Description mathématique du système

 

Figure 16 Émission de d'une paire de photons enchevêtrés. D est le diamètre du faisceau pompe et L l'épaisseur d'un cristal de BBO. Les cônes rouges représentent les paires de photons verticaux et horizontaux. Là où les cônes se superposent (la région mauve), on obtient des paires intriquées en polarisation. Les dimensions des cristaux ont été nettement exagérées pour n de clarté.

Question 9 : Qu'arriverait-il si les cristaux de BBO étaient inniment minces ? Et s'ils étaient beaucoup plus épais ? Pourquoi ?

Exercice 10 : Justier les conditions suivantes pour réaliser le recouvrement spatial des photons :Ltan (θ)D etLtan (γ)D avec les angles dénis à la gure précédente, L la longueur du cristal de BBO et D le diamètre du faisceau pompe.

6.3.6 Description mathématique du système

L'état complet du système doit maintenant être décrit en termes de projecteurs sur les états possibles du système au niveau du détecteur. On décrira d'abord les matrices densité asso-ciées au bruit dans le système pour ensuite écrire la matrice nale de notre état quantique.

En présence de bruit coloré, tel que décrit dans les deux sections précédentes, la phase entre les états |V Vi et |HHi de l'état de EPR devient complètement aléatoire. Dans ce cas, la meilleure description du système est celle d'un système optique fournissant aléatoirement des paires de photons dans l'état|V Viou dans l'état|HHi. Dans notre expérience la probabilité d'obtenir ces deux états est égale en bonne approximation et on peut donc écrire la matrice densité suivante pour un état en présence de bruit coloré.

ρ_color´e= 1

2(|V Vi hV V|+|HHi hHH|) (45)

Question 10 : Justier pourquoi la probabilité d'obtenir |V Vi et |HHi est la même dans notre expérience.

L'état quantique décrit à l'équation (45) ne représente toutefois pas complètement la réalité physique de notre système. En eet, dans la description précédente on suppose que le système ne subit que de la décohérence causée par du bruit coloré négligeant de ce fait la possibilité d'obtenir les états|V Hiet|HVi. Or, dans l'expérience, on détecte la présence de ces états et il est donc nécessaire d'en tenir compte dans notre modèle. La présence de ces états signie qu'il y a des processus, soit dans les cristaux de BBO ou dans les autres composants optiques du montage, qui peuvent modier de façon aléatoire la polarisation des photons.

Ces processus détruisent évidemment les corrélations entre les photons enchevêtrés du fait de leur caractère aléatoire. En supposant que ces processus ne dépendent pas de la polarisation des photons, nous sommes contraints de décrire l'état des photons ayant subit ces processus avec la matrice densité (46). On nomme ces processus bruit blanc puisqu'ils ne dépendent pas de la polarisation des photons.

ρ_blanc = 1

4(|V Vi hV V|+|V Hi hV H|+|HVi hHV|+|HHi hHH|) = 1

4I (46) avec I la matrice identité.

Puisque l'on peut désormais décrire le bruit ainsi que l'état EPR de notre système en termes de matrice densité, on peut écrire l'état total des paires de photons comme un état mixte.

En eet, une paire de photons émise dans l'état EPR a une certaine probabilité de subir de la décohérence par les processus de bruit blanc ou coloré mentionnés ci-haut. Ainsi, une certaine proportion de l'état total du système se retrouve dans un des trois états ρ_blanc, ρ_color´e ou ρEP R. Avec r la proportion de l'état quantique qui subit du bruit coloré et p la proportion de l'état qui est dans l'état EPR et 1-p-r la proportion de bruit blanc, on obtient la matrice densité suivante :

ρ_total =pρEP R+rρ_color´e+ (1−p−r)ρ_blanc (47) On voit bien que les termes corrélations sont maximaux lorsque p = 1. Puisque p+r ≤ 1 doit toujours être respecté, les corrélations seront maximales en l'absence de décohérence et de bruit blanc. Néanmoins, il est possible de démontrer qu'il est toujours possible de trouver un angle relatif entre les polariseurs tel que S_Bell≥2 lorsque p+r= 1. Ceci signie que le paramètre de Bell est très robuste à la décohérence, mais pas au bruit blanc.

Avec cette nouvelle matrice densité, on peut calculer le paramètre de Bell en fonction de l'angle γ entre les diérentes orientations d'analyse des polariseurs (voir l'annexe C pour le calcul des projecteurs et quelques détails mathématiques).

