6.2 Partie optique
6.2.8 Distribution temporelle des coïncidences
À l'aide du module TAC (Time to amplitude converter) et du programme d'acquisition Pulse height analyzer , vous allez maintenant mesurer la distribution temporelle des coïncidences. Pour cela, vous allez encore retarder une des deux voies de détection de 40 nsec à l'aide du long câble coaxial. Vous acheminez par la suite les deux voies de détection au module TAC que vous devez placer sur l'échelle 0-100 nsec..
Laisser la pompe à 45o.
Avant d'eectuer la mesure, il faut choisir une orientation des polariseurs pour ob-tenir un faible taux de coïncidences (≈ 500) de façon à éviter de saturer la carte d'acquisition. Demander au moniteur de vous aider.
Relier maintenant la sortie du TAC à la carte d'acquisition avec un adapteur en T de facon à visualiser les impulsions sur le premier canal de l'oscilloscope.
Brancher la sortie TRIGGER de la carte sur le deuxième canal de l'oscilloscope.
Ajuster la descente de l'impulsion de TRIGGER au centre des impulsions provenant du TAC.
Faire une acquisition d'une minute ou deux avec le TAC ajusté à l'échelle 0-100 nsec.
À ce moment, l'abscisse du graphique du logiciel (0 à 1024 canaux) correspondra en réalité à des temps allant de 0 à 100 nsec.
Que concluez-vous de la distribution observée ? 6.3 Caractérisation de l'état quantique
La prédiction théorique (voir Aspect) pour un état EPR pur à 100% donne la variation du paramètre de Bell en fonction de l'angle (α) entre les axes a, a', b, b' (voir gure 11) :
0
0 π/4 π/2 3π/4 π
γ
1 -1 2 SBell
-2
Figure 14 Variation de paramètre de Bell en fonction de l'angle α. Notez que SBell = 2√
2
pour certains angles particuliers.
Vous remarquez que l'on devrait obtenir SBell = 2√
2 pour des angles précis dont celui à 22.5o pour lequel vous avez fait la mesure. Vous allez maintenant essayer de reproduire cette
courbe expérimentalement et la comparer avec la prédiction théorique (voir Aspect). Vous verrez que la courbe obtenue n'est pas celle d'un été EPR pur. Cela sera discuté plus loin.
Reprendre des mesures deSBell en variant l'angleα de 0 à 180o. Prendre des points à tous les 10 degrés et quelques uns supplémentaires autour des maximums.
Prenons l'exemple où l'angle α serait de 35o. Dans ce cas, la table des données serait
α β α β
Figure 15 Table des valeurs requises pour le calcul deSBell (pourα= 35). Votre courbe deSBellvsαse rapproche certainement de la prédiction théorie mais elle quand même diérente. Nous allons maintenant voir comment on peut d'expliquer cette diérence, et ce, de façon quantitative.
6.3.1 Description d'états mixtes
Dans la discussion précédente, on suppose que les paires de photons enchevêtrés générées par les deux cristaux de BBO se trouvent dans l'état EPR donné par :
|ψiEP R = 1
√2(|Vi1|Vi2+|Hi1|Hi2)
Toutefois, cette description du système ne permet pas d'expliquer la valeur du paramètre de Bell obtenu expérimentalement. Pour ce faire, il faut d'abord donner une description du système quantique en termes d'états mixtes (car on sait maintenant que l'on ne dispose pas d'un état pur).
En mécanique quantique, on dénit un état pur comme étant un état quantique représenté par un ket. Ainsi, l'état|ψiEP R est un état pur au même titre que l'état |V Vi d'une paire de photons ou l'état |Hi d'un seul photon. Ainsi, la superposition et le produit tensoriel d'états purs restent des états purs. Par contre, la description d'un système quantique en termes de kets ne permet pas une description simple d'un mélange statistique d'états purs.
De tels états sont appelés états mixtes.
Supposons, que l'on possède un dispositif optique nous fournissant des photons dans l'état
|V Vi avec une certaine probabilité p ou |HHi avec une probabilité (1−p). Un tel état n'est pas une superposition d'états du type |ζi = √
p|V Vi+√
1−p|HHi, mais bien un état mixte. Dans la notation de Dirac, la description de cet état mixte est la suivante
État mixte |φi
avec une probabilitépd'être dans l'état |V Vi avec une probabilité1−pd'être dans l'état |HHi
(35) Cette notation est lourde et devient complexe lorsque l'on cherche à décrire l'évolution tem-porelle d'un système ou simplement les résultats possibles d'une mesure sur ce système. An de simplier le problème, on introduit un nouvel objet appelé la matrice densité d'un sys-tème. Pour un état pur quelconque, la matrice densité associée à cet état s'écrit simplement :
ρ=|ψi hψ| (36)
On remarque que la matrice densité d'un état pur n'est en fait que le projecteur sur cet état.
