Inegalites de Bell

Travaux pratiques avancés I-II (PHQ560-660)

Professeur : Jerey Quilliam Coordonnateur : Guy Bernier

Département de physique Faculté des Sciences

Université de Sherbrooke

©Guy Bernier 2019

2 Introduction 5

3 Downconversion 7

4 Montage expérimental 11

5 Théorie 14

5.1 États de polarisation . . . 14

5.2 Paires de photons intriqués en polarisation . . . 15

5.3 Corrélations et paramètre de Bell . . . 17

6 Manipulations expérimentales 18 6.1 Instrumentation électronique . . . 18

6.1.1 Compteurs de photons . . . 18

6.1.2 Compteurs de coïncidences et module TAC . . . 18

6.2 Partie optique. . . 20

6.2.1 Réglage de chacune des voies . . . 20

6.2.2 Optimisation des coïncidences . . . 21

6.2.3 4.1 Coïncidences fortuites et signal d'obscurité . . . 21

6.2.4 Ajustement de l'état EPR . . . 21

6.2.5 Variation deP(Vα, Vβ)en fonction de |α−β|. . . 23

6.2.6 Principe de mesure du paramètre de Bell. . . 24

6.2.7 Mesure du paramètre de Bell . . . 25

6.2.8 Distribution temporelle des coïncidences.. . . 26

6.3 Caractérisation de l'état quantique . . . 26

6.3.1 Description d'états mixtes . . . 27

6.3.2 Calculs des probabilités avec la matrice densité . . . 29

6.3.3 Retrouver l'état quantique du système . . . 30

6.3.4 Enchevêtrement dans le domaine temporel . . . 30

6.3.5 Enchevêtrement dans le domaine spatial . . . 31

6.3.6 Description mathématique du système . . . 32

Annexe A Probabilités conditionnelles 36

Annexe B Calcul d'erreur pour le coecient S_Bell 37

Annexe C Exemple de calcul d'un projecteur dans mathématica 39

Annexe D Inégalités de Bell (forme CHSH) 40

Annexe E Diérence entre un état enchevêtré et un état mixte (pro-

babilité conditionnelles) 43

PHQ560-660 Inégalités de Bell

[Sécurité] : Vous devez obligatoirement avoir suivi la formation en sécurité laser pour faire cette expérience.

1 Remerciements

Depuis 1996, il est maintenant possible d'envisager une expérience de travaux pratiques pour vérier les fameuses Inégalités de Bell. Cela vient du fait qu'il existe maintenant des diodes lasers émettant à 405 nm (violet) qui permettent la génération de photons jumeaux dans l'infrarouge à l'aide de cristaux non-linéaires. C'est ce qu'a fait un groupe de professeurs de l'Institut National d'optique de Palaiseau, là-même où s'est eectuée la célèbre expérience¹ d'Alain Aspect et Philippe Grangier qui mettait en évidence pour la première fois la violation de ces inégalités.

Je dois d'abord remercier le professeur Alain Aspect, pour m'avoir mis en contact avec M.

Lionel Jacubowiez (coordonnateur de laboratoire) de l'équipe de Palaiseau. Un remercie- ment très spécial revient à M. Jacubowiez pour avoir mis ses documents à notre disposition et pour ses encouragements à réaliser chez nous cette expérience. La contribution d'un autre chercheur, celle du Dr Mark Beck du Whitman College, fut déterminante pour le choix de l'équipement et la façon de réaliser les mesures. Beck suggère l'utilisation de bres optiques : cela augmente la complexité à obtenir un signal élevé mais protège les très onéreux comp- teurs de photons utilisés dans cette expérience. Cette approche est plus sécuritaire dans le cadre d'un T.P. et permet d'initier les étudiants aux dicultés que l'on rencontre lorsqu'on veut coupler un faisceau invisible dans une bre de faible ouverture. Mark Beck enseigne lui-même la mécanique quantique et ses notes² nous sont accessibles par le Web. Il nous permet de les consulter et de les utiliser, sous condition de lui en attribuer la paternité.

Mark a également publié un livre : Quantum Mechanis Theory and experiment [9]. Son approche est remarquable car il met l'accent sur comment calculer les probabilités dans des expériences réelles. Ce livre est disponible en ligne via notre bibliothèque. Il y a un chapitre particulièrement intéressant sur l'intrication des photons. Un autre collaborateur important est le Dr Enrique J. Galvez (Colgate University N.Y.). Il travaille activement avec Mark Beck pour promouvoir ces expériences de Mécanique quantique.

Impossible de passer sous silence l'énorme contribution de M. Stéphane Pelletier pour la réalisation du module de détection des coïncidences ainsi que la carte analyseur de hauteur d'impulsions. Il a également conçu une alimentation pour les compteurs de photons avec des spécications particulièrement contraignantes an de protéger au maximum les photodiodes à avalanche qui sont si ecaces et en même temps si fragiles.

Une partie de ce document n'est qu'une adaptation du protocole qui m'a été transmis par Lionel Jacubowiez, responsable des Travaux Pratiques à Palaiseau. Il m'a permis de les re- transcrire et de les modier pour rédiger notre propre protocole de laboratoire. Mark Beck, Enrique Galvez et Alain Aspect seront également cités à plusieurs reprises lorsque j'utiliserai des sections de leurs propres documents. Je leur suis très reconnaissant pour cette collabo- ration qu'ils m'ont oert sans aucune hésitation. Je voudrais également remercier Julien Camirand-Lemyre (étudiant gradué) pour la rédaction de la section sur la caractérisation de l'état quantique et pour les nombreuses discussions que nous avons eues pour améliorer cette expérience.

1. http ://feynman.phy.ulaval.ca/marleau/pp/03epr/epr_3/epr_3.html 2. http ://people.whitman.edu/~beckmk/QM/

Guy Bernier

Responsable des Travaux Pratiques

2 Introduction

1935. . .

Le formalisme de la mécanique quantique, élaboré par Niels Bohr et l'école de Copenhague, permet de calculer non pas le résultat d'une mesure mais seulement la probabilité de trou- ver un résultat pour cette mesure. Cet aspect intrinsèquement probabiliste de la mécanique quantique laissait insatisfait Einstein et d'autres physiciens célèbres qui continuaient à pen- ser que la mécanique quantique était en quelque sorte une théorie incomplète. C'est dans cet état d'esprit qu'Einstein, Podolsky et Rosen proposèrent en 1935 cette fameuse expérience de pensée introduisant pour la première fois un système quantique de deux particules dans un état intriqué. Pour un tel système, la mesure de l'état d'une des deux particules per- met de connaitre de façon certaine l'état de la deuxième particule, sans qu'il soit nécessaire d'eectuer de mesure sur la seconde particule. Pour Einstein, Podolsky et Rosen, la connais- sance certaine de l'état de la seconde particule conduit à penser que celle-ci possède une ou plusieurs variables (ou paramètres) cachées (absentes dans le formalisme quantique) et ces auteurs concluent que la mécanique quantique est incomplète en ce sens qu'elle ne rend pas compte de la totalité de la réalité physique.

Bohr contesta immédiatement le point de vue d'Einstein, mais pendant trente ans la dis- cussion resta de nature épistémologique, le débat portant sur l'interprétation de la théorie quantique, mais non sur l'exactitude de ses prédictions qu'Einstein ne remettait pas en cause. Ce qui séparait les deux géants de la physique, c'était la possibilité d'introduire un niveau de description submicroscopique, la mécanique quantique n'étant qu'une sorte de mécanique statistique à un niveau supérieur. En quelque sorte, on aurait eu un schéma ana- logue à celui de la théorie cinétique des gaz, qui décrit de façon probabiliste les positions et vitesses des molécules d'un gaz, les positions et vitesses des molécules individuelles pou- vant être dénies et suivies dans le détail, au moins en principe. Alors qu'Einstein croyait que son expérience de pensée portant sur les paires intriquées démontrait l'existence de paramètres supplémentaires à un niveau submicroscopique, Niels Bohr armait que l'intro- duction de ces paramètres supplémentaires était non seulement inutile, mais même contraire aux principes même de la mécanique quantique. Comme les deux positions ne conduisaient pas à des prédictions diérentes pour les expériences, la majorité des physiciens semblait penser qu'en dénitive le débat ne portait que sur des positions philosophiques diérentes, et n'avait aucune conséquence concrète.

