1.2. Caractéristiques du mouvement

M. IV - DYNAMIQUE - OSCILLATIONS LIBRES

1. Oscillateur harmonique 1.1. Définition

• On considère un point matériel dont lʼénergie potentielle dépend dʼune variable de position x ; on étudie son comportement au voisinage dʼune posi- tion dʼéquilibre stable correspondant à une valeur x_e de la variable :

E_p(x) = E_p(x_e) + (x - x_e) !E_p

!x ^{(xe) +} 1

2^{(x - xe)}

2 !²E_p

!x^{2 (xe) + ...}

Lʼéquilibre stable en x_e correspond à un minimum de E_p, par suite : E_p(x) ≈ E_p(x_e) + K

2^{.(x - xe)}

2

où le coefficient K = !²E_p

!x^{2 (xe}) > 0 est nommé “raideur” de lʼoscillateur.

◊ remarque : la variable x doit être une longueur, mais le raisonnement peut se généraliser (déplacement proportionnel à un angle, ou autre…).

• Le point est soumis à une force “de rappel” de coordonnée (algébrique) : F_x = -!E_p

!x = -K.(x - x_e) (correspondant à la loi de Hooke).

Le mouvement au voisinage de l'équilibre est décrit par lʼéquation : xʼ^•• + ω²xʼ = 0 avec xʼ = x - x_e et la pulsation ω =

!

K m^.

☞

C ↔ k ; L ↔ m ; E_el = q²

2C ^{↔ Epe =} 1 2^kx

2 ; E_ma = 1 2^Li

2 ↔ E_c = 1 2^mv

2...

1.2. Caractéristiques du mouvement

• Les solutions de : x^•• + ω² x = 0 peuvent s'écrire : x = A cos(ωt) + B sin(ωt).

Les constantes dʼintégration sont déterminées par les conditions aux limites, par exemple : A = x(0) et B =

!

x^•(0)

" ^.

◊ remarque : on peut aussi noter : x = X_m cos(ωt + φ).

• Pour les petites oscillations, la période T = 2!

" ne dépend pas de

lʼamplitude (propriété dʼisochronisme).

• On vérifie que lʼénergie mécanique est constante : E_m = 1 2^mω

2.(A² + B²).

1.3. Exemple du pendule à ressort vertical

• Pour le pendule à ressort vertical : E_p = 1 2^kz

2 + mgz (avec l'origine à la position “à vide”). Lʼéquilibre donne : dE_p

dz = kz + mg = 0 donc z_e = -mg k (équilibre stable car d²E_p

dz² = k > 0).

◊ remarque : on peut écrire E_p = E_p(z_e) + 1

2^{k.(z - ze)}

2 avec E_p(z_e) = -m²g²

2k ^.

• En dérivant la relation : E_c + E_p = E_m (constante), on obtient ainsi lʼéquation du mouvement : z^•• + k

m z = -g, ou encore : zʼ^•• + k

m zʼ = 0 avec zʼ = z - z_e.

& exercices n° I, II, III et IV.

2. Oscillateur avec amortissement “solide”

• On considère un pendule à ressort horizontal avec frottement solide (de coefficient λ), et on étudie le cas où il y a oscillation (donc glissement).

La réaction normale

!

R du support compense le poids

!

P (mouvement horizon- tal) ; par ailleurs, tant quʼil y a glissement, le frottement f = λR (selon la direction et le sens contraire du mouvement) est constant (dans ce cas).

• On obtient lʼéquation différentielle : mx^•• = -kx - εf avec ε =

!

v v ⁼

!

signe v

( )

ce qui peut encore sʼécrire : x^•• + ω₀² x = - !f

m ^{avec ω0 =}

!

k m^. Pour un départ en x₀ > f

m!₀^{2 =} f

k > 0, à vitesse initiale nulle, on obtient : x^•• + ω₀² x = f

m puis la solution : x = f

k ^{+ Xm cos(ω0t) où Xm = x0 -} f

k ^{> 0.}

Pour un “redépart” en xʼ₀ = 2 f

k ^{- x0 < -} f

k < 0, à vitesse initiale nulle, on obtient : x = - f

k ^{+ Xʼm cos(ω0}t) avec Xʼ_m = x₀ - 3 f

k > 0, puis ainsi de suite.