Dans cette notation, l'état du système est maintenant représenté par une matrice n×n où n est la taille du vecteur représentant l'état|ψi. La description des états mixtes dans cette notation s'écrit maintenant comme une somme de projecteurs sur des états purs pondérée par la probabilité d'obtenir ces états :
ρ=X
i
pi|ψii hψi| (37)
On peut maintenant donner une description d'un état mixte et d'un état pur en suivant le même formalisme. Si on choisit de représenter la matrice densité de l'état |φi de l'équation (35), on obtient la matrice densité suivante :
ρc=p|V Vi hV V|+ (1−p)|HHi hHH| (38)
De même, dans cette base, on peut représenter l'état|ψiEP Rpar la matrice densité suivante : ρEP R = 1
On remarque une diérence fondamentale entre les deux derniers résultats. Si on choisit p = 1/2, les éléments diagonaux des deux matrices sont les mêmes dans les deux cas. En
eet, ces termes fournissent de l'information sur les populations des diérents états. L'égalité entre ces termes montre que les états|V Viet|HHi sont équiprobables. Par contre, dans le cas d'un mélange statistique d'états classiques, la matrice densité ne présente pas de termes hors diagonaux, alors que dans le cas d'un système quantique enchevêtré, ces termes sont non nuls. Ceci est dû au fait que les termes hors diagonaux de la matrice densité nous renseignent sur les corrélations dans le système. Ce sont ces termes qui donnent lieu à l'interférence entre les états |V Vi et|HHi. Puisque les états EPR sont des états maximalement enchevêtrés, l'amplitude des termes d'interférence est égale à celle des termes diagonaux.
Exercice 9 : Quelle serait la matrice densité d'un mélange statistique entre l'état ρEP R et l'état ρc? Interpréter physiquement les changements dans les amplitudes des termes de population et des termes de corrélation.
6.3.2 Calculs des probabilités avec la matrice densité
On cherche maintenant à évaluer la probabilité d'obtenir un résultat suite à une mesure projective à l'aide du formalisme de la matrice densité. En supposant que l'on cherche à évaluer la probabilité d'obtenir un état |φi quelconque sachant que l'état initial est un mélange statistique d'états purs :
|ψi=
On utilise le projecteur sur |φi, Pφ = |φi hφ| pour déterminer la probabilité d'obtenir ce résultat après une mesure. Dans le formalisme de Dirac on trouve :
℘(hφi) = X
Si on choisit de décomposer ce résultat sur la base orthonormale des|jimunis de la relation de fermeture P
La probabilité de retrouver l'état |φi après une mesure est donc la trace sur le produit de la matrice densité par le projecteur associé à |φi.
Le formalisme de l'opérateur densité permet bien évidemment de décrire l'évolution tempo-relle d'un état quantique et d'ainsi retrouver tous les postulats de la mécanique quantique.
Toutefois, la connaissance de cette évolution n'est pas nécessaire au calcul des quantités utiles de ce laboratoire et ne sera pas discutée. Vous pouvez vous référer au complément EIII du Cohen-Tannoudji pour approfondir le sujet.
6.3.3 Retrouver l'état quantique du système
Maintenant que l'on sait décrire des états mixtes à l'aide de l'opérateur densité et que l'on peut évaluer les probabilités associées à une mesure, on peut aisément calculer le paramètre de Bell dans cette notation. Pour ce faire, on essaiera de donner une description plus réaliste de l'état quantique associé aux paires de photons de l'expérience pour essayer de comprendre pourquoi SBell déterminé expérimentalement ne vaut pas exactement 2√
2. Nous verrons d'ailleurs que le processus de conversion paramétrique spontanée dans les cristaux de BBO contribue à modier l'état quantique du système.
An de générer un état parfaitement enchevêtré (EPR), il est nécessaire de s'assurer que les états|V Viet|HHisoient indiscernables spatialement et temporellement. On cherchera d'abord à évaluer si ces deux conditions sont remplies.
6.3.4 Enchevêtrement dans le domaine temporel
Les photons pompes à 405 nm utilisés pour générer les paires enchevêtrées dans les cristaux de BBO sont cohérents sur une certaine distance appelée distance de cohérence puisqu'ils proviennent d'une diode laser. Ceci signie que deux photons séparés d'une distance plus petite que la distance de cohérence ont une phase bien déterminée entre eux, ou encore que la polarisation d'un photon dans un milieu biréfringent, par exemple |γi=α|ordinairei+ β|extraordinairei, est bien déterminée en autant que le déphasage entre les polarisations ordinaire et extraordinaire induit reste beaucoup plus petit que la distance de cohérence.
Lorsque cette condition n'est pas remplie, la phase devient alors aléatoire et les corrélations disparaissent. Ce phénomène est appelé la décohérence . Ceci est souvent traduit par la disparition des termes hors diagonaux dans la matrice densité comme nous le verrons plus loin. Notez que l'on nomme les processus de décohérence qui dépendent de la polarisation bruit coloré, par opposition à bruit blanc (qui sera discuté plus loin).
Pour obtenir un état enchevêtré dans l'expérience, il est important que la phase entre les états|V Viet|HHide l'état EPR soit bien dénie. Pour ce faire, on compense le déphasage, ou le retard, en introduisant une lame de quartz dans le chemin optique (voir section6.2.4).
Néanmoins, ceci ne permet que de régler le problème en moyenne. En eet, les photons émis par la conversion paramétrique spontanée doivent respecter la conservation d'énergie, mais la fréquence des photons ainsi générés peut varier légèrement pour chaque paire émise.
Ceci signie que le déphasage entre les deux états ne sera pas le même pour chaque paire puisque la vitesse de groupe des photons dans les cristaux de BBO dépend de la fréquence.
L'aspect aléatoire de ce phénomène induit une phase aléatoire entre les deux polarisations de l'état de Bell et génère de la décohérence. Toutefois, puisque les variations dans la fréquence d'émission des paires est faible, et que la longueur de cohérence est assez grande pour le faisceau pompe, ce n'est pas le principal facteur de décohérence du système.
La longueur de cohérence est reliée au temps de cohérence via la vitesse de la lumière, c'est pourquoi on parle d'enchevêtrement ou de cohérence dans le domaine temporel alors que l'enchevêtrement dans le domaine spatiale réfère plutôt à un point précis de l'espace comme nous le verrons à la section suivante.
6.3.5 Enchevêtrement dans le domaine spatial
Dans l'expérience, les cristaux de BBO ont une épaisseur nie, ce qui signie que les paires de photons polarisés verticalement ne sont pas émises exactement au même endroit que les paires de photons polarisés horizontalement. La gure suivante montre un exemple de ce qui se produit. Dans chacun des cristaux, les paires de photons sont émises dans un cône dont l'axe fait un angle de 3° avec le faisceau pompe. Les détecteurs captent alors le signal correspondant à la somme des deux cônes. Ainsi, selon l'endroit où le photon atteint le détecteur, il est possible de déterminer la provenance des photons ! En eet, supposons qu'un photon atteint le haut du détecteur 1. Ceci signie que le photon provenait avec certitude du premier cristal de BBO et que sont état quantique est |V Vi. À l'inverse un photon détecté dans le bas du même détecteur est nécessairement dans l'état|HHi. Seule la région mauve correspondant à l'intersection des deux cônes ne nous permet pas d'inférer la provenance des photons. À cet endroit seulement, l'état quantique du système est donc donné par l'état EPR :|ψiEP R = √1
2(|V Vi+|HHi) . Ainsi, les paires de photons rencontreront les détecteurs dans un de ces états avec une probabilité qui dépend du rapport de l'aire des trois régions (rouge, mauve, bleue) sur le détecteur. De ce fait, l'état quantique n'est enchevêtré que dans la zone mauve. Plus on s'éloigne radialement de cette zone, plus l'état quantique du système subit de la décohérence.
La description précédente est complètement équivalente à celle d'un dispositif optique géné-rant un des trois états avec certaines probabilitésp1,p2,p3. L'état quantique du système est donc un état mixte. Il faut alors utiliser le formalisme de la matrice densité pour déterminer le paramètre de Bell.
D
ε θ
L
1
2
HH
HH VV
VV 1
2
VV e HHiφ
+
Figure 16 Émission de d'une paire de photons enchevêtrés. D est le diamètre du faisceau pompe et L l'épaisseur d'un cristal de BBO. Les cônes rouges représentent les paires de photons verticaux et horizontaux. Là où les cônes se superposent (la région mauve), on obtient des paires intriquées en polarisation. Les dimensions des cristaux ont été nettement exagérées pour n de clarté.
Question 9 : Qu'arriverait-il si les cristaux de BBO étaient inniment minces ? Et s'ils étaient beaucoup plus épais ? Pourquoi ?