La situation changea radicalement en 1965, avec la découverte fondamentale de John Bell : il existe des situations pour lesquelles le raisonnement EPR ( introduction de variables cachées ) conduit à des prédictions quantitativement diérentes de celles de la mécanique quantique. Il devient alors en principe possible de trancher par l'expérience entre la mé- canique quantique et les théories à variables cachées. Après une première génération d'expériences (début des années 1970) héroïques mais pas complètement concluantes les technologies de l'époque étaient encore insusantes, l'équipe Aspect-Grangier-Roger- Dalibard allait eectuer en 1981-82, une série de trois expériences qui ont marqué l'histoire

des fondements de la mécanique quantique, par leur précision, mais aussi par l'introduction de schémas expérimentaux de plus en plus proches de l'expérience de pensée idéale discutée par les théoriciens.

Depuis les années 1975, les techniques ont évolué, et la source de paires de photons intriqués des travaux pratiques est basée sur un schéma développé vers la n des années 1980. Plus léger que le montage historique , ce schéma a permis vers la n des années 1990 à plusieurs équipes américaines, anglaises, suisses, autrichiennes, de conrmer, voire d'améliorer, les résultats de 1982-83. C'est ce type de source qui est aujourd'hui utilisée dans les applications de l'intrication en cryptographie quantique.

Les paires de photons intriqués en polarisation sont obtenues grâce à une diode laser violette à 405 nm focalisée sur deux cristaux non linéaires. Dans ces cristaux, un photon violet peut être transformé en une paire de photons jumeaux infrarouges à 810 nm émis symétriquement par rapport au faisceau de pompe. Ces photons sont ensuite détectés et comptés par des photodiodes à avalanche. La photographie montre la simplicité déconcertante du montage expérimental de base.

Figure 1 Montage utilisé pour vérier les inégalités de Bell.

Pour eectuer un test de Bell, il faut mesurer le nombre de paires de photons détectées pour diérentes positions des analyseurs de polarisation. On en déduit la mesure d'un certain paramètre, S_Bell, dont la valeur prédite par la mécanique quantique vaut, S_Bell= 2,82, alors qu'un raisonnement à la Einstein prévoit S_Bell ≤ 2. Les mesures sur l'expérience des Travaux Pratiques donnent en général : S_Bell≈2,50 avec un écart type de 0,02.

(L. Jacubowiez)

3 Downconversion

Les paires de photons sont produites à l'aide d'un cristal non-linéaire et d'une diode laser à 405 nm. Il s'agit d'un processus de conversion paramétrique spontanée (Type I sponta- neous downconversion³ ). Un photon pompe à 405 nm est converti en une paire de photons infrarouges à 810 nm. Comme le cristal de BBO est de type-I, le photon pompe doit être polarisé selon l'axe extraordinaire du cristal pour que deux photons infrarouges en ressortent polarisés selon l'axe ordinaire.

Une telle conversion est un phénomène spontané qui peut même se produire dans le vide, mais c'est le cristal non-linéaire qui augmente la probabilité que cela se produise. Sans ce dernier, il y aurait environ une conversion à tous les milliards d'années ! Le cristal utilisé est le BBO (β−BaB2O4 :β−Borate de Baryum). L taux de production de paires est très faible : inférieur à une paire produite pour un million de photons pompes.

Lors d'une conversion on doit conserver l'énergie et l'impulsion :

ωp =ω1+ω2 (1)

−

→kp =−→ k1+−→

k2 (selonx)ˆ npωp=n1ω1cosθ1+n1ω2cosθ2 (2) et

(selony)ˆ 0 =n₁ω₁sinθ₁+n₁ω₂sinθ₂ (3) où n1 est l'indice de réfraction à l'intérieur du cristal. Les angles θ1 et θ2 sont ceux des impulsions des photons 1 et 2 par rapport au faisceau pompe (Fig.2).

Note : La condition (2) est souvent appelée : phase-matching . Le problème est que les matériaux diélectriques ont normalement des courbes de dispersion sous- linéaires : ceci voulant dire que la fréquence des ondes qui se propagent dans ces matériaux augmente moins rapidement que leur vecteur d'onde associé.

C'est cela qui empêche la condition (2) d'être remplie. On doit donc utiliser des matériaux biréfringents où diérentes polarisations ont diérentes vitesses de phase an de satisfaire (2).

θ2 1

BBO θ

Figure 2 Émission des photons jumeaux (E.J. Galvez).

3. E.J. Galvez, C.H. Holbrow, M.J. Pysher, J. W. Martin, N. Courtemanche, L. Heilig, and J. Pencer, Am. J. Phys. 73, 127 (2005).

Siω₁ > ω₂, alors θ₁< θ₂. Comme le laser n'est pas totalement monochromatique, les cônes auront une certaine largeur angulaire.

On voit qu'après la conversion, nous n'obtenons pas des faisceaux mais bien des cônes de lumière. Pour notre expérience, nous sélectionnerons un tout petit échantillon de cette lumière dans le plan horizontal et à un angle tel queω1 =ω2=ωp/2. Dans ce cas dégénéré, (2) devient :

n_p =n₁cosθ₁ (4)

Dans le cas où l'on voudrait obtenir des photons infrarouges colinéaires (θ₁ =θ₂= 0), il faudrait que l'indice de réfraction du cristal soit le même à 405 nm et à 810 nm. Cela ne se retrouve pas dans la nature et on doit faire appel aux matériaux biréfringents pour y arriver.

Dans notre cas, les photons infrarouges auront une polarisation perpendiculaire aux photons de la pompe. Dans le cas du BBO, les indices de réfraction qui sont tracés à la gure (3) sont donnés par :

n0(λ) =

2.7359 + 0.01878/ λ²−0.01822

−0.01354λ²1/2

(5)

˜

ne(λ) =

2.3753 + 0.01224/ λ²−0.01667

−0.01516λ²1/2

(6) avec λdonné enµm.

400 1.52 1.56 1.60 1.64 1.68

500 600 700 800 900 1000

axe: o

Longueur d’onde (nm)

Indice de réfraction

axe: e

axe: e en accord de phase (≈ 29 degrés)

Figure 3 Indices de réfraction du BBO.

Pour un faisceau pompe polarisé selon l'axe e, nous obtiendrons des photons infrarouges polarisés selon l'axe o. On parle de polarisation complète selon e si la polarisation est parallèle à cet axe. Par contre, si la polarisation forme un angle avec l'axe optique du cristal,

l'indice de réfraction est modié (courbe en vert). On décrit normalement cette modication à l'aide de l'angleθentre la direction de propagation de la lumière et l'axe optique. L'indice de réfraction eectif n_e(θ) pour un angleθ est donné par :

1

n_e(θ)² = sin²θ

˜

n_e +cos²θ

n²_o (7)

Avec le bon accord de phase⁴ et le choix d'angle entre la pompe et l'axe optique du cristal, nous pouvons ajuster l'indice de réfraction pour satisfaire la condition (4). Dans ce cas, la paire de photons infrarouges voit un indice de réfraction identique à celui que voyait le faisceau pompe. La gure précédente montre que la courbe en vert (axe e en accord de phase) permet l'accord de phase (θ ≈ 29^o ) car on réussit à obtenir le même indice de réfraction (axe o) à 405 nm (courbe verte) qu'à 810 nm (courbe bleue). On peut donc obtenir une pompe et deux infrarouges croisés en polarisation. Si l'on désire que les deux infrarouges aient un angle de 3^o par rapport à la pompe, on choisiraθ= 29.4^o.