SBell(γ, p, r) = cos(2γ) [4p+ 3r−2(p+r) cos(4γ) +rcos(8γ)] (49)

Figure 17 Paramètre de Bell en fonction de l'angle relatif d'analyse des polariseurs pour diérentes valeurs de p avec la conditionp+r= 1 (sans bruit blanc) . Trois diérents états sont représentés ; l'état pur de Bell par p = 1 (bleu), l'état mixte p=0.5 (rouge) et l'état classique p=0 (or). L'eet du bruit blanc n'a pas été pris en compte ici.

Exercice 11 : Démontrer que la matrice densité du système est bien donnée par (49) à l'aide de Mathématica ou d'un autre logiciel de calcul symbolique. Ceci n'est pas évident et le moniteur vous montrera comment.

Question 11 : À l'aide de l'équation (49) et de vos données expérimentales, retrou-ver l'état quantique de votre système en faisant un lissage de la courbe expérimentale.. Quelle sont les valeurs de p et de r ? Interpréter physi-quement. Tracer la courbe du résiduel pour évaluer la qualité du lissage ; le résiduel étant l'écart entre les points expérimentaux et la prédiction théorique.

Question 12 : Faire varier les paramètres p et r de l'équation (49) et discuter de leur inuence sur le paramètre de Bell en fonction de α.

Références

[1] B. A. Betchart. A test of Bell's Inequality for the Undergraduate Laboratory.

http ://www.tp.physique.usherbrooke.ca/experiences_chiers/Bell/references/betchart_thesis.pdf.

[2] Bachor H.-A. & Ralph T. C. A guide to Experiments in Quantum Optics.

Wiley-VCH, 2004.

[3] Podolsky B. & Rosen N. Einstein A. Can quantum mechanical system description of physical reality be considered complete ? Phys. Rev., 47 :777780, 1935.

[4] Basdevant J.-L. & Dalibard J. Mécanique Quantique. 2006.

[5] Bell J.-S. On the einstein-podolsky-rosen paradox. Physics, 1 :195, 1965.

[6] Cohen-Tannoudji C. Laloë F. & Diu B. Mécanique Quantique (Tome I). Editions Hermann, 1997.

[7] Beck M. Quantum Mechanics. Oxfor University Press, 2012.

[8] Fox M. Optique Quantique une introduction. Oxford University Press, 2006.

[9] Beck Mark. Quantum Mechanics Theory and Experiment. OXFORD University Press, 2012.

[10] Bohr N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete ? Pys. Rev., 48 :698702, 1935.

[11] Dotsenko S. & Voronov V.G. Robustness of moise-present bell's inequality violation by entangled state. Ukr. J. Phys., 53(10) :10061011.

[12] Dehlinger D. & Mitchell M. W. Entangles photons, nonlocality, and bell inequalities in the undergraduate laboratory. Am. J. Phys., 70(9) :903910, 2002.

Annexe A Probabilités conditionnelles

On dénote P(V_α|V_β) la probabilité d'observer le photon β dans un état de polarisation V_β conditionnellement à l'observation du photon α dans l'état de polarisation V_α. D'un point de vue opérationnel, cette probabilité se mesure en comptant le nombre de résultats correspondant à la paire (Vα, V_β) relativement au nombre de mesures ou le photon α est observé dans l'état V_α.

P(V_α|V_β)→ nombre (Vα, V_β)

nombre (Vα, Vβ) +nombre (Vα, Hβ) (A-1) Nous pouvons calculer cette probabilité conditionnelle de deux façons distinctes. D'abord, nous pouvons utiliser la règle de Bayes qui nous permet de calculer la probabilité condi-tionnelle P(V_α|V_β) à partir de la probabilité jointe P(V_α, V_β) et la probabilité marginale P(Vα) =P(Vα, Vβ) +P(Vα, Hβ). La règle de Bayes est :

P(V_α|V_β)→ P(Vα, V_β)

P(Vα) (A-2)

Que nous reconnaissons comme l'équivalent probabiliste de l'équation (A-1).

La seconde façon de calculer cette probabilité consiste à utiliser le postulat de réduction du paquet d'onde. Pour cela, on peut s'imaginer que les mesures des photons sont eectuées de façon séquentielle, c'est-à-dire que le photon α est mesuré d'abord, suivi du photon β. Cet ordre ne change en rien les résultats de la mesure puisque les opérateurs de mesure associés à des régions séparées d'une distance macroscopique commutent entre eux. Ainsi, l'ordre des mesures est sans importance. Nous l'utilisons simplement pour faciliter les calculs. Suite à une mesure du photon α avec résultatV_α, l'état globale des photons est :

ψ⁰

= P_Vα⊗I|ψi_{EP R}

|P_Vα⊗I|ψi_{EP R}| (A-3)

c'est la réduction du paquet d'onde. La probabilité de la mesure du photonβ dans l'étatV_β suite à cette première mesure esthψ⁰|I⊗P_Vβ|ψ⁰i. Cela correspond à la probabilité d'observer le second photon dans l'étatVβ conditionnellement à une mesure deVα du premier photon.

Note : Vous remarquerez la présence de l'opérateur identité dans l'équation (A-3).

Il apparait à droite dans le produit tensoriel car l'opérateurP_Vα n'agit que sur le premier photon.

Annexe B Calcul d'erreur pour le coecient S

_Bell

An de diminuer l'erreur sur le paramètre de Bell, il faut augmenter le nombre de coïnci-dences détectées, donc compter pendant un temps plus long. N'oublions pas que l'incertitude sur la mesure du taux de coïncidences est liée au bruit de photons. Si la durée de la fenêtre de comptage est T, l'écart-type sur le nombre de coïncidences détectées est :

σNc =p

Nc=p

ncT (B-1)

où N_c est le nombre de coïncidences détectées durant le temps T et n_c est le taux de coïncidences (coïncidences/seconde). L'écart-type sur le taux de coïncidences détectées est :

σnc = σNc

T = rnc

T (B-2)

L'évaluation de l'écart-type sur chaque taux de coïncidences, en supposant que les incerti-tudes de ces 16 mesures sont indépendantes, permet de calculer l'écart-type sur la mesure de SBell : aussi le mettre sous la forme :

SBell = n1+n2−n3−n4

n₁+n₂+n₃+n₄ + ... +... +... (B-4) où l'on a écrit que le premier des quatres corrélateurs (celui de la conguration (a, b)).

Calculons les dérivées pour la conguration (a,b). On a que :

∂S

Pour calculerσ_S il faut donc compléter le tableau suivant :

∂S/∂ni valeur ni ni∗(∂S/∂ni)²

∂S/∂n1 = (1−E(a, b))/(n1+n2+n3+n4)pour (a, b)

∂S/∂n2 = (1−E(a, b))/(n1+n2+n3+n4)pour (a, b)

∂S/∂n3 = (−1−E(a, b))/(n1+n2+n3+n4) pour (a, b)

∂S/∂n4 = (−1−E(a, b))/(n1+n2+n3+n4) pour (a, b)

∂S/∂n₁ =−(1−E(a, b⁰))/(n₁+n₂+n₃+n₄) pour (a, b')

∂S/∂n₂ =−(1−E(a, b⁰))/(n₁+n₂+n₃+n₄) pour (a, b')

∂S/∂n₃ =−(−1−E(a, b⁰))/(n₁+n₂+n₃+n₄) pour (a, b')

∂S/∂n₄ =−(−1−E(a, b⁰))/(n₁+n₂+n₃+n₄) pour (a, b')

∂S/∂n₁ = (1−E(a⁰, b))/(n₁+n₂+n₃+n₄)pour (a', b)

∂S/∂n₂ = (1−E(a⁰, b))/(n₁+n₂+n₃+n₄)pour (a', b)

∂S/∂n₃ = (−1−E(a⁰, b))/(n₁+n₂+n₃+n₄) pour (a', b)

∂S/∂n4 = (−1−E(a⁰, b))/(n1+n2+n3+n4) pour (a', b)

∂S/∂n1 = (1−E(a⁰, b⁰))/(n1+n2+n3+n4) pour (a', b')

∂S/∂n2 = (1−E(a⁰, b⁰))/(n1+n2+n3+n4) pour (a', b')

∂S/∂n3 = (−1−E(a⁰, b⁰))/(n1+n2+n3+n4)pour (a', b')

∂S/∂n4 = (−1−E(a⁰, b⁰))/(n1+n2+n3+n4)pour (a', b')

Tableau B-1 Calcul de la valeur de l'écart-type associé au paramètre de Bell.