Exercice 10 : Justier les conditions suivantes pour réaliser le recouvrement spatial des photons :Ltan (θ)D etLtan (γ)D avec les angles dénis à la gure précédente, L la longueur du cristal de BBO et D le diamètre du faisceau pompe.
6.3.6 Description mathématique du système
L'état complet du système doit maintenant être décrit en termes de projecteurs sur les états possibles du système au niveau du détecteur. On décrira d'abord les matrices densité asso-ciées au bruit dans le système pour ensuite écrire la matrice nale de notre état quantique.
En présence de bruit coloré, tel que décrit dans les deux sections précédentes, la phase entre les états |V Vi et |HHi de l'état de EPR devient complètement aléatoire. Dans ce cas, la meilleure description du système est celle d'un système optique fournissant aléatoirement des paires de photons dans l'état|V Viou dans l'état|HHi. Dans notre expérience la probabilité d'obtenir ces deux états est égale en bonne approximation et on peut donc écrire la matrice densité suivante pour un état en présence de bruit coloré.
ρcolor´e= 1
2(|V Vi hV V|+|HHi hHH|) (45)
Question 10 : Justier pourquoi la probabilité d'obtenir |V Vi et |HHi est la même dans notre expérience.
L'état quantique décrit à l'équation (45) ne représente toutefois pas complètement la réalité physique de notre système. En eet, dans la description précédente on suppose que le système ne subit que de la décohérence causée par du bruit coloré négligeant de ce fait la possibilité d'obtenir les états|V Hiet|HVi. Or, dans l'expérience, on détecte la présence de ces états et il est donc nécessaire d'en tenir compte dans notre modèle. La présence de ces états signie qu'il y a des processus, soit dans les cristaux de BBO ou dans les autres composants optiques du montage, qui peuvent modier de façon aléatoire la polarisation des photons.
Ces processus détruisent évidemment les corrélations entre les photons enchevêtrés du fait de leur caractère aléatoire. En supposant que ces processus ne dépendent pas de la polarisation des photons, nous sommes contraints de décrire l'état des photons ayant subit ces processus avec la matrice densité (46). On nomme ces processus bruit blanc puisqu'ils ne dépendent pas de la polarisation des photons.
ρblanc = 1
4(|V Vi hV V|+|V Hi hV H|+|HVi hHV|+|HHi hHH|) = 1
4I (46) avec I la matrice identité.
Puisque l'on peut désormais décrire le bruit ainsi que l'état EPR de notre système en termes de matrice densité, on peut écrire l'état total des paires de photons comme un état mixte.
En eet, une paire de photons émise dans l'état EPR a une certaine probabilité de subir de la décohérence par les processus de bruit blanc ou coloré mentionnés ci-haut. Ainsi, une certaine proportion de l'état total du système se retrouve dans un des trois états ρblanc, ρcolor´e ou ρEP R. Avec r la proportion de l'état quantique qui subit du bruit coloré et p la proportion de l'état qui est dans l'état EPR et 1-p-r la proportion de bruit blanc, on obtient la matrice densité suivante :
ρtotal =pρEP R+rρcolor´e+ (1−p−r)ρblanc (47) On voit bien que les termes corrélations sont maximaux lorsque p = 1. Puisque p+r ≤ 1 doit toujours être respecté, les corrélations seront maximales en l'absence de décohérence et de bruit blanc. Néanmoins, il est possible de démontrer qu'il est toujours possible de trouver un angle relatif entre les polariseurs tel que SBell≥2 lorsque p+r= 1. Ceci signie que le paramètre de Bell est très robuste à la décohérence, mais pas au bruit blanc.
Avec cette nouvelle matrice densité, on peut calculer le paramètre de Bell en fonction de l'angle γ entre les diérentes orientations d'analyse des polariseurs (voir l'annexe C pour le calcul des projecteurs et quelques détails mathématiques).
SBell(γ, p, r) = cos(2γ) [4p+ 3r−2(p+r) cos(4γ) +rcos(8γ)] (49)
Figure 17 Paramètre de Bell en fonction de l'angle relatif d'analyse des polariseurs pour diérentes valeurs de p avec la conditionp+r= 1 (sans bruit blanc) . Trois diérents états sont représentés ; l'état pur de Bell par p = 1 (bleu), l'état mixte p=0.5 (rouge) et l'état classique p=0 (or). L'eet du bruit blanc n'a pas été pris en compte ici.
Exercice 11 : Démontrer que la matrice densité du système est bien donnée par (49) à l'aide de Mathématica ou d'un autre logiciel de calcul symbolique. Ceci n'est pas évident et le moniteur vous montrera comment.