Ceci donne une évolution par raccordement de portions de sinusoïdes déca- lées, jusquʼà lʼarrêt lors du premier passage à vitesse nulle dans lʼintervalle

!

" f

k < x < f k ^.

◊ remarque : le frottement solide est souvent la principale cause dʼincertitude des appareils de mesure à aiguille, car il correspond à un “intervalle dʼarrêt”

dans lequel la position finale est difficilement prévisible.

◊ remarque : la pseudo-période T₀ = 2!

"₀ est lʼintervalle entre les passage

par f

k des portions “descendantes” (ou - f

k pour les portions “ascendantes”), ou entre les maximums (ou les minimums) qui sont ici alignés ; par contre, il nʼy a pas exactement un décalage T₀ entre les points de tangence de lʼenveloppe (qui nʼest dʼailleurs pas exactement rectiligne).

3. Oscillateur avec amortissement “visqueux”

• On considère ici un pendule vertical avec frottement vis- queux (le coefficient de frottement est λ), réalisé en plongeant la masse m dans un liquide.

On peut tenir compte des interactions avec le fluide (poussée d'Archimède...) en “renormalisant” :

◊ la masse : mʼ = m + m_e (où m_e est la masse équiva- lente de fluide “entraîné” en oscillations avec l'oscillateur) ;

◊ le champ de pesanteur :

!

"

g =

!

g

!

m"m_d

m+m_e ^{(où md est la} masse de fluide “déplacé” par la présence de l'oscillateur).

◊ remarque : pour les expériences usuelles, m_e ≈

!

1

2^md ; dans la suite, afin de simplifier l'écriture, on note m et

!

g les quantités renormalisées.

• En prenant l'origine à lʼextrémité du ressort “à vide” : mz^•• = - mg - kz - λz^• ; ou bien, en posant α = !

2m ^{et ω0 =}

!

k m ^{: z}

•• + 2α z^• + ω₀² z = - g.

En prenant comme origine la position dʼéquilibre z₀ = -

!

g

"₀² , lʼéquation de- vient : z^•• + 2α z^• + ω₀² z = 0.

Cette équation est analogue à celle pour un circuit électrique “RLC” en régime transitoire (Lq^•• + Rq^• + q

C = 0), donc les solutions sont semblables :

◊ α² - ω₀² < 0 : régime pseudopériodique, amorti exponentiellement ;

◊ α² - ω₀² = 0 : régime apériodique “critique” (le plus vite amorti) ;

◊ α² - ω₀² > 0 : régime apériodique (amorti plus progressivement).

• Ceci peut se visualiser par un diagramme dans “lʼespace de phase”, repré- sentant la quantité de mouvement, ou la vitesse, en fonction de la position.

-1,0 -0,5 0,0 0,5

-1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5

x (m)

v/!0 (m)

◊ remarque : on peut utiliser v

!₀ si on veut une unité de longueur.

4. Exemple anharmonique : le pendule pesant

• Pour le pendule pesant, lʼénergie potentielle peut s'écrire : E_p = mgℓ.[1 - cos(θ)] et lʼéquilibre correspond à : dE_p

d! = mgℓ sin(θ) = 0 cʼest-à-dire à : θ₀ = 0 (équi- libre stable pour d²E_p

d!² = mgℓ cos(θ) > 0).

◊ remarque : on peut écrire E_p ≈ E_p0 + 1 2^{K θ}

2 avec E_p0 = E_p(0) = 0 et K = mgℓ.

• En dérivant la relation : E_c + E_p = E_m (constante), on obtient ainsi lʼéquation du mouvement : θ^•• +

!

g

! sin(θ) = 0, cʼest-à-dire : θ^•• +

!

g

! ^{θ ≈ 0.}

On retrouve un oscillateur harmonique pour les petites oscillations, mais la période des grandes oscillations dépend de leur amplitude.

• Pour un pendule à tige (un fil se plierait), lʼintégration de lʼéquation précé- dente (ou lʼénergie mécanique) donne :

!

"^•

#₀ ⁼

!

2 cos

( ( )

( )

)

0

%

&

' (

)*

2

. On en déduit le diagramme de phase suivant :

-3 -2 -1 0 1 2 3

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

!

!• /"0

◊ remarque : le profil d'énergie potentielle et en correspondance avec la

“coupe” selon l'axe horizontal du diagramme.

& exercices n° V, VI et VII.