Question 1 : Supposons un cristal non-linéaire qui lorsque pompé par un laser à 405 nm produit des paires de photons à 810 nm (on avait donc l'accord de phase). Si l'indice de réfraction du cristal est de 1.659 à 405 nm et 1.661 à 810 nm, quel sera l'angle des faisceaux infrarouges par rapport au faisceau pompe ?

Même si la coupe du cristal est précise, les indices de réfraction sont toujours dépendants de la longueur d'onde et lorsqu'on achète une diode laser, la longueur d'onde spéciée n'est pas dénie avec grande précision. Pour cette raison, il faut placer le cristal sur un support de rotation muni d'un goniomètre orienté dans la bonne direction pour réussir à obtenir l'accord de phase.

Figure 4 Polarisation des photons pompes et des photons infrarouges.

4. http ://www.rp-photonics.com/phase_matching.html

Dans la littérature, vous retrouverez les termes signal and idler lorsqu'on parle des paires de photons jumeaux. Il faut également comprendre que les conditions (1) et (2) n'ont pas qu'une solution unique. La somme des énergies et des vecteurs d'onde est contrainte mais pas leurs valeurs individuelles. La gure suivante montre bien que si la fréquence est un peu plus élevée que la moitié de celle de la pompe, alors l'énergie sera conservée siω2 est un peu plus faible que ω_p/2. Dans cette situation, la conservation de l'impulsion fera que le signal à ω₂ sera émis à un angle un peu plus élevé par rapport à la pompe que celui du signal àω1. Cela nous dit que la lumière provenant de la down-conversion est émise dans un intervalle d'angles (fraction de degré), et de longueurs d'onde (quelques nanomètres).

Signal Idler

Figure 5 Distribution des longueurs d'ondes dans les photons jumeaux. Notez que les couleurs ne sont pas représentatives de l'énergie réelle des photons.

Vous trouverez plus d'information au sujet des indices de réfraction à la référence au bas de la page⁵.

Attention à l'humidité : Les cristaux de BBO sont hygroscopiques. Lorsqu'ils ne sont pas utilisés, ils doivent être conservés dans un dessicateur.

Pour obtenir un été intriqué en polarisation, on utilise pas un, mais bien deux cristaux de BBO ? Il s'agit d'un collage face à face de deux cristaux de BBO dont les axes optiques sont perpendiculaires entre eux. Les dimensions de chacun des cristaux sont de 5mm x 5mm x 0.5mm d'épaisseur. On doit éclairer ces deux cristaux avec un laser dont la polarisation est de 45^o par rapport à leurs axes optiques. De cette façon, si les cristaux sont susamment minces, on ne sait plus lequel a émis une paire !

5. http://www.tp.physique.usherbrooke.ca/experiences_chiers/Bell/web/betchart_thesis.pdf

D

ε θ

L

1

2

HH

HH VV

VV 1

2

VV e HHi^φ

 + 

 

Figure 6 Émission de paires de photons enchevêtrés. D est le diamètre du faisceau pompe et L l'épaisseur d'un cristal de BBO. Les cônes rouges représentent les paires de photons verticaux et horizontaux. Là où les cônes se superposent (la région mauve), on obtient des paires intriquées en polarisation. Les dimensions des cristaux ont été nettement exagérées pour n de clarté.

Bien que le montage soit fort simple, l'alignement reste un dé de taille pour les profanes et même pour les spécialistes. L'alignement a donc été eectué avant votre arrivée au labora- toire. Cela vous laissera plus de temps pour vous familiariser avec le système de mesure de coïncidences.

4 Montage expérimental

laser = sécurité maximale et optique = propreté absolue Avant de commencer à utiliser le montage, on doit prendre conscience des mesures de sécurité essentielles à respecter avec l'utilisation de lasers de classe-3b. Le laser à 405 nm donne un faisceau de 60 mW d'environ 1 mm de diamètre. Notre ÷il n'étant pas très sensible à cette longueur d'onde, le faisceau ne semble pas très puissant, mais il en est tout autrement.

Une exposition de l'÷il au faisceau direct peu produire des lésions irréversibles ou même la cécité. L'exposition de la peau est aussi à éviter car il y a risque de brulure. En fait, avec 60 mW sur un doigt, il faut 2 à 3 secondes pour sentir la brulure (un peu comme avec une loupe avec la lumière du soleil). Vous aurez à votre disposition des lunettes d'alignement qui ne bloquent pas totalement le laser mais qui diminuent appréciablement sont intensité pour vous permettre de travailler en toute sécurité. Ne jamais regarder un faisceau direct même avec ces lunettes ! On rappelle ici les principales consignes de sécurité à respecter :

Ne jamais vous pencher pour avoir les yeux à la hauteur du faisceau.

Enlever montre, bijoux et chaines pouvant produire une réexion.

Protéger votre coéquipier en l'avertissant de toute manipulation eectuée sur le fais- ceau pompe.

Aucune surface optique ne doit être touchée avec les mains ! Ne pas tenter de nettoyer une surface optique. Aviser le responsable au besoin.

Ne jamais débrancher une bre optique du détecteur ou du collecteur à bre optique.

Si on débranche une extrémité des bres, il n'y aura plus de ltre pour empêcher la lumière dont d'atteindre le détecteur. Ceci entraine immédiatement le bris du détecteur ($$$).

Ne jamais allumer une autre lumière que les DEL fournies lorsque les compteurs sont sous tension. Personne ne doit entrer ou sortir de la pièce si les compteurs fonctionnent.

La gure suivante montre un schéma du montage expérimental.

laser (405 nm) obturateur

compteurs de photons lame λ/2

lamelle de quartz

cristaux de BBO (croisés)

polariseur infrarouge

coupleur à fibre optique

fibre optique (65 µm)

Figure 7 Montage expérimental.

Une diode laser à 405 nm est utilisée pour produire des photons jumeaux à 810 nm en utilisant deux cristaux de BBO ayant des axes optiques croisés. Le faisceau pompe à 405 nm passe d'abord par un obturateur électronique qui se referme automatiquement si la porte du local s'ouvre (l'alimentation des détecteurs est également coupée). Le faisceau traverse ensuite un iris et une lame demi-onde qui servira à tourner la polarisation du faisceau pompe (le laser est polarisé verticalement et cette polarisation correspond à un angle de 0^o). Puis vient la lame de quartz qui servira à retarder une des deux polarisations du faisceau pompe (lorsque celui-ci sera incliné à 45^o). La pompe atteint maintenant les cristaux de BBO collés l'un sur l'autre avec leurs axes optiques croisés. Après avoir traverser les BBO, le faisceau pompe va terminer sa course sur un stoppeur de faisceau. Les photons infrarouges émis

forment des cônes ayant un angle de 3^o avec la pompe. Chaque pphoton d'une paire sera analysé à l'aide d'un polariseur infrarouge, puis collecté à l'aide d'un coupleur à bre optique pour enn être converti en impulsion électrique de 4.5V (25 ns) à l'aide d'un compteur à photons uniques. La gure suivante montre le système d'analyse des photons. Notez que les polariseurs sont montés sur de moteurs électroniques contrôlés par ordinateur. Cela permet un réglage précis et rapide de leurs orientations. Il est rare qu'on utilise des polariseurs infrarouges car on leur préfère des cubes séparateurs de polarisation. Cela vient du fait que les polariseurs ordinaires ne sont pas assez ecaces à cette longueur d'onde (faible taux d'extinction). Ceux que vous utilisez ici sont de qualité susante (contraste supérieur à 100 000 :1) et permettent d'eectuer une bonne mesure.