Question 11 : À l'aide de l'équation (49) et de vos données expérimentales, retrou-ver l'état quantique de votre système en faisant un lissage de la courbe expérimentale.. Quelle sont les valeurs de p et de r ? Interpréter physi-quement. Tracer la courbe du résiduel pour évaluer la qualité du lissage ; le résiduel étant l'écart entre les points expérimentaux et la prédiction théorique.
Question 12 : Faire varier les paramètres p et r de l'équation (49) et discuter de leur inuence sur le paramètre de Bell en fonction de α.
Références
[1] B. A. Betchart. A test of Bell's Inequality for the Undergraduate Laboratory.
http ://www.tp.physique.usherbrooke.ca/experiences_chiers/Bell/references/betchart_thesis.pdf.
[2] Bachor H.-A. & Ralph T. C. A guide to Experiments in Quantum Optics.
Wiley-VCH, 2004.
[3] Podolsky B. & Rosen N. Einstein A. Can quantum mechanical system description of physical reality be considered complete ? Phys. Rev., 47 :777780, 1935.
[4] Basdevant J.-L. & Dalibard J. Mécanique Quantique. 2006.
[5] Bell J.-S. On the einstein-podolsky-rosen paradox. Physics, 1 :195, 1965.
[6] Cohen-Tannoudji C. Laloë F. & Diu B. Mécanique Quantique (Tome I). Editions Hermann, 1997.
[7] Beck M. Quantum Mechanics. Oxfor University Press, 2012.
[8] Fox M. Optique Quantique une introduction. Oxford University Press, 2006.
[9] Beck Mark. Quantum Mechanics Theory and Experiment. OXFORD University Press, 2012.
[10] Bohr N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete ? Pys. Rev., 48 :698702, 1935.
[11] Dotsenko S. & Voronov V.G. Robustness of moise-present bell's inequality violation by entangled state. Ukr. J. Phys., 53(10) :10061011.
[12] Dehlinger D. & Mitchell M. W. Entangles photons, nonlocality, and bell inequalities in the undergraduate laboratory. Am. J. Phys., 70(9) :903910, 2002.
Annexe A Probabilités conditionnelles
On dénote P(Vα|Vβ) la probabilité d'observer le photon β dans un état de polarisation Vβ conditionnellement à l'observation du photon α dans l'état de polarisation Vα. D'un point de vue opérationnel, cette probabilité se mesure en comptant le nombre de résultats correspondant à la paire (Vα, Vβ) relativement au nombre de mesures ou le photon α est observé dans l'état Vα.
P(Vα|Vβ)→ nombre (Vα, Vβ)
nombre (Vα, Vβ) +nombre (Vα, Hβ) (A-1) Nous pouvons calculer cette probabilité conditionnelle de deux façons distinctes. D'abord, nous pouvons utiliser la règle de Bayes qui nous permet de calculer la probabilité condi-tionnelle P(Vα|Vβ) à partir de la probabilité jointe P(Vα, Vβ) et la probabilité marginale P(Vα) =P(Vα, Vβ) +P(Vα, Hβ). La règle de Bayes est :
P(Vα|Vβ)→ P(Vα, Vβ)
P(Vα) (A-2)
Que nous reconnaissons comme l'équivalent probabiliste de l'équation (A-1).
La seconde façon de calculer cette probabilité consiste à utiliser le postulat de réduction du paquet d'onde. Pour cela, on peut s'imaginer que les mesures des photons sont eectuées de façon séquentielle, c'est-à-dire que le photon α est mesuré d'abord, suivi du photon β. Cet ordre ne change en rien les résultats de la mesure puisque les opérateurs de mesure associés à des régions séparées d'une distance macroscopique commutent entre eux. Ainsi, l'ordre des mesures est sans importance. Nous l'utilisons simplement pour faciliter les calculs. Suite à une mesure du photon α avec résultatVα, l'état globale des photons est :
La seconde façon de calculer cette probabilité consiste à utiliser le postulat de réduction du paquet d'onde. Pour cela, on peut s'imaginer que les mesures des photons sont eectuées de façon séquentielle, c'est-à-dire que le photon α est mesuré d'abord, suivi du photon β. Cet ordre ne change en rien les résultats de la mesure puisque les opérateurs de mesure associés à des régions séparées d'une distance macroscopique commutent entre eux. Ainsi, l'ordre des mesures est sans importance. Nous l'utilisons simplement pour faciliter les calculs. Suite à une mesure du photon α avec résultatVα, l'état globale des photons est :