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MP-2
TD 2 : Frottement solide
Exercice 1 D’apr`es Centrale 09
x
y O
α
On pose sur une plaque de verre inclin´ee d’un angleαvariable, un morceau de verre de masse m.
On cherche `a mesurer le coefficient de frot- tement du verre contre le verre not´eµet d´efini comme suit : tant que le verre ne glisse pas,
|T|~ 6|N|~ o`u ~T est la composante tangentielle de la r´eaction du support et N~ la composante normale. Lorsque le verre glisse,|~T|=µ|~N|. 1 - En supposant que le morceau de verre soit
immobile, exprimerT~ etN~ en fonction de m,αetg, l’acc´el´eration de la pesan- teur.
2 - Le morceau de verre commence `a glisser si α = 35◦, en d´eduire la valeur de µ.
Exercice 2 D’apr`es CCP 17, Oral Centrale 17 Un homme veut d´eplacer une caisse cubique
de masse m et de cˆot´e a d’une distance L = n×a, avec n entier. Le sol est horizontal. Le coefficient de frottement avec le sol estf = 0,2. Les deux strat´egies envisag´ees sont les suiv- antes :
• on traˆıne la caisse ;
• on fait basculer la caisse en la pivotant sur son coin puis on la fait tomber lorsque la hauteur maximale est atteinte.
Discuter la m´ethode n´ecessitant le moins d’´energie.
Exercice 3 D’apr`es Oral CCP 14
x
h
O m
1m
2On consid`ere le dispositif ci- contre.
Le fil reliant les deux masses est inextensible. Il n’y a pas de pertes dues `a la poulie.
`A t = 0, le fil entre les deux masses est tendu.
On lˆache la massem2d’une hau- teurh. La masse m1 s’arrˆete apr`es avoir parcouru une distance h+d sur le plan horizontal.
1 - D´eterminer une condition surm2 etm1 etf pour qu’il y ait mouvement.
2 - `A l’aide d’un th´eor`eme ´energ´etique, D´eterminer la vitesseV1 du mobile(1)
`a la fin de la premi`ere phase du mouvement lorsque le fil reste tendu.
3 - En D´eduire le coefficient de frottement solide f entre la table et la masse m1 en fonction de m1,m2,het d.
Exercice 4 D’apr`es E3A 17
On mod´elise une route relev´ee par un arc de cercle horizontal de rayon R et de centre O sur laquelle se d´eplace un v´ehicule de massem = 1,0.103 kg avec une vitesse suffisante pour ne pas glisser vers l’int´erieur du virage.
x O
R y z
q
q
er e M
O
R z
e b
r
e
qFigure 1: Principe du virage relev´e
M. BARTHES
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1 - Rappeler les expressions de la vitesse et de l’acc´el´eration d’un mouvement circulaire en coordonn´ees cylindriques (r,θ, z) d’origineOet d’axe verticalOz.
2 - On veut parcourir cette portion de route `a vitesse constante v0 avec un v´ehicule de masse m. Que peut-on dire de la vitesse angulaire de rotation sur l’arc de cercle ? En d´eduire l’expression de l’acc´el´eration du v´ehicule en coordonn´ees cylindriques.
3 - En projetant le principe fondamental de la dynamique en l’absence de force tangentielle, exprimer la composante normale N de la r´eaction de la route.
Montrer qu’il y a forc´ement une force T~ au cours du mouvement pour que la voiture ne glisse pas.
4 - ´Ecrire la d´ecomposition du vecteurT~ selon ~eret ~ezen fonction de sa norme Tet deβ. On admettra que la composante selon ~er est orient´e vers l’int´erieur du virage. Expliciter l’expression de sa norme en fonction deβ,m,v0 et R. 5 - Pour que le virage soit pris dans de bonnes conditions de s´ecurit´e, T doit ˆetre inf´erieure `a λN o`u N est la composante normale de la r´eaction et λ le coefficient de frottement. Montrer que pour qu’il en soit ainsi, la vitesse ne doit pas d´epasser une valeur maximalevmax qu’on exprimera en fonction deλ, g etR. Donner sa valeur num´erique sur route s`eche avec R = 150 m, β = 20◦ etλ= 0,70 (valeur des virages sur les circuits de courses de type Nascar).
Exercice 5
D’apr`es Mines MP 17
O x y
0
I
x (t) l
k V
0m
Figure 2: Mod´elisation d’un syst`eme ”Slip and stick ”.
Dans le r´ef´erentiel R li´e au support, on consid`ere un syst`eme masse-ressort repr´esent´e sur la fig- ure suivante. Une masse m est accroch´ee `a un ressort de raideur k, de longueur `a vide `0 dont l’extr´emit´e I anim´ee d’un mouve- ment rectiligne et uniforme `a la vitesse V~I = V0~ex. L’action du support sur la masse est mod´elis´ee
par une force de frottement solide de coefficientf.
1 - Le r´ef´erentielR(Ixyz) li´e au pointI peut-il ˆetre consid´er´e comme galil´een
?
2 - `A l’instantt= 0, on ax(0) = 0et`(0) =`0. Exprimer la longueur `(t) du ressort pourt >0, en fonction de `0,V0,x(t) ett.
3 - On suppose de plus quex˙L(0) = 0. Montrer que l’´evolution du syst`eme pour t >0 commence n´ecessairement par une phase de non-glissement. D´eterminer
`a quel instant t0 se termine cette phase.
4 - ´Etablir l’´equation du mouvement de la massem lors de la phase de glisse- ment. Identifier la pulsation propre ω0 du syst`eme.
5 - La solution de l’´equation pr´ec´edente s’´ecrit sous la forme x t0
= C1 cos ω0t0
+ C2 sin ω0t0
+ V0t0 avec t0 =t−t0
D´eterminer les expressions des constantes C1 et C2 correspondant `a cette phase du mouvement.
6 - Une simulation num´erique permet de repr´esenter l’´evolution de la solution math´ematique x(t0) et le portait de phase dx
dt en fonction de `(t0)−`0. Les param`etres choisis pour r´ealiser cette simulation sont ω0 = 2π rad.s−1, V0 = 1 m.s−1,`0 = 1 m,g= 10 m.s−1 etf = 0,5.
Figure 3: Simulation num´erique du mouvement.
Faire apparaitre, sur les deux figures, le point repr´esentatif de l’instantt0 = 0. Indiquer, en le justifiant, quel est le sens de parcours du portrait de phase.
7 - En justifiant votre raisonnement par desconsid´erations graphiques pr´ecises, indiquer si la phase de glissement perdure ind´efiniment.
M. BARTHES