Figure 8 Système d'analyse des photons.

La prochaine gure montre la composition d'un collecteur à bre optique.

Figure 9 Collecteur à bre optique.

Les photons sont couplés à une bre optique de 60 microns. An d'éliminer le plus possible les photons infrarouges qui proviennent de la pièce ou de la luminescence des BBO, on utilise un ltre optique passe-bas qui ne laisse passer que les photons dont la longueur d'onde est supérieure à 780 nm. Ce ltre est placé directement à l'entrée du collimateur, qui lui, focalise la lumière sur le bout de la bre optique. Des caches peints en noir diminuent également la lumière parasite qui pourrait atteindre le collimateur. Ne jamais débrancher une bre car vous êtes certains d'endommager le détecteur.

5 Théorie

5.1 États de polarisation

Pour décrire l'état de polarisation d'un photon, il est nécessaire de choisir une base adéquate.

Choisissons la base formée des vecteurs de polarisation verticale |Viet horizontale |Hi qui sont orthogonaux. Dans cette base, le vecteur de polarisation d'un photon s'écrit :

|ψi=c_V |Vi+c_H|Hi (8)

Les coecients c_V etc_H sont complexes et vérient :|c_V|²+|c_H|² = 1. La mesure de la polarisation d'un photon ne peut prendre que deux valeurs :

le photon est transmis par l'analyseur. L'état de polarisation devient|Vi(polarisation verticale). La mécanique quantique prédit la probabilité d'obtenir ce résultat :

PV =|hV |ψi|² =|c_V|² (9) le photon est bloqué par l'analyseur. L'état de polarisation devient|Hi. La probabilité

d'obtenir ce résultat est :

P_H =|hH|ψi|² =|c_H|² (10)

On remarque que la mesure modie en général l'état de polarisation du photon. C'est un postulat de la Mécanique Quantique mieux connu sous le nom de Réduction du paquet d'onde .

Exercice 1 : Écrire l'état de polarisation d'un photon possédant un état de polarisa- tion rectiligne faisant un angleα avec la verticale. Quelle est la probabi- lité de le mesurer dans l'état|Vi?

Exercice 2 : Pour un état de polarisation d'un photon possédant une polarisation circulaire gauche :|ψi= ^√1

2(|Vi+i|Hi), quelle est la probabilité de le mesurer dans l'état|Vi?

Si l'on choisit de mesurer l'état de la polarisation d'un photon à l'aide d'un analyseur tourné d'un angle α par rapport à la verticale (voir gure suivante), la nouvelle base des états de polarisations est|V_αi,|H_αi.

Vα V

H

H α α

Figure 10 Base inclinée d'un angle α. Les vecteurs propres de cette base sont obtenus par la transformation :

|V_αi= cosα|Vi −sinα|Hi (11)

|H_αi= sinα|Vi+ cosα|Hi (12) Exercice 3 : Soit un photon dans l'état de polarisation|Vi. Quel est son état de pola-

risation dans la base inclinée d'un angleα? Quelle est la probabilitéP_Vα de le mesurer dans l'état|V_αi? Soit un photon dans l'état de polarisation

|V_αidans la base inclinée d'un angleα. Quel est son état de polarisation dans la base verticale. Quelle est la probabilité de le mesurer l'état|Vi? 5.2 Paires de photons intriqués en polarisation

Nous allons maintenant voir comment réaliser et étudier des paires de photons intriqués en polarisation. L'état de polarisation de ces paires de photons, appelé état EPR, s'écrit de la façon suivante :

|ψi_{EP R} = 1

√

2(|Vi₁|Vi₂+|Hi₁|Hi₂) (13)

Cet état est similaire à l'expérience de pensée proposée par Einstein, Podolsky et Rosen.

Dans leur expérience, ce sont les degrés de liberté d'impulsion qui étaient intriqués. Il s'agit d'un état non factorisable : autrement dit, on ne peut pas attribuer d'état de polarisation à chacun des photons pris individuellement.

Exercice 4 : Montrer que pour l'état |ψi_{EP R} la probabilitéPVα de mesurer le photon 1 dans l'état|V_αi est ½ quelque soit l'angleα.

Par contre, si on mesure un des deux photons dans l'état |Vi (ou respectivement |Hi), on sait avec certitude que l'autre photon est dans l'état|Vi(ou respectivement|Hi), sans avoir à mesurer son état. Plus généralement, si on s'intéresse à la probabilité jointe de trouver le photon 1 dans l'état|V_αi et le photon 2 dans l'état |V_βi, on doit calculer :

P(V_α, V_β) =

hV_α|₁hV_β|₂ψ_{EP R} i

2 (14)

Question 2 : Montrer que l'on obtient :

P(V_α, V_β) = 1

2cos²(α−β) (15)

Attention ! Habituellement, quand on parle de probabilité jointe, on utilise la nota- tion P(Vα, V_β) qu'il ne faut pas confondre avec probabilité condition- nelle P(V_α|V_β). L'annexe A explique comment la règle de Bayes relie ces deux probabilités.

Note : On sait que si on commence par mesurer la probabilité d'avoir le second dans l'état |V_βi on obtiendra ½. On peut ensuite appliquer le postulat de réduction du paquet d'onde (voir annexe A).

Ce résultat montre bien que si l'on mesure un des deux photons dans l'état |V_αi, alors on sait avec certitude, sans avoir besoin de mesurer son état, que l'autre photon est dans l'état

|V_αi. Cela reste vrai, même si les photons sont très éloignés l'un de l'autre : c'est bien là que réside le paradoxe EPR. Ceci servira de preuve pour conrmer que la mécanique quantique est une théorie non-locale.

P(V_α, V_α) = 1

2 quelque soit l'angleα

(le facteur 1/2 vient du fait que l'on ne détecte que la moitié des photons. Si on applique la règle de Bayes, on trouve queP(V_α|V_α) = 1.).

Exercice 5 : Pour conrmer la généralité de ce calcul en écrivant l'état EPR

|ψi_{EP R}= 1

√2(|Vi₁|Vi₂+|Hi₁|Hi₂) dans une base inclinée d'un angleα. Montrer que l'on obtient

|ψi_{EP R} = 1

√2(|V_αi₁|V_αi₂+|H_αi₁|H_αi₂)

Ainsi, la mécanique quantique prédit des résultats totalement corrélés lorsque les analy- seurs sont parallèles, alors même que les résultats individuels sont totalement aléatoires.

5.3 Corrélations et paramètre de Bell

On peut mesurer le degré de corrélation entre quantités aléatoires à l'aide de la fonction suivante :

E(V_α, V_β) =P(V_α, V_β) +P(H_α, H_β)−P(H_α, V_β)−P(V_α, H_β) (16) En fait, la fonction précédente donne zéro dans tous les cas où il n'y a pas d'enchevêtrement, i.e. pour toute fonction d'onde de type|φ₁i⊗|φ₂i. La fonction E donne zéro si les probabilités peuvent être réécrites sous la forme de produits.

