier le diamètre d de la monture ? Montrer, en argumentant sur les ordres de grandeur, que c’est contraire au respect des conditions de Gauss.
4 - Réflexion totale
Un montage simple avec une lentille ne permet donc pas de capturer facilement les empreintes digitales de sorte que seules les crêtes apparaissent sur l’image. On reprend donc le dispositif complet, incluant le prisme d’indicen= 1,5.
12. Définir la réflexion totale et en donner les conditions.
13. Étant donné la position de l’empreinte digitale, le strict énoncé des lois de Descartes permet d’expliquer l’éclairement du doigt par les LED (fig.2) afin de former son image sur le capteur CCD ?
Dans le montage proposé, la lentille permettra d’obtenir l’image du doigt sur l’écran du CCD. Néanmoins, il faut aborder l’optique ondulatoire pour comprendre comment le doigt est éclairé au travers du prisme (réflexion totale frustrée).
Problème 2 – Le microscope
Un microscope visuel est constitué d’un objectif et d’un oculaire qu’on assimile à deux lentilles minces convergentes. L’objectif doit donner de l’objet une image agrandie. L’oculaire rend cette image observable à l’œil nu.
On notera Li chaque lentilles minces, Oi la position de leur centre optique, Fi celle du foyer objet, Fi0 du foyer image et on notefi0 leur distance focale. On noteABles objets,Aétant leur position sur l’axe optique et ABleur taille algébrique. Ces objets sont considérés comme plans et perpendiculaires à l’axe optique. On note A0B0 l’image avecA0 sa position sur l’axe optique.
On redonne les relations de conjugaison d’une lentille mince :
− 1
OiA+ 1 OiA0 = 1
fi0 ou FiA.Fi0A0=−fi02 On redonne les formules du grandissement transversales par une lentille mince :
γ=A0B0
AB =OiA0 OiA
En annexe est fourni un schéma qu’il faudra compléter au fur et à mesure du problème.Cette annexe doit être rendue avec la composition.
1 - Modélisation du microscope
1.1 - L’objectif
L’objectif est assimilé à une lentille convergenteL1 , placée enO1 , de distance focalef10 =O1F10. 1. Exprimer le grandissementγ1 de cette lentille en fonction def10 et p1=O1A.
2. Où doit-on placer l’objetABpar rapport à l’objectif pour que son imageA1B1 à traversL1soit simulta- nément réelle et agrandie ?
3. Sur l’annexe, construireA1B1, l’image deABà traversL1 .
1.2 - L’oculaire
On note L2l’oculaire,O2 son centre optique de l’oculaire,F2son foyer objet etf20 sa distance focale.
4. Pourquoi faut-il régler la distance objectif-oculaire de façon à ce queA1=F2?
5. Sur l’annexe construire l’image A2B2 de AB par le microscope et indiquer le diamètre apparent α2 de A2B2.
6. Exprimer α2 en fonction deγ1,a=ABet f20.
2 - Caractéristiques d’un microscope
2.1 - Grossissement commercial et puissance du microscope
On rappelle que le grossissement commercial d’un instrument optique est Gc = α2 αref
avecαref l’angle sous lequel un observateur verraitABplacé au punctum proximum (distancedPPà l’œil) etα2le diamètre apparent de l’image par l’instrument optique.
7. Exprimer le grossissement commercial de l’oculaire Gc2du microscope en fonction def20 et dPP. 8. Exprimer le grossissementGc du microscope en fonction deGc2 etγ1.
9. On rappelle que la puissance commerciale P d’un instrument d’optique est définie par P = α2/AB. Montrer que la puissance du microscope vaut P =− G
dPP.
10. On dispose d’un microscope dont les caractéristique sont données au document 1.
Caractéristiques
— Type : Microscope biologique
— Tube : Binoculaire orientable sur 360˚avec réglage dioptrique
— Domaine d’emploi : Biologie, Botanique, Education, Enseignement, Entomologie
— Éclairage : LED
— Niveau : Avancé, Pro
— Garantie : 5 ans
— Condenseur d’Abbe avec diaphragme à iris
— Incl. surplatine intégrée
— Écartement inter-pupillaire réglable Spécifications
— Oculaires : WF 10x
— Diamètre de l’oculaire : 23.2 mm
— Objectifs : 4x, 10x, 40x, 100x (à immersion)
— Alimentation : 220/240V
Doc.1 – Le microscope utilisé
Ce microscope est-il assez puissant pour observer en détails une bactérie ?
2.2 - Profondeur de champ du microscope
11. Rappeler la définition et illustrer graphiquement la profondeur de champ de l’œil sain lorsqu’il n’accom- mode pas.
12. En vous appuyant sur des ordres de grandeur et sachant que la focale du cristallin de l’œil est d’environ 18 mm, estimer la profondeur de champ de l’œil sain lorsqu’il n’accommode pas.
13. Sur le microscope, la variation la distance de l’objectif à l’objet se fait au moyen d’une vis micrométrique.
Qu’en déduire sur la profondeur de champ ∆ du microscope ?
FIN
ANNEXEARENDREAVECLACOPIE NOM: PRENOM:
