Pour décrire l'état de polarisation d'un photon, il est nécessaire de choisir une base adéquate.
Choisissons la base formée des vecteurs de polarisation verticale |Viet horizontale |Hi qui sont orthogonaux. Dans cette base, le vecteur de polarisation d'un photon s'écrit :
|ψi=cV |Vi+cH|Hi (8)
Les coecients cV etcH sont complexes et vérient :|cV|2+|cH|2 = 1. La mesure de la polarisation d'un photon ne peut prendre que deux valeurs :
le photon est transmis par l'analyseur. L'état de polarisation devient|Vi(polarisation verticale). La mécanique quantique prédit la probabilité d'obtenir ce résultat :
PV =|hV |ψi|2 =|cV|2 (9) le photon est bloqué par l'analyseur. L'état de polarisation devient|Hi. La probabilité
d'obtenir ce résultat est :
PH =|hH|ψi|2 =|cH|2 (10)
On remarque que la mesure modie en général l'état de polarisation du photon. C'est un postulat de la Mécanique Quantique mieux connu sous le nom de Réduction du paquet d'onde .
Exercice 1 : Écrire l'état de polarisation d'un photon possédant un état de polarisa-tion rectiligne faisant un angleα avec la verticale. Quelle est la probabi-lité de le mesurer dans l'état|Vi?
Exercice 2 : Pour un état de polarisation d'un photon possédant une polarisation circulaire gauche :|ψi= √1
2(|Vi+i|Hi), quelle est la probabilité de le mesurer dans l'état|Vi?
Si l'on choisit de mesurer l'état de la polarisation d'un photon à l'aide d'un analyseur tourné d'un angle α par rapport à la verticale (voir gure suivante), la nouvelle base des états de polarisations est|Vαi,|Hαi.
Vα V
H
H α α
Figure 10 Base inclinée d'un angle α. Les vecteurs propres de cette base sont obtenus par la transformation :
|Vαi= cosα|Vi −sinα|Hi (11)
|Hαi= sinα|Vi+ cosα|Hi (12) Exercice 3 : Soit un photon dans l'état de polarisation|Vi. Quel est son état de
pola-risation dans la base inclinée d'un angleα? Quelle est la probabilitéPVα de le mesurer dans l'état|Vαi? Soit un photon dans l'état de polarisation
|Vαidans la base inclinée d'un angleα. Quel est son état de polarisation dans la base verticale. Quelle est la probabilité de le mesurer l'état|Vi? 5.2 Paires de photons intriqués en polarisation
Nous allons maintenant voir comment réaliser et étudier des paires de photons intriqués en polarisation. L'état de polarisation de ces paires de photons, appelé état EPR, s'écrit de la façon suivante :
|ψiEP R = 1
√
2(|Vi1|Vi2+|Hi1|Hi2) (13)
Cet état est similaire à l'expérience de pensée proposée par Einstein, Podolsky et Rosen.
Dans leur expérience, ce sont les degrés de liberté d'impulsion qui étaient intriqués. Il s'agit d'un état non factorisable : autrement dit, on ne peut pas attribuer d'état de polarisation à chacun des photons pris individuellement.
Exercice 4 : Montrer que pour l'état |ψiEP R la probabilitéPVα de mesurer le photon 1 dans l'état|Vαi est ½ quelque soit l'angleα.
Par contre, si on mesure un des deux photons dans l'état |Vi (ou respectivement |Hi), on sait avec certitude que l'autre photon est dans l'état|Vi(ou respectivement|Hi), sans avoir à mesurer son état. Plus généralement, si on s'intéresse à la probabilité jointe de trouver le photon 1 dans l'état|Vαi et le photon 2 dans l'état |Vβi, on doit calculer :
P(Vα, Vβ) =
hVα|1hVβ|2ψEP R i
2 (14)
Question 2 : Montrer que l'on obtient :
P(Vα, Vβ) = 1
2cos2(α−β) (15)
Attention ! Habituellement, quand on parle de probabilité jointe, on utilise la nota-tion P(Vα, Vβ) qu'il ne faut pas confondre avec probabilité condition-nelle P(Vα|Vβ). L'annexe A explique comment la règle de Bayes relie ces deux probabilités.
Note : On sait que si on commence par mesurer la probabilité d'avoir le second dans l'état |Vβi on obtiendra ½. On peut ensuite appliquer le postulat de réduction du paquet d'onde (voir annexe A).
Ce résultat montre bien que si l'on mesure un des deux photons dans l'état |Vαi, alors on sait avec certitude, sans avoir besoin de mesurer son état, que l'autre photon est dans l'état
|Vαi. Cela reste vrai, même si les photons sont très éloignés l'un de l'autre : c'est bien là que réside le paradoxe EPR. Ceci servira de preuve pour conrmer que la mécanique quantique est une théorie non-locale.
P(Vα, Vα) = 1
2 quelque soit l'angleα
(le facteur 1/2 vient du fait que l'on ne détecte que la moitié des photons. Si on applique la règle de Bayes, on trouve queP(Vα|Vα) = 1.).
Exercice 5 : Pour conrmer la généralité de ce calcul en écrivant l'état EPR
|ψiEP R= 1
√2(|Vi1|Vi2+|Hi1|Hi2) dans une base inclinée d'un angleα. Montrer que l'on obtient
|ψiEP R = 1
√2(|Vαi1|Vαi2+|Hαi1|Hαi2)
Ainsi, la mécanique quantique prédit des résultats totalement corrélés lorsque les analy-seurs sont parallèles, alors même que les résultats individuels sont totalement aléatoires.
5.3 Corrélations et paramètre de Bell
On peut mesurer le degré de corrélation entre quantités aléatoires à l'aide de la fonction suivante :
E(Vα, Vβ) =P(Vα, Vβ) +P(Hα, Hβ)−P(Hα, Vβ)−P(Vα, Hβ) (16) En fait, la fonction précédente donne zéro dans tous les cas où il n'y a pas d'enchevêtrement, i.e. pour toute fonction d'onde de type|φ1i⊗|φ2i. La fonction E donne zéro si les probabilités peuvent être réécrites sous la forme de produits.
Exercice 6 : Montrer qu'un état EPR conduit à E(Vα, Vβ) = cos [2 (α−β)]. Vérier que :E(Vα, Vα) = 1,E(Vα, Hα) =−1etE
Vα, Vα+π
4
= 0
Une forme classique des inégalité de Bell6 (voir aussi Annexe D) utilise une combinaison de quatre degrés de corrélation associés à deux directions d'analyse (voir gure (11)) pour chaque polariseur (a eta0 pour le polariseur no 1 et b etb0 pour le polariseur no 2), qu'on appellera le paramètre de Bell :
SBell(a, a0, b, b0) =E(a, b)−E(a, b0) +E(a0, b) +E(a0, b0) (17) Question 3 : Montrer que SBell(a, b, a0, b0) = 2√
2 pour les angles de la gure (11), alors que la mécanique classique prévoit−2≤SBell≤2(voir Aspect).
On vous réfère ici au document d'Alain Aspect qui est d'une clarté remarquable (voir note de bas de page). Il montre de belle façon comment les inégalités de Bell sont violées lorsqu'on les applique à un état intriqué.
6. http ://www.tp.physique.usherbrooke.ca/experiences_chiers/Bell/references/Aspect.pdf
a
γ γ γ a' b
b'
22.5o 22.5o 22.5o
Figure 11 Orientations donnant le conit maximal entre les inégalités de Bell et la mécanique quantique.
6 Manipulations expérimentales
Note : Ce qui protège les compteurs de photons, c'est l'insertion de ltres qui ne laissent passer que les longueurs d'onde supérieures à 780 nm. Ces ltres ont été installés dans les collecteurs à bre optique. Il faut donc éviter de débrancher les bres optiques qui sont reliées aux collecteurs et aux compteurs.
6.1 Instrumentation électronique 6.1.1 Compteurs de photons
Note : Ne jamais allumer une autre lumière que les lumières DEL fournies lorsque les compteurs sont sous tension. Personne ne doit entrer ou sortir de la pièce si les compteurs fonctionnent.
Les compteurs de photons fournissent une impulsion de 4.5 V d'une durée de 25 nsec pour chaque photon détecté. Ils sont très fragile et ne doivent en aucun temps être exposés à la lumière ambiante.
6.1.2 Compteurs de coïncidences et module TAC
Vous avez à votre disposition des compteurs de coïncidences d'une résolution de 30 nsec.
Pour diminuer cette fenêtre de temps jusqu'à 1 nsec, on utilise un module TAC (Time to amplitude converter) combiné à un module SCA (Single channel analyzer).
TAC
Figure 12 Modules TAC et SCA.
Les compteurs de coïncidences consistaient (première version du montage) en des portes logiques (limitées à 30 nsec). La présence d'un signal sur l'entrée A en même temps qu'un signal sur l'entrée B d'un compteur donne une coïncidence si le temps entre les deux signaux est inférieur à 30 nsec. Cela est susant pour réaliser l'expérience mais pour diminuer au maximum les coïncidences fortuites on utilise une autre astuce. On se sert premièrement d'un TAC. Ce module est muni de deux entrées : START et STOP. Lorsqu'un signal arrive à l'entréee START, le TAC démarre un intégrateur et attend de recevoir un signal sur l'entrée STOP. Cet intégrateur va produire une impulsion dont la hauteur sera proportionnelle au délai entre le START et le STOP (10V de haut pour 100 nsec d'écart). Vous remarquez dans la gure 12 qu'on a ajouté une ligne à délai sur l'entrée STOP. Son utilité est évidente car sans cette ligne, le TAC produirait une impulsion d'une hauteur nulle pour deux signaux en parfaite coïncidence. On insère donc un délai d'environ 40 nsec sur l'entrée STOP. Pour deux impulsions en parfaite coïncidence, le TAC va maintenant générer des impulsions de 4 V d'amplitude et nous pourrons donc les compter. On veut maintenant restreindre la fenêtre temporelle à une nanoseconde. C'est ici qu'intervient le module SCA. Son fonctionnement est très simple. Cet appareil génère une impulsion TTL à chaque fois qu'elle reçoit une impulsion qui a exactement la bonne hauteur (celle de la fenêtre que l'on règle avec les boutons LOWER LEVEL et WINDOW). Par exemple, des signaux en parfaite coïncidence donne à la sortie du TAC une impulsion de 4 V alors que pour des signaux séparées de 1 nsec le TAC donnera plutôt une impulsion de 4.1 V. En ajustant le SCA pour qu'il ne laisse passer que des signaux entre 4 et 4.1 V, on s'assure d'obtenir une résolution d'une nanoseconde.
On va maintenant utiliser l'ancienne boite de compteurs de coïncidences pour compter 3 choses : le nombre de comptes provenant du détecteur A, celui provenant du détecteur B et le nombre de coïncidences. Pour ce faire, on utilise les trois portes logiques disponibles
en appliquant un 5V CC sur chacune des entrées B des portes. Les résultats sont ensuite comptées par une carte d'acquisition.
Avec le moniteur, vériez le bon fonctionnement des modules TAC et SCA. Pour cela, utiliser un générateur d'impulsions et le module de délai fourni. Par la suite, remplacez-le générateur d'impulsions par la sortie des deux détecteurs.
Lorsque le signaux proviendront des détecteurs optiques, vous aurez à repositionner la fenêtre du SCA.
6.2 Partie optique
6.2.1 Réglage de chacune des voies
Nous commencerons par maximiser le taux de comptage sur chacune des deux voies (Signal et Idler) et par s'assurer qu'ils varient simultanément lorsqu'on eectue une rotation des cristaux de BBO autour d'un axe vertical. Pour des raisons de sécurité, la mise au point de l'optique de la gure (7) a déjà été eectuée.
Question 4 : Si vous tournez la polarisation de la pompe (qui normalement est verti-cale à 0o) de 90o, à l'aide de la lame demi-onde, quelle sera la polarisation des photons à 810 nm ? À quel angle faut-il placer la lame demi-onde pour que la pompe soit eectivement à l'horizontale ?
Fermer toutes les lumières et ne laisser que les DEL allumées.
Prendre soin de mettre les lunettes d'alignement avant de mettre le laser en fonction.
Le faisceau pompe devrait normalement terminer sa course sur le stoppeur placé devant les deux polariseurs infrarouges. Identifer les endroits où il pourrait y avoir des réexions dangereuses.
On peut maintenant alimenter le module de compteurs de photons. Il devrait y avoir un adaptateur 50Ωsur les sorties du compteur. Pour mesurer uniquement le taux de comptage sur la voie no 1, il faut mettre la sortie du premier détecteur sur l'entrée START du TAC, et à l'aide d'un adapteur en T, la relier à l'entrée A du premier compteur de coïncidences et mettre l'entrée B à 5V (voir le moniteur). De même, pour mesurer uniquement le taux de comptage sur la voie no 2, il faut mettre la sortie du second détecteur (rallongée par la ligne à délai) sur l'entrée STOP du TAC, et à l'aide d'un adapteur en T, la relier à l'entrée A du second compteur de coïncidences et mettre l'entrée B à 5V . Pour la mesure des coïncidences, il faut mettre la sortie du SCA sur l'entrée A du troisième compteur de coïncidences et l'entrée B à 5V.
ATTENTION ! Pour éviter les réexions dans les câbles, il faut passer d'abord passer par le TAC avant d'aller aux compteurs de coïncidences et non l'inverse (voir gure À l'aide du logiciel, ajuster l'angle de la lame demi-onde à 4512). o. Dans cette congu-ration, la polarisation du faisceau pompe est horizontale lorsqu'elle entre dans les cristaux de BBO.
Augmenter la taille de la fenêtre du SCA pour être certain de compter les photons.
Les polariseurs infrarouge sont placés devant le détecteur. Placer leur orientation à 0o (verticaux) à l'aide de l'ordinateur. Comme les photons pompes sont polarisés horizontalement, vous devriez détecter des photons à 810 nm polarisés verticalement.
Aligner les collecteurs pour maximiser le nombre de comptes (n'oubliez pas de re-positionner la fenêtre du SCA pour obtenir de nouveau une résolution temporelle de 1 nsec). Pour cela, vous pouvez aussi tourner les BBO autour de l'axe vertical (vous verrez que le taux de comptage est très sensible à l'orientation des BBO). Vous devriez obtenir un taux d'environ 50 000 comptes/sec.
Refermer le plus possible la fenêtre du SCA pour obtenir une bonne résolution tem-porelle.
Tourner la polarisation du faisceau pompe pour la mettre à la verticale. Vous devez maintenant tourner les polariseurs infrarouges à l'horizontale pour détecter les pho-tons. Cette fois, c'est le goniomètre qui va vous permettre de modier l'orientation de l'axe du BBO par rapport à la verticale pour maximiser votre signal. Vous pouvez aussi aligner de nouveau les collecteurs pour maximiser le nombre de comptes.
6.2.2 Optimisation des coïncidences
Ajuster la pompe à 0o, vous devriez obtenir des photons dans l'état|Hi1|Hi2. Maxi-miser les coïncidences.
Ajuster la pompe à 90o, vous devriez obtenir des photons dans l'état|Vi1|Vi2. Maxi-miser les coïncidences.
Il n'est pas facile d'obtenir exactement le même nombre de coïncidences dans les deux cas précédents. On verra plus loin comment faire pour y arriver.
6.2.3 4.1 Coïncidences fortuites et signal d'obscurité
Les coïncidences fortuites sont dues à deux photons qui sont détectés par hasard sur chacun des détecteurs pendant la fenêtre de coïncidence dont la durée est τf (normalement réglée à 1 nsec).
Question 5 : Montrer que le taux de coïncidences fortuites est nf =nAnBτf : oùnA
etnB sont les taux de comptage sur chacune des voies.
Les modules de détection que vous utilisez ont un bruit de fond (dark count) d'environ 400 cps.
6.2.4 Ajustement de l'état EPR
Si vous ajustez la polarisation de la pompe à 45ovous obtiendrez l'état suivant (en supposant que vous ayez autant de |Vi |Vique de|Hi |Hi) pour les paires de photons générés :
|ψipaire = 1
√ 2
|Hi1|Hi2+eiφ|Vi1|Vi2
(18) En eet, grâce aux deux cristaux (vertical et horizontal), deux processus indépendants sont possibles :
|Vipompe→ |Hi1|Hi2
|Hipompe→eiφ|Vi1|Vi2
où φ est le déphasage entre ces deux processus dû à la dispersion et à la biréfringence des cristaux. En eet, les infrarouges verticaux ne voient pas le même indice de réfraction que les infrarouges horizontaux. Si l'état de polarisation des photons pompes fait un angleθavec la verticale, leur état s'écrira dans la base des axes des cristaux
|ψipompe = cosθ|Vipompe+ sinθ|Hipompe (19) et le vecteur d'état de polarisation des paires créées est :
|ψipaire = cosθ|Hi1|Hi2+eiφsinθ|Vi1|Vi2 (20) pour θ= 45o
|ψipaire = 1
√2
|Hi1|Hi2+eiφ|Vi1|Vi2
(21) On rappelle que la probabilité de trouver le photon 1 dans l'état |Vαi et le photon 2 dans l'état |Vβi estP(Vα, Vβ) =
hVα|1hVβ|2ψEP R i
Exercice 7 : Pour l'état de paire obtenu, calculer les probabilitésP(H, H)etP(V, V) et vérier que les nombres de coïncidences obtenus conrment ces résul-tats.
Question 6 : Montrer que :P(V45o, V450) = 14(1 + cosφ)
Or, pour un état EPR, P(V45o, V45o) =P(V0o, V0o) = 12 : ce qui n'est réalisé que si φ= 0. On voit donc ici une diérence fondamentale entre l'état EPR pur et cette paire : l'état de paire n'est pas de symétrie de révolution. Il faut donc impérativement compenser d'une façon ou d'une autre ce déphasage φ, introduit par les cristaux. Une méthode possible consiste à ajuster l'état de polarisation des photons pompes à l'aide d'un élément déphaseur de sorte que :
|ψipompe=|Vi+eiφpompe|Hi (22)
On règle ensuite cet élément déphaseur de telle sorte queφpompe =−φ. Nous utiliserons une simple lamelle de quartz (matériau biréfringent) pour modier le déphasage.
La violation d'une égalité de Bell sera maximale pour un état EPR le plus pur possible.
Pour cette raison, les deux cristaux de BBO sont très minces de façon à ce que les deux cônes de lumière se superposent et ne permettent pas de savoir dans quel cristal une paire de photons a été produite, condition nécessaire à l'intrication.
Avec la pompe à 45o, varier l'orientation de la lamelle de quartz pour obtenirφpompe=
−φ. Pour cela on peut maximiser le nombre de coïncidences pour les analyseurs à 45o sur les deux voies ou minimiser pour l'un à 45o et l'autre à -45o. Le deuxième choix est plus facile.
À l'aide du logiciel, faire un balayage en angles avec les polariseurs parallèles et tournant ensemble. Si vous avez autant de |Vi |Vi que de |Hi |Hi, le nombre de coïncidences devrait rester constant. Si ce n'est pas le cas, tourner légèrement la lame demi-onde et recommencer. Une oscillation de 5 à 10% des valeurs devrait être obtenue.
6.2.5 Variation de P(Vα, Vβ) en fonction de |α−β|.
Les deux théories que nous voulons confronter ( variables cachées ou M.Q. ) ne prévoient pas la même variation de la probabilité conjointe en fonction de l'angle relatif (voir Aspect). Il est donc intéressant de tracer cette courbe.
Fixer l'angleα à 0o (polariseur no 1) et tracer l'évolution du nombre de coïncidences en fonction deβ (polariseur no 2).
Recommencer mais cette fois avecα à 90o, puis àα à 45o.
Comparer avec la prédiction de la mécanique quantiqueNα,β =kcos2(α−β) Pourquoi les courbes ne tombe pas à zéro ?
Question 7 : La mécanique classique ne prédit pas d'états intriqués mais seulement des états mixtes pour lesquels la polarisation est |Hi1|Hi2 la moitié du temps et |Vi1|Vi2 l'autre moitié. Pour un angle α = 0, π/4etπ/2, montrer que la mécanique classique prédit les probabilités suivantes :
Pmixte = 1
2cos2β Pmixte = 1
4 Pmixte= 1
2sin2β (23)
(Vous reconnaissez ici la loi de Malus lorsque α= 0 ).
On verra plus loin que l'on reproduit assez bien les résultats expérimentaux en considérant que l'état de polarisation des photons n'est pas uniquement ψEP R. Le modèle que nous développerons plus loin suppose la présence de bruit coloré , état dans lequel les photons sont soit |V Vi ou |HHi. Le modèle suppose aussi l'existence de bruit blanc où les photons sont dans tous les états possibles : |V Vi, |HVi, |V Hi, |HHi. On dira que l'on a une probabilité p d'être dans l'état ψEP R, une probabilité r d'être dans l'état ψcolor´e et nalement, une probabilité1−p−rd'avoirψblanc. À l'aide du chier Mathematica (site des T.P.), on montre que la probabilité d'obtenir une coïncidenceP(Vα, Vβ, ρ[p, r])est donnée par :
P(Vα, Vβ, ρ[p, r]) = 1
8(2 + (2p+r) cos [2α−β)] +r cos[2 (α+β)] (24) ρ[p, r]représente la matrice densité qui dépend de p etr. La théorie de la matrice densité vous sera présentée plus loin. À partir des résultats du paramètre de Bell, vous pourrez déterminer les valeurs dep etr. Vous pourrez ensuite utiliser l'équation [24] pour comparer ses prédictions avec vos mesures précédentes.
6.2.6 Principe de mesure du paramètre de Bell
Pour mesurer le paramètre de Bell, il faut mesurer les degrés de corrélationE(Vα, Vβ) pour les quatre directions a, a', b, b' dénies à la gure 11. Chaque valeur de E(Vα, Vβ) est obtenue par la mesure de 4 probabilités : P(Vα, Vβ),P(Vα+90o, Vβ+90o),P(Vα+90o, Vβ) et P(Vα, Vβ+90o).
E(Vα, Vβ) =P(Vα, Vβ) +P(Hα, Hβ)−P(Hα, Vβ)−P(Vα, Hβ) (25) Ces quatre probabilités sont obtenues par quatre mesures de taux de coïncidences avec des angles (α, β),(α+ 90o, β+ 90o) ,(α, β+ 90o) et(α+ 90o, β).
ntotal =n(α, β) +n(α+ 90o, β+ 90o) +n(α, β+ 90o) +n(α+ 90o, β) (26) P(Vα, Vβ) =n(α, β)/ntotal (27) P(Hα, Hβ) =n(α+ 90o, β+ 90o)/ntotal (28) P(Vα, Hβ) =n(α, β+ 90o)/ntotal (29) P(Hα, Vβ) =n(α+ 90o, β)/ntotal (30) Ces 4 mesures de taux de coïncidences donnent ainsi la valeur du degré de corrélation :
E(Vα, Vβ) = n(α, β) +n(α+ 90o, β+ 90o)−n(α, β+ 90o)−n(α+ 90o, β)
n(α, β) +n(α+ 90o, β+ 90o) +n(α, β+ 90o) +n(α+ 90o, β) (31) Il y a donc 16 mesures de taux de coïncidences détectées à eectuer pour mesurer SBell :
SBell(a, a0, b, b0) =E(a, b)−E(a, b0) +E(a0, b) +E(a0, b0) (32) Pour diminuer l'incertitude sur chacune des mesures, il faut augmenter le nombre de coïn-cidences détectées, donc compter pendant un temps plus long. En eet, l'incertitude sur la mesure du taux de coïncidences est liée au bruit de photons. Si la durée de la fenêtre de comptage est T , le nombre de coïncidences est Nc et le taux de coïncidences est nc, alors l'écart type sur le nombre de coïncidences détectées est :
σNc =p
Nc=p
ncT (33)
Donc, l'écart type sur le taux de coïncidences détectées est :σnc = σTNc =pnc
T
Exercice 8 : Si l'on compte en moyenne 100 coïncidences par seconde, quel est l'écart type sur le taux de coïncidences ? Pendant combien de temps doit-on compter pour diviser par 10 cet écart type ?
L'évaluation de cet écart type sur le taux de coïncidences, en supposant que les incertitudes de ces 16 mesures sont indépendantes, permet de calculer l'écart type sur la mesure deSBell . où T est la durée de la fenêtre de comptage des coïncidences utilisée. Pour obtenir un écart type faible, on fera des mesures sur un temps de 5 sec. C'est un temps très court car vous devriez avoir des milliers de coïncidences par seconde.
6.2.7 Mesure du paramètre de Bell
Utiliser le programme d'acquisition. Cette mesure est pour un angle de 22.5o entre les axes a, a', b, b'. Cet angle est réglable à l'aide du logiciel. C'est à cet angle
Utiliser le programme d'acquisition. Cette mesure est pour un angle de 22.5o entre les axes a, a', b, b'. Cet angle est réglable à l'aide du logiciel. C'est à cet angle