Exercice 6 : Montrer qu'un état EPR conduit à E(Vα, V_β) = cos [2 (α−β)]. Vérier que :E(V_α, V_α) = 1,E(V_α, H_α) =−1etE

V_α, V_α+^π

4

= 0

Une forme classique des inégalité de Bell⁶ (voir aussi Annexe D) utilise une combinaison de quatre degrés de corrélation associés à deux directions d'analyse (voir gure (11)) pour chaque polariseur (a eta⁰ pour le polariseur no 1 et b etb⁰ pour le polariseur no 2), qu'on appellera le paramètre de Bell :

S_Bell(a, a⁰, b, b⁰) =E(a, b)−E(a, b⁰) +E(a⁰, b) +E(a⁰, b⁰) (17) Question 3 : Montrer que S_Bell(a, b, a⁰, b⁰) = 2√

2 pour les angles de la gure (11), alors que la mécanique classique prévoit−2≤S_Bell≤2(voir Aspect).

On vous réfère ici au document d'Alain Aspect qui est d'une clarté remarquable (voir note de bas de page). Il montre de belle façon comment les inégalités de Bell sont violées lorsqu'on les applique à un état intriqué.

6. http ://www.tp.physique.usherbrooke.ca/experiences_chiers/Bell/references/Aspect.pdf

a

γ γ γ a' b

b'

22.5^o 22.5^o 22.5^o

Figure 11 Orientations donnant le conit maximal entre les inégalités de Bell et la mécanique quantique.

6 Manipulations expérimentales

Note : Ce qui protège les compteurs de photons, c'est l'insertion de ltres qui ne laissent passer que les longueurs d'onde supérieures à 780 nm. Ces ltres ont été installés dans les collecteurs à bre optique. Il faut donc éviter de débrancher les bres optiques qui sont reliées aux collecteurs et aux compteurs.

6.1 Instrumentation électronique 6.1.1 Compteurs de photons

Note : Ne jamais allumer une autre lumière que les lumières DEL fournies lorsque les compteurs sont sous tension. Personne ne doit entrer ou sortir de la pièce si les compteurs fonctionnent.

Les compteurs de photons fournissent une impulsion de 4.5 V d'une durée de 25 nsec pour chaque photon détecté. Ils sont très fragile et ne doivent en aucun temps être exposés à la lumière ambiante.

6.1.2 Compteurs de coïncidences et module TAC

Vous avez à votre disposition des compteurs de coïncidences d'une résolution de 30 nsec.

Pour diminuer cette fenêtre de temps jusqu'à 1 nsec, on utilise un module TAC (Time to amplitude converter) combiné à un module SCA (Single channel analyzer).

TAC

TAC

B

START

Window 100 nsec

no 1 no 2

no 3 ligne à délai (≈ 40 nsec)

détecteur no 1

Compteurs de coincidences détecteur no 2

5V 5V

5V Lower Level

STOP OUTPUTS

SCA

SCA

.

. .

. . .

A ^A

. .

. .

Figure 12 Modules TAC et SCA.

Les compteurs de coïncidences consistaient (première version du montage) en des portes logiques (limitées à 30 nsec). La présence d'un signal sur l'entrée A en même temps qu'un signal sur l'entrée B d'un compteur donne une coïncidence si le temps entre les deux signaux est inférieur à 30 nsec. Cela est susant pour réaliser l'expérience mais pour diminuer au maximum les coïncidences fortuites on utilise une autre astuce. On se sert premièrement d'un TAC. Ce module est muni de deux entrées : START et STOP. Lorsqu'un signal arrive à l'entréee START, le TAC démarre un intégrateur et attend de recevoir un signal sur l'entrée STOP. Cet intégrateur va produire une impulsion dont la hauteur sera proportionnelle au délai entre le START et le STOP (10V de haut pour 100 nsec d'écart). Vous remarquez dans la gure 12 qu'on a ajouté une ligne à délai sur l'entrée STOP. Son utilité est évidente car sans cette ligne, le TAC produirait une impulsion d'une hauteur nulle pour deux signaux en parfaite coïncidence. On insère donc un délai d'environ 40 nsec sur l'entrée STOP. Pour deux impulsions en parfaite coïncidence, le TAC va maintenant générer des impulsions de 4 V d'amplitude et nous pourrons donc les compter. On veut maintenant restreindre la fenêtre temporelle à une nanoseconde. C'est ici qu'intervient le module SCA. Son fonctionnement est très simple. Cet appareil génère une impulsion TTL à chaque fois qu'elle reçoit une impulsion qui a exactement la bonne hauteur (celle de la fenêtre que l'on règle avec les boutons LOWER LEVEL et WINDOW). Par exemple, des signaux en parfaite coïncidence donne à la sortie du TAC une impulsion de 4 V alors que pour des signaux séparées de 1 nsec le TAC donnera plutôt une impulsion de 4.1 V. En ajustant le SCA pour qu'il ne laisse passer que des signaux entre 4 et 4.1 V, on s'assure d'obtenir une résolution d'une nanoseconde.

On va maintenant utiliser l'ancienne boite de compteurs de coïncidences pour compter 3 choses : le nombre de comptes provenant du détecteur A, celui provenant du détecteur B et le nombre de coïncidences. Pour ce faire, on utilise les trois portes logiques disponibles

en appliquant un 5V CC sur chacune des entrées B des portes. Les résultats sont ensuite comptées par une carte d'acquisition.

Avec le moniteur, vériez le bon fonctionnement des modules TAC et SCA. Pour cela, utiliser un générateur d'impulsions et le module de délai fourni. Par la suite, remplacez-le générateur d'impulsions par la sortie des deux détecteurs.

Lorsque le signaux proviendront des détecteurs optiques, vous aurez à repositionner la fenêtre du SCA.

6.2 Partie optique

6.2.1 Réglage de chacune des voies

Nous commencerons par maximiser le taux de comptage sur chacune des deux voies (Signal et Idler) et par s'assurer qu'ils varient simultanément lorsqu'on eectue une rotation des cristaux de BBO autour d'un axe vertical. Pour des raisons de sécurité, la mise au point de l'optique de la gure (7) a déjà été eectuée.

Question 4 : Si vous tournez la polarisation de la pompe (qui normalement est verti- cale à 0^o) de 90^o, à l'aide de la lame demi-onde, quelle sera la polarisation des photons à 810 nm ? À quel angle faut-il placer la lame demi-onde pour que la pompe soit eectivement à l'horizontale ?

Fermer toutes les lumières et ne laisser que les DEL allumées.

Prendre soin de mettre les lunettes d'alignement avant de mettre le laser en fonction.

Le faisceau pompe devrait normalement terminer sa course sur le stoppeur placé devant les deux polariseurs infrarouges. Identifer les endroits où il pourrait y avoir des réexions dangereuses.

On peut maintenant alimenter le module de compteurs de photons. Il devrait y avoir un adaptateur 50Ωsur les sorties du compteur. Pour mesurer uniquement le taux de comptage sur la voie no 1, il faut mettre la sortie du premier détecteur sur l'entrée START du TAC, et à l'aide d'un adapteur en T, la relier à l'entrée A du premier compteur de coïncidences et mettre l'entrée B à 5V (voir le moniteur). De même, pour mesurer uniquement le taux de comptage sur la voie no 2, il faut mettre la sortie du second détecteur (rallongée par la ligne à délai) sur l'entrée STOP du TAC, et à l'aide d'un adapteur en T, la relier à l'entrée A du second compteur de coïncidences et mettre l'entrée B à 5V . Pour la mesure des coïncidences, il faut mettre la sortie du SCA sur l'entrée A du troisième compteur de coïncidences et l'entrée B à 5V.

ATTENTION ! Pour éviter les réexions dans les câbles, il faut passer d'abord passer par le TAC avant d'aller aux compteurs de coïncidences et non l'inverse (voir gure À l'aide du logiciel, ajuster l'angle de la lame demi-onde à 4512). ^o. Dans cette congu- ration, la polarisation du faisceau pompe est horizontale lorsqu'elle entre dans les cristaux de BBO.

Augmenter la taille de la fenêtre du SCA pour être certain de compter les photons.

Les polariseurs infrarouge sont placés devant le détecteur. Placer leur orientation à 0^o (verticaux) à l'aide de l'ordinateur. Comme les photons pompes sont polarisés horizontalement, vous devriez détecter des photons à 810 nm polarisés verticalement.

Aligner les collecteurs pour maximiser le nombre de comptes (n'oubliez pas de re- positionner la fenêtre du SCA pour obtenir de nouveau une résolution temporelle de 1 nsec). Pour cela, vous pouvez aussi tourner les BBO autour de l'axe vertical (vous verrez que le taux de comptage est très sensible à l'orientation des BBO). Vous devriez obtenir un taux d'environ 50 000 comptes/sec.

Refermer le plus possible la fenêtre du SCA pour obtenir une bonne résolution tem- porelle.

Tourner la polarisation du faisceau pompe pour la mettre à la verticale. Vous devez maintenant tourner les polariseurs infrarouges à l'horizontale pour détecter les pho- tons. Cette fois, c'est le goniomètre qui va vous permettre de modier l'orientation de l'axe du BBO par rapport à la verticale pour maximiser votre signal. Vous pouvez aussi aligner de nouveau les collecteurs pour maximiser le nombre de comptes.

6.2.2 Optimisation des coïncidences

Ajuster la pompe à 0^o, vous devriez obtenir des photons dans l'état|Hi₁|Hi₂. Maxi- miser les coïncidences.

Ajuster la pompe à 90^o, vous devriez obtenir des photons dans l'état|Vi₁|Vi₂. Maxi- miser les coïncidences.

Il n'est pas facile d'obtenir exactement le même nombre de coïncidences dans les deux cas précédents. On verra plus loin comment faire pour y arriver.

6.2.3 4.1 Coïncidences fortuites et signal d'obscurité

Les coïncidences fortuites sont dues à deux photons qui sont détectés par hasard sur chacun des détecteurs pendant la fenêtre de coïncidence dont la durée est τ_f (normalement réglée à 1 nsec).

Question 5 : Montrer que le taux de coïncidences fortuites est nf =nAnBτf : oùnA

etnB sont les taux de comptage sur chacune des voies.

Les modules de détection que vous utilisez ont un bruit de fond (dark count) d'environ 400 cps.

6.2.4 Ajustement de l'état EPR

Si vous ajustez la polarisation de la pompe à 45^ovous obtiendrez l'état suivant (en supposant que vous ayez autant de |Vi |Vique de|Hi |Hi) pour les paires de photons générés :

|ψi_paire = 1

√ 2

|Hi₁|Hi₂+e^iφ|Vi₁|Vi₂

(18) En eet, grâce aux deux cristaux (vertical et horizontal), deux processus indépendants sont possibles :

|Vi_pompe→ |Hi₁|Hi₂

|Hi_pompe→e^iφ|Vi₁|Vi₂

où φ est le déphasage entre ces deux processus dû à la dispersion et à la biréfringence des cristaux. En eet, les infrarouges verticaux ne voient pas le même indice de réfraction que les infrarouges horizontaux. Si l'état de polarisation des photons pompes fait un angleθavec la verticale, leur état s'écrira dans la base des axes des cristaux

|ψi_pompe = cosθ|Vi_pompe+ sinθ|Hi_pompe (19) et le vecteur d'état de polarisation des paires créées est :

|ψi_paire = cosθ|Hi₁|Hi₂+e^iφsinθ|Vi₁|Vi₂ (20) pour θ= 45^o

|ψi_paire = 1

√2

|Hi₁|Hi₂+e^iφ|Vi₁|Vi₂

(21) On rappelle que la probabilité de trouver le photon 1 dans l'état |V_αi et le photon 2 dans l'état |V_βi estP(V_α, V_β) =

hV_α|₁hV_β|₂ψ_{EP R} i

Exercice 7 : Pour l'état de paire obtenu, calculer les probabilitésP(H, H)etP(V, V) et vérier que les nombres de coïncidences obtenus conrment ces résul- tats.

Question 6 : Montrer que :P(V₄₅^o, V₄₅⁰) = ¹₄(1 + cosφ)

Or, pour un état EPR, P(V₄₅^o, V₄₅^o) =P(V₀^o, V₀^o) = ¹₂ : ce qui n'est réalisé que si φ= 0. On voit donc ici une diérence fondamentale entre l'état EPR pur et cette paire : l'état de paire n'est pas de symétrie de révolution. Il faut donc impérativement compenser d'une façon ou d'une autre ce déphasage φ, introduit par les cristaux. Une méthode possible consiste à ajuster l'état de polarisation des photons pompes à l'aide d'un élément déphaseur de sorte que :

|ψi_pompe=|Vi+e^iφpompe|Hi (22)

On règle ensuite cet élément déphaseur de telle sorte queφ_pompe =−φ. Nous utiliserons une simple lamelle de quartz (matériau biréfringent) pour modier le déphasage.

La violation d'une égalité de Bell sera maximale pour un état EPR le plus pur possible.

Pour cette raison, les deux cristaux de BBO sont très minces de façon à ce que les deux cônes de lumière se superposent et ne permettent pas de savoir dans quel cristal une paire de photons a été produite, condition nécessaire à l'intrication.

Avec la pompe à 45^o, varier l'orientation de la lamelle de quartz pour obtenirφ_pompe=

−φ. Pour cela on peut maximiser le nombre de coïncidences pour les analyseurs à 45^o sur les deux voies ou minimiser pour l'un à 45^o et l'autre à -45^o. Le deuxième choix est plus facile.

À l'aide du logiciel, faire un balayage en angles avec les polariseurs parallèles et tournant ensemble. Si vous avez autant de |Vi |Vi que de |Hi |Hi, le nombre de coïncidences devrait rester constant. Si ce n'est pas le cas, tourner légèrement la lame demi-onde et recommencer. Une oscillation de 5 à 10% des valeurs devrait être obtenue.

6.2.5 Variation de P(Vα, V_β) en fonction de |α−β|.

Les deux théories que nous voulons confronter ( variables cachées ou M.Q. ) ne prévoient pas la même variation de la probabilité conjointe en fonction de l'angle relatif (voir Aspect). Il est donc intéressant de tracer cette courbe.

Fixer l'angleα à 0^o (polariseur no 1) et tracer l'évolution du nombre de coïncidences en fonction deβ (polariseur no 2).

Recommencer mais cette fois avecα à 90^o, puis àα à 45^o.

Comparer avec la prédiction de la mécanique quantiqueNα,β =kcos²(α−β) Pourquoi les courbes ne tombe pas à zéro ?

Question 7 : La mécanique classique ne prédit pas d'états intriqués mais seulement des états mixtes pour lesquels la polarisation est |Hi₁|Hi₂ la moitié du temps et |Vi₁|Vi₂ l'autre moitié. Pour un angle α = 0, π/4etπ/2, montrer que la mécanique classique prédit les probabilités suivantes :

Pmixte = 1

2cos²β Pmixte = 1

4 Pmixte= 1

2sin²β (23)

(Vous reconnaissez ici la loi de Malus lorsque α= 0 ).

On verra plus loin que l'on reproduit assez bien les résultats expérimentaux en considérant que l'état de polarisation des photons n'est pas uniquement ψEP R. Le modèle que nous développerons plus loin suppose la présence de bruit coloré , état dans lequel les photons sont soit |V Vi ou |HHi. Le modèle suppose aussi l'existence de bruit blanc où les photons sont dans tous les états possibles : |V Vi, |HVi, |V Hi, |HHi. On dira que l'on a une probabilité p d'être dans l'état ψ_{EP R}, une probabilité r d'être dans l'état ψ_color´e et nalement, une probabilité1−p−rd'avoirψ_blanc. À l'aide du chier Mathematica (site des T.P.), on montre que la probabilité d'obtenir une coïncidenceP(Vα, Vβ, ρ[p, r])est donnée par :

P(V_α, V_β, ρ[p, r]) = 1

8(2 + (2p+r) cos [2α−β)] +r cos[2 (α+β)] (24) ρ[p, r]représente la matrice densité qui dépend de p etr. La théorie de la matrice densité vous sera présentée plus loin. À partir des résultats du paramètre de Bell, vous pourrez déterminer les valeurs dep etr. Vous pourrez ensuite utiliser l'équation [24] pour comparer ses prédictions avec vos mesures précédentes.

6.2.6 Principe de mesure du paramètre de Bell

Pour mesurer le paramètre de Bell, il faut mesurer les degrés de corrélationE(V_α, V_β) pour les quatre directions a, a', b, b' dénies à la gure 11. Chaque valeur de E(Vα, Vβ) est obtenue par la mesure de 4 probabilités : P(V_α, V_β),P(V_α+90^o, V_β+90^o),P(V_α+90^o, V_β) et P(V_α, V_β+90^o).

E(V_α, V_β) =P(V_α, V_β) +P(H_α, H_β)−P(H_α, V_β)−P(V_α, H_β) (25) Ces quatre probabilités sont obtenues par quatre mesures de taux de coïncidences avec des angles (α, β),(α+ 90^o, β+ 90^o) ,(α, β+ 90^o) et(α+ 90^o, β).

n_total =n(α, β) +n(α+ 90^o, β+ 90^o) +n(α, β+ 90^o) +n(α+ 90^o, β) (26) P(V_α, V_β) =n(α, β)/n_total (27) P(Hα, Hβ) =n(α+ 90^o, β+ 90^o)/ntotal (28) P(Vα, H_β) =n(α, β+ 90^o)/n_total (29) P(H_α, V_β) =n(α+ 90^o, β)/n_total (30) Ces 4 mesures de taux de coïncidences donnent ainsi la valeur du degré de corrélation :

E(Vα, Vβ) = n(α, β) +n(α+ 90^o, β+ 90^o)−n(α, β+ 90^o)−n(α+ 90^o, β)

n(α, β) +n(α+ 90^o, β+ 90^o) +n(α, β+ 90^o) +n(α+ 90^o, β) (31) Il y a donc 16 mesures de taux de coïncidences détectées à eectuer pour mesurer S_Bell :

S_Bell(a, a⁰, b, b⁰) =E(a, b)−E(a, b⁰) +E(a⁰, b) +E(a⁰, b⁰) (32) Pour diminuer l'incertitude sur chacune des mesures, il faut augmenter le nombre de coïn- cidences détectées, donc compter pendant un temps plus long. En eet, l'incertitude sur la mesure du taux de coïncidences est liée au bruit de photons. Si la durée de la fenêtre de comptage est T , le nombre de coïncidences est Nc et le taux de coïncidences est nc, alors l'écart type sur le nombre de coïncidences détectées est :

σ_Nc =p

N_c=p

n_cT (33)

Donc, l'écart type sur le taux de coïncidences détectées est :σnc = ^σ_T^Nc =p_nc

T

Exercice 8 : Si l'on compte en moyenne 100 coïncidences par seconde, quel est l'écart type sur le taux de coïncidences ? Pendant combien de temps doit-on compter pour diviser par 10 cet écart type ?

L'évaluation de cet écart type sur le taux de coïncidences, en supposant que les incertitudes de ces 16 mesures sont indépendantes, permet de calculer l'écart type sur la mesure deS_Bell .

σ_S= v u u t

16

X

i=1

σ_ni ∂S

∂n_i 2

= 1

√T v u u t

16

X

i=1

n_i ∂S

∂n_i 2

(34) où T est la durée de la fenêtre de comptage des coïncidences utilisée. Pour obtenir un écart type faible, on fera des mesures sur un temps de 5 sec. C'est un temps très court car vous devriez avoir des milliers de coïncidences par seconde.

6.2.7 Mesure du paramètre de Bell

Utiliser le programme d'acquisition. Cette mesure est pour un angle de 22.5^o entre les axes a, a', b, b'. Cet angle est réglable à l'aide du logiciel. C'est à cet angle qu'on devrait observer la plus grande violation des inégalités de Bell. La valeur du paramètre de Bell sera calculée automatiquement à la n des mesures. Si la valeur est inférieure à 2.4, il faut refaire l'optimisation des coïncidences.

Faites votre propre calcul du paramètre de Bell avec les résultats des coïncidences obtenues dans le 16 orientations des polariseurs. Chacun des quatre corrélateurs de l'équation (32) est calculé à partir d'un groupe de quatre mesures (voir g. 13).

Commenter les valeurs deS_Belobtenue avec son écart type. Alors d'accord avec Bohr ou Einstein ?

Discuter des dicultés et limitations expérimentales de cette expérience.

Question 8 : Il y a une échappatoire majeure dans notre montage qui ne permet pas de conclure que la Mécanique Quantique est une théorie non-locale. Quelle est-elle ?

α β α β

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

b_V=22.5^o bV=22.5o

bH=22.5o

aV=0o

aV=0o

aV=0o

aV=0o

67.5 b’ =V o

67.5 90+ b’ =H o o

+ 90^o a’ =H 45o

+ 90^o 45 a’ =H o

+ 90^o 45 a’ =H o

+ 90^o a’ =H 45o

a’ =V 45o

a’ =V 45o

45 a’ =V o

45 a’ =V o

22.5 b =V o

22.5 90+ b =H o o

22.5 90+ b =H o o

67.5 b’ =H o

67.5 67.5 b’ =V o

o

67.5 b’ =V o

b’H=67.5 90o+ o

b’H=67.5 90o+ o

b’

+ 90

=

V o

bH=22.5 90o+ o

b

+ 22.5

90

=

V o

o

N _c N _c

Figure 13 Table des valeurs requises pour le calcul de S_Bell (pour α= 22.5^o).

6.2.8 Distribution temporelle des coïncidences.

À l'aide du module TAC (Time to amplitude converter) et du programme d'acquisition Pulse height analyzer , vous allez maintenant mesurer la distribution temporelle des coïncidences. Pour cela, vous allez encore retarder une des deux voies de détection de 40 nsec à l'aide du long câble coaxial. Vous acheminez par la suite les deux voies de détection au module TAC que vous devez placer sur l'échelle 0-100 nsec..

Laisser la pompe à 45^o.

Avant d'eectuer la mesure, il faut choisir une orientation des polariseurs pour ob- tenir un faible taux de coïncidences (≈ 500) de façon à éviter de saturer la carte d'acquisition. Demander au moniteur de vous aider.

Relier maintenant la sortie du TAC à la carte d'acquisition avec un adapteur en T de facon à visualiser les impulsions sur le premier canal de l'oscilloscope.

Brancher la sortie TRIGGER de la carte sur le deuxième canal de l'oscilloscope.

Ajuster la descente de l'impulsion de TRIGGER au centre des impulsions provenant du TAC.

Faire une acquisition d'une minute ou deux avec le TAC ajusté à l'échelle 0-100 nsec.

À ce moment, l'abscisse du graphique du logiciel (0 à 1024 canaux) correspondra en réalité à des temps allant de 0 à 100 nsec.

Que concluez-vous de la distribution observée ? 6.3 Caractérisation de l'état quantique

La prédiction théorique (voir Aspect) pour un état EPR pur à 100% donne la variation du paramètre de Bell en fonction de l'angle (α) entre les axes a, a', b, b' (voir gure 11) :

0

0 π/4 π/2 _3π/4 π

γ

1 -1 2 S_Bell

-2

Figure 14 Variation de paramètre de Bell en fonction de l'angle α. Notez que S_Bell = 2√

2

pour certains angles particuliers.

Vous remarquez que l'on devrait obtenir SBell = 2√

2 pour des angles précis dont celui à 22.5^o pour lequel vous avez fait la mesure. Vous allez maintenant essayer de reproduire cette

courbe expérimentalement et la comparer avec la prédiction théorique (voir Aspect). Vous verrez que la courbe obtenue n'est pas celle d'un été EPR pur. Cela sera discuté plus loin.

Reprendre des mesures deS_Bell en variant l'angleα de 0 à 180^o. Prendre des points à tous les 10 degrés et quelques uns supplémentaires autour des maximums.

Prenons l'exemple où l'angle α serait de 35^o. Dans ce cas, la table des données serait

α β α β

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

aH=0 90o+ o

b_V=35^o bV=35o

bH=35o

aV=0o

aV=0o

aV=0o

aV=0o

105 b’ =V o

b’ =H 105 90o+ o

+ 90^o a’ =H 70o

+ 90^o 70 a’ =H o

+ 90^o 70 a’ =H o

+ 90^o a’ =H 70o

a’ =V 70o

a’ =V 70o

70 a’ =V o

70 a’ =V o

35 b =V o

b =H 35 90o+ o

b =H 35 90o+ o

105 b’ =H o

105 105 b’ =V o

o

105 b’ =V o

b’H=105 90o+ o

b’H=105 90o+ o

b’

+ 90

=

V o

bH=35 90o+ o

b

+ 35

90

=

V o

o

N _c N _c

Figure 15 Table des valeurs requises pour le calcul deS_Bell (pourα= 35). Votre courbe deS_Bellvsαse rapproche certainement de la prédiction théorie mais elle quand même diérente. Nous allons maintenant voir comment on peut d'expliquer cette diérence, et ce, de façon quantitative.

6.3.1 Description d'états mixtes

Dans la discussion précédente, on suppose que les paires de photons enchevêtrés générées par les deux cristaux de BBO se trouvent dans l'état EPR donné par :

|ψi_{EP R} = 1

√2(|Vi₁|Vi₂+|Hi₁|Hi₂)

Toutefois, cette description du système ne permet pas d'expliquer la valeur du paramètre de Bell obtenu expérimentalement. Pour ce faire, il faut d'abord donner une description du système quantique en termes d'états mixtes (car on sait maintenant que l'on ne dispose pas d'un état pur).

En mécanique quantique, on dénit un état pur comme étant un état quantique représenté par un ket. Ainsi, l'état|ψi_{EP R} est un état pur au même titre que l'état |V Vi d'une paire de photons ou l'état |Hi d'un seul photon. Ainsi, la superposition et le produit tensoriel d'états purs restent des états purs. Par contre, la description d'un système quantique en termes de kets ne permet pas une description simple d'un mélange statistique d'états purs.

De tels états sont appelés états mixtes.

Supposons, que l'on possède un dispositif optique nous fournissant des photons dans l'état

|V Vi avec une certaine probabilité p ou |HHi avec une probabilité (1−p). Un tel état n'est pas une superposition d'états du type |ζi = √

p|V Vi+√

1−p|HHi, mais bien un état mixte. Dans la notation de Dirac, la description de cet état mixte est la suivante

État mixte |φi

avec une probabilitépd'être dans l'état |V Vi avec une probabilité1−pd'être dans l'état |HHi

(35) Cette notation est lourde et devient complexe lorsque l'on cherche à décrire l'évolution tem- porelle d'un système ou simplement les résultats possibles d'une mesure sur ce système. An de simplier le problème, on introduit un nouvel objet appelé la matrice densité d'un sys- tème. Pour un état pur quelconque, la matrice densité associée à cet état s'écrit simplement :

ρ=|ψi hψ| (36)

On remarque que la matrice densité d'un état pur n'est en fait que le projecteur sur cet état.

Dans cette notation, l'état du système est maintenant représenté par une matrice n×n où n est la taille du vecteur représentant l'état|ψi. La description des états mixtes dans cette notation s'écrit maintenant comme une somme de projecteurs sur des états purs pondérée par la probabilité d'obtenir ces états :

ρ=X

i

pi|ψ_ii hψ_i| (37)

On peut maintenant donner une description d'un état mixte et d'un état pur en suivant le même formalisme. Si on choisit de représenter la matrice densité de l'état |φi de l'équation (35), on obtient la matrice densité suivante :

ρc=p|V Vi hV V|+ (1−p)|HHi hHH| (38) que l'on peut écrire sous forme matricielle dans la base ordonnée{|V Vi,|V Hi,|HVi,|HHi}.

ρ_c=









p 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1−p







 (39)

De même, dans cette base, on peut représenter l'état|ψi_{EP R}par la matrice densité suivante : ρ_{EP R} = 1

2(|V Vi hV V|+|V Vi hHH|+|HHi hV V|+|HHi hHH|) (40) qui peut s'écrire :

ρEP R =









1

2 0 0 ¹₂ 0 0 0 0 0 0 0 0

1

2 0 0 ¹₂









(41)

On remarque une diérence fondamentale entre les deux derniers résultats. Si on choisit p = 1/2, les éléments diagonaux des deux matrices sont les mêmes dans les deux cas. En

eet, ces termes fournissent de l'information sur les populations des diérents états. L'égalité entre ces termes montre que les états|V Viet|HHi sont équiprobables. Par contre, dans le cas d'un mélange statistique d'états classiques, la matrice densité ne présente pas de termes hors diagonaux, alors que dans le cas d'un système quantique enchevêtré, ces termes sont non nuls. Ceci est dû au fait que les termes hors diagonaux de la matrice densité nous renseignent sur les corrélations dans le système. Ce sont ces termes qui donnent lieu à l'interférence entre les états |V Vi et|HHi. Puisque les états EPR sont des états maximalement enchevêtrés, l'amplitude des termes d'interférence est égale à celle des termes diagonaux.

Exercice 9 : Quelle serait la matrice densité d'un mélange statistique entre l'état ρ_{EP R} et l'état ρ_c? Interpréter physiquement les changements dans les amplitudes des termes de population et des termes de corrélation.

6.3.2 Calculs des probabilités avec la matrice densité

On cherche maintenant à évaluer la probabilité d'obtenir un résultat suite à une mesure projective à l'aide du formalisme de la matrice densité. En supposant que l'on cherche à évaluer la probabilité d'obtenir un état |φi quelconque sachant que l'état initial est un mélange statistique d'états purs :

|ψi=















ψ₁avec probabilitép₁ ψ2avec probabilitép2

. .

ψnavec probabilitépn

(42)

On utilise le projecteur sur |φi, P_φ = |φi hφ| pour déterminer la probabilité d'obtenir ce résultat après une mesure. Dans le formalisme de Dirac on trouve :

℘(hφi) = X

i

pihψ_i|P_φ|ψ_ii=X

i

pihψ_i|φihφ|ψii

= X

i

p_ihφ|ψ_iihψ_i|φi=X

i

hφ|p_i|ψ_ii hψ_i|φi (43)

= hφ|ρ|φi

Si on choisit de décomposer ce résultat sur la base orthonormale des|jimunis de la relation de fermeture P

i|ji hj|= 1 on montre que :

℘(hφi) =hφ|ρ|φi=hφ| P

j

|ji hj|

! ρ|φi

=P

j

hφ|ji hj|ρ|φi=P

j

hj|ρ|φi hφ|ji

=P

j

hj|ρP_φ|ji=T r(ρP_φ)

(44)

La probabilité de retrouver l'état |φi après une mesure est donc la trace sur le produit de la matrice densité par le projecteur associé à |φi.