Pour obtenir l'écart-type σS, on fait donc la somme de la dernière colonne, on prend la racine carrée et on divise par√

T.

Annexe C Exemple de calcul d'un projecteur dans mathéma-tica

Pour calculer le paramètre de Bell, il sut de déterminer la probabilité d'obtenir le résultat de mesure associé à certains projecteurs comme le montre les équations (16) et (17). Pour réaliser ceci dans le formalisme de la matrice densité, il faut déterminer la forme matricielle des projecteurs. On donne ici un exemple pour le projecteurP(Vα, V_β).

L'état quantique associé au projecteur précédent est simplement un état produit tensoriel d'un photon dans l'état |V_αi et d'un autre dans l'état |V_βi. Le projecteur associé s'écrit commeP(Vα, Vβ). Pour donner une représentation matricielle de ce projecteur, il faut tout d'abord dénir une base. On choisit la base ordonnée {|Vi,|Hi} pour représenter |V_αi et

|V_βi comme à l'équation (11). On notera cette base 1

0

, 0

1

dans mathématica.

Il sut alors de faire le produit tensoriel des états |V_αi et |V_βi avec la fonction Krone-ckerproduct et de multiplier le tout par le produit tensoriel des vecteurs états conjugués hV_α|ethV_β|pour obtenir une matrice 4x4 représentant le projecteur dans la base ordonnée {|V Vi,|V Hi,|HVi,|HHi}. Notez que pour calculer la probabilité d'obtenir l'état associé à un projecteur (équation (44)) vous devez connaitre la matrice densité du système (voir équation (48)). Les projecteurs et la matrice densité doivent être de même dimension.

Annexe D Inégalités de Bell (forme CHSH)

S Alice

a

ν

1

ν

₂

b Bob +

-+

-Figure D-1 Génération de paires de photons.

Supposons une source (S) de 2 photons identiques (ν1 etν2) qui sont émis dans des direc-tions opposées. Des polariseurs linéaires selon les direcdirec-tions a et b permettent à Alice et Bob d'eectuer des mesures sur la direction de la polarisation de ces photons. Notons la probabilité P±(a) d'obtenir le résultat ± sur le photon ν1 et d'obtenir le résultat± sur le photonν₂.

Note : La valeur +1 correspond à une direction parallèle à a ou b et la valeur -1 correspond à la direction perpendiculaire àa oub.

Pour ces mesures de polarisations, le coecient de corrélation s'écrit :

E(a,b) =P₊₊(a,b) +P−−(a,b)−P+−(a,b)−P−+(a,b) (D-1) où

P₊₊(a,b) = n₊₊(a,b)

n₊₊(a,b) +n−−(a,b)−+n+−(a,b) +n−+(a,b) (D-2) n++(a,b)représente le nombre de coïncidences mesurées durant un certain temps lorsque le polariseur d'Alice est vertical selon l'axe aet celui de Bob vertical selon l'axeb.P++(a,b) représente la probabilité d'obtenir +1 pour Alice selon a et +1 pour Bob selonb.

Pile ou face ...

Pour vous faire une idée du coecient de corrélation, pensez à deux pièces de monnaie que vous lancez et faites le calcul deE(a,b). Vous devriez obtenir zéro. Reliez ensuite les pièces de monnaie à l'aide d'une tige rigide et refaites le calcul pour voir apparaitre les corrélations.

Variables cachées ...

Supposons maintenant un ensemble de paramètres supplémentaires (noté λ) qui dicte la direction de polarisation des paires émises (Dieu ne joue pas aux dés. . .). La distribution de ces paramètres sur la totalité des paires émises est spéciée par une densité de probabilité ρ(λ)qui satisfait les conditions suivantes :

ρ(λ)≥0

´dλρ(λ) = 1 (D-3)

Lors de l'émission d'une paire, caractérisée par un paramètre λ, les résultats des mesures possibles par Alice et Bob sont :

A(λ,a) =±1pour Alice(directiona)

B(λ,b) =±1pour Bob (directionb) (D-4) Ce sont donc les fonctions ρ(λ), A(λ,a) et B(λ, b) qui dicteront les résultats d'Alice et Bob. Regardons maintenant comment on peut écrire les résultats des mesures en termes de ces fonctions. On a que :

1

2[A(λ, a) + 1]donne le résultat +1 pour le résultat + et 0 pour le résultat

-1

2[1−B(λ, b)] donne le résultat +1 pour le résultat - et 0 pour le résultat + Les probabilités de mesures peuvent donc s'écrire :

P₊(a) =´

Dans ce formalisme, la fonction de corrélation de l'équation (D-1) s'écrit : E(a,b) =

ˆ

dλρ(λ)A(λ, a)B(λ, b) (D-7) Regardons maintenant ce qui se passe dans diérentes directions mais toujours pour le même état λ.

