EXEMPLES DE PARTIES GÉNÉRATRICES D’UN GROUPE. APPLICATIONS.

(1)

�� EXEMPLES DE PARTIES GÉNÉRATRICES D’UN GROUPE. APPLICATIONS.

Sous-groupe engendré par une partie (c’est l’intersection des sous-groupes la contenant), partie génératrice

Exemple du groupe dérivé

I. Cas des groupes abéliens

I. A. Groupes monogènes et cycliques Le groupe ( Z /n Z , +)

[Rom��, §�.�-�/�.�/��.�, p��–��/��/��] [Per��, §�.�/�.�, p��/��]

Groupe monogène, cyclique, monogène/cyclique implique abélien

E��. (Z/nZ,+)est un groupe cyclique ànéléments engendré par1.

A��. Tout groupe cyclique ànéléments est isomorphe àZ/nZ. E��. Uⁿ ƒZ/nZ: considérerZ/nZ≠æUⁿ, k‘≠æe^2ikﬁ/n.

SiGest un groupe,ÈaÍoùaœGest isomorphe àZou àZ/nZpour unnœN^ú. P��. L’ordre dekœZ/nZest_k·nⁿ .

C��. (Z/nZ,+)est engendré par lesktels quek·n= 1.

E��. Z/8Zest engendré par1,3,5et7.

A��.

• Les sous-groupes d’un groupe cyclique sont cycliques.

• Si|G|=p,Gest cyclique.

D��. [�� ’E��]

PournØ2, on définitÏ(n)le nombre de générateurs de(Z/nZ,+).

E��. PourpœPet–œN^ú, on aÏ(p^–) =p^–(p≠1).

P��. [��-�� Z/nZ]

Pourd| n, il existe un unique sous-groupe deZ/nZd’ordred, engendré parⁿ_d et formé des éléments dont l’ordre divised.

P��. Sid|n,Z/nZcontientÏ(d)éléments d’ordred.

A��. n=q

d|nÏ(d)

I. B. Groupes abéliens finis

[Ulm��, Ch��, p��]

Groupe abélien de type fini, exemple des groupes abéliens finis T��. [�� ]

SoitGun groupe abélien de type fini. Alors il existe¸, r œ Nuniques et une unique suite d1 Ø d2 Ø · · · Ø d¸d’entiers supérieurs à2tels quedi+1 | dipour touti Æ ¸≠1et Gƒr¸

i=1Z/diZ◊Z^r.

C��. [�� ]

SoitGun groupe abélien fini. Il existe un unique entier¸et une unique suited1Ød2Ø· · ·Ø d¸d’entiers supérieurs à2tels qued1est l’exposant deG,di+1 | dipour touti Æ ¸≠1et Gƒr¸

i=1Z/diZ.

E��. Les groupes abéliens d’ordre24sont isomorphes àZ/24Z,Z/12Z◊Z/2Zet (Z/6Z)²◊Z/2Z◊Z/2Z.

R��. Dans le cas d’un groupe fini, on peut trouver des générateurs du groupe en trouvant un élément d’ordre l’exposant du groupe, puisque l’on montre qued₁est l’exposant deG. Une fois ce premier élément trouvé, on peut se restreindre à un sous-groupe deGet réitérer l’opération, via la théorie des caractères.

II. Groupe symétrique

[Rom��, Ch�, p��]

On noteSnle groupe des permutations denéléments.

II. A. Générateurs

Les cycles engendreSn. Application : décomposition en produit de cycles à support disjoints (unique à l’ordre près!)

P��. Toute permutation deSnse décompose en un produit de (au plusn≠1) transpositions.

E��. (4 3 1) = (4 3)(3 1) = (3 1)(1 4).

A��. La signature d’un élément‡deSnest déterminée par la parité du nombre de transpositions intervenant dans une décomposition de‡.

A��. Les familles suivantes engendrentSn:

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

(2)

Agrégation – Leçons ��– Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

• les transpositions(1i)2ÆiÆn,

• les transpositions(i i+ 1)1ÆiÆn≠1,

• la transposition(1 2)et le cycle(1 2 . . . n).

Utilité : petites familles de générateurs : deux éléments su�isent à engendrer le groupe

II. B. Groupe alterné

P��. Il existe deux morphismes deSndansC^ú: l’identité et le morphismeEqui envoie toute transposition sur≠1.

D��. On définit le groupe alternéAncomme étant le noyau de la signature.

P��.

• Eest à valeurs dans{≠1,1},

• La signature d’un¸-cycle vaut(≠1)^¸+1,

• Pour‡œSn, on aE(‡) = r

1Æi<jÆn‡(i)≠‡(j)

i≠j = (≠1)^i(‡)oùi(‡)est le nombre d’in- versions de‡.

