Etude d’un centre d’usinage grande vitesse 5 axes - Corrigé

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Etude d’un centre d’usinage grande vitesse 5 axes - Corrigé

Q.1. O3O5= O₃O₄ +O₄D+DO₅ y.yr3 l3.zr3 l4.xr4 z.zr5

+ + +

= l4.xr3 y.yr3 (z l3).rz3

+ + +

=

Q.2. Le point O5 extrémité de l’outil se déplace dans le plan x(t) = cte = l4

Q.3. _{3 3}

3 3 3 3 4 3 5 3 3

/ O 3 / 5

O l .x y.y (z l ).z y.y z.z

dt O d dtO V d

V 5 5

&r

& r r r

r + + + = +

=

=

∈ =

(O5 a une réalité physique sur le solide 5, on peut appliquer le calcul direct).

Q.4. V_{O 5/3} (y.y₃ z.z)² y² z²

5

&

&

&r

& r + = +

∈ =

On a vitesse maximale sur l’axe Y : 40 m/min et vitesse maximale sur l’axe Z : 40 m/min.

→ VO _∈5/3 = 40²+40² =

5 56.5 m/min.

Q.5. Le point O0 se déplace dans le plan y(t) = cte = l1.

Q.6. _{3 0 1 1}

3 1 0 3 3 1 0 3 1 3 2 3 3

0 3 3

/ O 3 / 0

O z x.x l . .x

dt .d l x . x z . l y . l z . l x . dtx O d dtO V d

V 0 0

& r

&r r

&r r r r

r + − + = + = + θ

=

=

∈ =

(O0 a une réalité physique sur le solide 0, on peut appliquer le calcul direct).

Q.7. l0=0,1m et x&=0 → V_{O 0/3} 0,1. ₁.x₁

0

& r θ

∈ = → V_{O 0/3} 0,1. ₁

0_∈ = θ& m/s.

Avec .150 15,7 60

. 2

1 = π =

θ& rad/s → V_{O 0/3} 1,57

0_∈ = m/s.

Q.8.

0 1

2

Pivot d’axe (O0,zr₀

) 5

3 4

Pivot d’axe (O2,yr₃

)

Glissière d’axe (O4,yr₄

)

Glissière d’axe (D,zr₃

) Glissière d’axe

(A,xr₃

) θ0

x1

r y1

r

xr0

y0

r

z1

r = zr₀

θ1

3

2 z

z r

r =

3

2 x

x r

r =

z1

r x1

r

y1

r = yr₂

= yr₃ Q.9. Ω_S0/R3=Ω_0/3 =Ω_0/1+Ω_1/2+Ω_2/3=θ&₀.zr₁+θ&₁.yr₁

Q.10. V_{M 0/3} V_{O 0/3} MO_{0 0/3}

0 + ∧Ω

= _∈

∈ (Champ des vecteurs vitesse).

Avec MO_{0 0/3} (x_M.xr₀ y_M.yr₀ z_M.zr₀) (&₀.zr₀ &₁.yr₁) θ + θ

∧ +

+

−

= Ω

∧

→ MO₀∧Ω_0/3 =−(−x_M.θ&₀.yr₀+y_M.θ&₀.xr₀+x_M.θ&₁.cosθ₀.zr₀ −y_M.θ&₁.sinθ₀.zr₀−z_M.θ&₁.xr₁)

→ MO₀∧Ω_0/3 =x_M.θ&₀.yr₀ −y_M.θ&₀.xr₀−x_M.θ&₁.cosθ₀.zr₀ +y_M.θ&₁.sinθ₀.zr₀+z_M.θ&₁.xr₁

D’où : V_{M 0/3}.y₃ (x.xr₃ l₀.&₁.xr₁ x_M.&₀.yr₀ y_M.&₀.xr₀ x_M.&₁.cos ₀.zr₀ y_M.&₁.sin ₀.zr₀ z_M.&₁.xr₁).yr₃

&

r = + θ + θ − θ − θ θ + θ θ + θ

∈

→ V_M∈0/3.yr₃=x_M.θ&₀.cosθ₀−y_M.θ&₀.sinθ₀

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Q.11. _{O 5/3}

V 5_∈ = _{O 5/0}

V 5_∈ + _{O 0/3}

V 5_∈ (Composition de mouvement).

Et _{O 0/3}

V 5_∈ = V_M∈0/3+O₅M∧Ω_S0/R3 (Champ des vecteurs vitesse).

D’où : _{O 5/3}

V 5_∈ = _{O 5/0}

V 5_∈ + V_M∈0/3+O₅M∧Ω_S0/R3

Q.12. O5 se déplace sur la surface usinée des points M : O5 et M sont des points coïncidents de contact.

3 / 5 O₅

V _∈ = _{O 5/0}

V 5_∈ + V_M∈0/3+O₅M∧Ω_S0/R3 devient : _{O 5/3}

V 5_∈ = _{O 5/0}

V 5_∈ + V_M∈0/3

Q.13. Le cahier des charges impose une vitesse d’usinage constante. La relation de la question 12 devient :

0 / 5 O₅

V _∈ = _{O 5/3}

V 5_∈ – V_M∈0/3

→ _{O 5/0}

V 5_∈ =y.y₃ z.zr₃

&

&r + (v_x .x₃ v_y .y₃ v_z .z₃)

M M

M

r r

r + +

−

→ _{O 5/0}

V 5_∈ = v_x .x₃ (y v_y ).y₃ (z v_z ).z₃

M M

M

& r

& r

r + − + −

−

→ _{O 5/0}

V 5_∈ = v_x ² (y v_y )² (z v_z )²

M M

M + &− + &−

Pour respecter le cahier des charges il faut donc que : v_x ² (y v_y )² (z v_z )² cte

M M

M + &− + &− =

Robot de peinture - Corrigé

Q.1.