P��. Anest un sous-groupe distingué deSn. Il est de cardinaln!/2.

L��. Anest le sous-groupe engendré par les trois cycles.

P��. PournØ5,Anest simple.

C��. PournØ5, les seuls sous-groupes distingués deSnsont{Id},AnetSn.

A��. [�� ]

• D(Sn) =An

• D(An) =AnpournØ5.

III. Groupes linéaires/spéciaux

SoitEunK-espace vectoriel de dimension finien, oùKest un corps commutatif Définition du groupe linéaire, deSL(E). Exemple des homothéties

On se ramène à l’étude deGLⁿ(K)via un isomorphisme, etGLⁿ(K)ƒGLⁿ(K) Proposition :uœGL(E)≈∆keru={0}≈∆Im(u) =E≈∆det(u)”= 0

III. A. Générateurs de GL

n

( K )

[Per��, ChIV, p��]

Homothéties, déterminant,uhomothétie si et seulement siustabilise toutes les droitesæsta- bilisateur de l’action deGL(E)sur les droites

Dilatations, propriétés des dilatations de rapportœ/ {0,1} Deux dilatations de même rapport sont conjuguées Transvections, définitions équivalentes

Les transvections sont conjuguées (dansSLⁿ(K)lorsquenØ3) Formule de conjugaison

SLⁿ(K)est engendré par les transvections,GLⁿ(K)est engendré par les transvections et les dilatations

Approche matricielle, pivot deG��

SLⁿ(K)est connexe par arcs

Z(GLⁿ(K))est l’ensemble des homothéties,Z(SLⁿ(K))est l’ensemble des homothéties de déterminant1.

Groupes dérivés

III. B. Groupe orthogonal/unitaire

[Per��, ChVI, p��] [CG��, §VII.�, p��]

Groupe orthogonal, engendré par les réflexions orthogonales. Groupe spécial orthogonal en- gendré par les renversements

Déplacement engendré par un nombre pair de réflexions Groupes dérivés

Application : groupe des quaternions sous forme matricielle, conjugué, norme d’un quaternion, produit scalaire associé, base(1,i,j,k)orthonormée,H =Iü^‹R,R-espace vectoriel de di- mension4. On définitSU2(C) ={hœH|N(h) = 1}.

T��. On aSU2(C)/{±I₂}ƒSO3(R).

III. C. Groupe diédral

[Aud��, ChIII/V, p��] [Rom��, §�.�.�/�.�, p��/��]

Sous-groupeD2ndeO²(R)des isométries préservant un polygone régulier ànsommets.

D2nest engendré par la symétrie et la rotation d’angle ^2ﬁ_n, d’ordres2et4, ce qui donne la liste des éléments deD2n.

A��. D2ns’injecte naturellement dansGL2(C), envoyant la rotation d’angle2ﬁ/n et la symétrie sur

R=3 cos(2fi/n) ≠sin(2fi/n) sin(2fi/n) cos(2fi/n)

4

et S=3 1 0 0 ≠1

4

Énumérations des isométries positives, des isométries négatives

(3)

Agrégation – Leçons ��– Exemples de parties génératrices d’un groupe. Applications.

��

Transvections, dilatations Groupe diédral

��

L’intérêt des parties génératrices est de réduire l’étude d’un groupe à ses générateurs, ce qui permet d’obtenir des propriétés de celui-ci, comme par exemple montrer la surjectivité d’un morphisme ou la simplicité d’un groupe.

��

Q Que peut-on dire du groupeG=È(i j),(1 2. . . n)Í? R Regardons l’action deGsurJ1, nK. Posons¸= (j≠i)·n.

Les éléments deGvont vérifier cette propriété. En e�etP((1 2))etP((1 2 . . . n))sont vraies, et siP(‡)etP(‡^Õ)sont vraies, alorsP(‡^≠1)etP(‡‡^Õ)le sont aussi.

AinsiP(‡)est vraie pour‡ œG. Or pourn Ø 3,P((1 2))n’est vraie que si¸ = 1. Ainsi si

¸>1,G”=Sn.

Réciproquement si¸= 1, on vérifie queG=Sn.

��

[Aud��] M.A��:Géométrie. EDP Sciences,��.

[CG��] P.C��et J.G��: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.

Calvage et Mounet,��.

[Per��] D.P��:Cours d’algèbre. Ellipses,��.

[Rom��] J.-E.R��: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

��.

[Ulm��] F.U��:Théorie des groupes. Ellipses,��.

￿￿￿ EXEMPLES DE PARTIES GÉNÉRATRICES D’UN GROUPE. APPLICATIONS.