λ O

yr0

z1

r

y1

r

xr0

xr1

z0

r

A

α x1

r yr1

x2

r yr2

Azr₁ avec zr₁

= zr₂

β x3

r

z3

r xr2

z2

Byr₂ r avec yr₂

=yr₃

0 0

/ 1

=r

Ω 2/1 .zr2

&

α

=

Ω Ω3/2=β&.yr2

Q.2. ₁

0 1 0

0 / A 0 / 1 ,

A .y .y

dt OA d dt V d

V r & r

λ

= λ

=

=

= → V_A,1/0 =λ&.yr₁

Q.3. ₁

0 1 1 0

0 / B 0 / 2 ,

B .y H.z .y

dt OB d dt V d

V r r & r

λ

= +

λ

=

=

= → VB,2/0 =λ&.yr1

Q.4.

0 3 1

0 3 1 1 0

0 / P 0 / 3 ,

P z

dt .d L y . z . L z . H y dt . OP d dt V d

V r r r & r r

+ λ

= + + λ

=

=

=

Avec : = +Ω3/0∧ 3=

3 3 0

3 z z

dt z d dt

d r r r

3 2

2 .y ) z

z .

( r &r r

& +β ∧

α .zr2 zr3 &.yr3 rz3

& ∧ +β ∧

α

= .sin .yr2 &.xr3

& β +β

α

= D’où : V_P,3/0 .y₁ L.( .sin .yr₂ &.xr₃)

&

& r + α β +β

λ

=

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Q.5.

D z0

r

yr0

D O z0

r

xr0

P

1 1

2 2

3

3

0

Q.6. il faut projeter V_P,3/0 .y₁ L.( .sin .yr₂ &.xr₃)

&

& r + α β −β

λ

= dans le repère R0.

A l’aide des figures planes on obtient :

0

1 y

y r

r =

1 1

2 sin .x cos .y

y r r

r =− α + α sin .xr0 cos .yr0

α + α

−

=

2 2

3 sin .z cos .x

x r r

r =− β + β sin .zr₁ cos .(cos .xr₁ sin .yr₁) α + α β + β

−

= sin .zr₀ cos .(cos .xr₀ sin .yr₀)

α + α β + β

−

=

D’où : ^{VP,3/0=λ&.yr0 +L.}

(

^{α&.sinβ.(−sinα.xr0+cosα.yr0)+β&.}

(

^{−sinβ.zr0+cosβ.(cosα.xr0+sinα.yr0)}

) )

→ V = −L.α&.sinβ.sinα+L.β&.cosβ.cosα

Q.7. β& =0 et β=β₀ →^VP,3/0 ^.y0 ^L.

(

^.sin 0^{.( sin .x}0 ^{cos .y}0⁾

)

r

& r

& r + α β − α + α

λ

=

→V = −L.α&.sinβ₀.sinα

→λ& +L.α&.sinβ₀.cosα=0

D’où :

α

− β

=

α L.sin .sin V

0

& et λ& =−L.α&.sinβ₀.cosα→ β α

α

= β

λ .sin .cos sin

. sin . L . V

L ₀

0

& →

= α λ tan

& V

Q.8.

L sin b )

sin(π−β₀ = β₀ =

Q.9.

− α

= α b.sin

& V et

= α λ tan

& V après intégration on obtient les lois du mouvement.

Validation des performances d’un hélicoptère Ecureuil - Corrigé

Q.1.

{ }









λ

= =











Ω

=

0 A 0

0 / 1 , A

0 / 1 A 0 /

1 V.x .x

0

V r & r

r

V

_et

{ }







θ =ω

=









Ω

= 0

z . z . V

0 0 1 A

/ 2 , A

1 / 2 A 1 /

2 r

r

&r

V

Q.2.

{ } { } { }







= ω









λ + =







θ =ω

= +

=

0 0 0 A

A 0 0 0 A 0 / 1 1 / 2 0 /

2 V.x

z . x

. x . V

0 0

z . z

. r

r

& r r

r r

r

&r

V V

V

_→

{ }







ω

=

0 0 A 0 /

2 V.x

z .r r

V

Q.3. V_{M 2/0} V_{A 2/0} MA _2/0 V.xr₀ R.xr₂ .zr₀ V.xr₀ R. .yr₂ ω +

= ω

∧

−

= Ω

∧ +

= _∈

∈ → VM 2/0 V.xr0 R. .yr2

ω +

∈ =

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Q.4. _{0 2}

0 2 0 0

0 0

/ 2

M h.z (t).x R.x V.x R. .y

dt OM d dt

V d r r r r r

ω +

= +

λ +

=

∈ = → V_{M 2/0} V.xr₀ R. .yr₂

ω +

∈ = Q.5. V_{M 2/0} V_{M 2/0}.V_{M 2/0} V² R². ² 2.V.R. .xr₀.yr₂

ω +

ω +

=

= _{∈ ∈}

∈ avec xr₀.yr₂ =−sinθ

Vmaxi = V²+R².ω²+2.V.R.ω est obtenue pour −sinθ=1 soit lorsque xr₂ yr₀

−

=

Q.6. Application numérique : Vmaxi 5,1 38,7

3600 290000 .

2 7 , 38 1 , 3600 5

290000 ² _{2 2}

×

× +

× +



 



= 

Vmaxi 5,1 38,7

3600 290000 .

2 7 , 38 1 , 3600 5

290000 2 2

2

×

× +

× +



 



=  = 278 m/s soit Vmaxi = 1000 km/h

Q.7. Vitesse du son : 340 m/s → 85% de 340 m/s = 289 m/s > 278 m/s → C.d.C.F. respecté.