Figure D-2 Directions des axes de mesure.

Selon (D-7), on peut écrire que : où nous avons ajouté et retranché le même terme. De plus, notons que :

|A(λ,a)B(λ, b)| ≤1et aussi que

A(λ, a)B(λ,b⁰)

≤1 (D-10)

ce qui nous donne l'inégalité : E(a,b)−E(a,b⁰)

On dénit maintenant ce qu'on appelle le paramètre de Bell (SBell ) : S_Bell(a,a⁰,b,b⁰)

Cette dernière équation est connue sous le nom forme CSHS de l'inégalité de Bell, nommée d'après Clauser, Horne, Shimony et Holt. Cette inégalité doit être satisfaite par toute théorie locale. Une autre démonstration est présentée dans le livre de Fox^[8].

Annexe E Diérence entre un état enchevêtré et un état mixte (probabilité conditionnelles)

Nous allons ici démontrer, avec un choix d'une base adaptée, que les prédictions de la mécanique peuvent être diérentes selon que l'on traite d'un état enchevêtré ou d'un état mixte. Nous ferons cela, en premier, sans l'utilisation de la matrice densité. Cette section est tirée du livre de Beck [9].

Supposons que l'on dispose, suite à un procédé de downnconversion, d'une paire de photons enchevêtrés qui partage la fonction d'onde suivante :

φ⁺

= 1

√

2(|H, Hi+|V, Vi) (E-1)

qui n'est autre que l'état EPR décrit dans le protocole. C'est un état non factorisable, autrement dit, les photons sont à la fois dans l'état |H, Hi et dans l'état |V, Vi en même temps. Les photons sont dans une superposition d'états et non pas dans un état mixte où l'on pourrait les retrouver 50% du temps dans l'état |H, Hi et 50% du temps dans l'état

|V, Vi. Examinons donc quelques cas particuliers de mesures faites sur l'état |φ⁺i donné par (E-1).

Exemple 1 :

a) Quelle est la probabilité de trouver le photon signal dans l'état de pola-risation horizontale.

P(H_s) = D Pˆ_HsE

= 1

√

2(hH, H|+hV, V|) (|Hi_{s s}hH|) 1

√

2(|H, Hi+|V, Vi)

= 1

2[shH|Hi_{s i}hH|+shV|Hi_{s i}hV|] [_shH|Hi_s|Hi_i+shH|Vi_s|Vi_i]

= 1

2ⁱhH|Hi_i (E-2)

= 1 2

b) Quelle est la probabilité de trouver le photon signal dans l'état de larisation horizontale sachant que le photon idler a été détecté en po-sition horizontale. Cela revient à calculer la probabilité conditionnelle : P(Hs|H_i).

Selon la règle de Bayes (A-2), cette probabilité s'écrit : P(Hs|H_i) = P(Hs, Hi)

P(H_i) (E-3)

Le calcul de P(H_i) s'eectue de la même manière que pour P(H_s) à l'exception que le l'opérateur de projection se fait sur le photon idler au lieu de sur le photon signal. Le résultat est le suivant :

P(H_i) = 1

2 (E-4)

On calcule maintenant la probabilité qui apparait au numérateur de (E-3) : P(Hs, Hi) =

DPˆHs, Hi

E

= 1

√

2(hH, H|+hV, V|) (|H, Hi hH H|) 1

√

2(|H, Hi+|V, Vi)

= 1

2[(hH, H|+hV, V|)|H, Hi] [hH, H|(|H, Hi+|V, Vi)]

= 1

2[hH, H|H, Hi+hV, V|H, Hi] [hH, H|H, Hi+hH, H|V, Vi]

= 1

2 (E-5)

En portant (E-4) et (E-5) dans (E-3) on trouve que : P(H_s|H_i) = 1/2

1/2 = 1 (E-6)

La partie (a) de l'exemple 1 nous dit que pour des photons dans un état enchevêtré (E-1), la mesure ℘^s_HV donne un résultat totalement aléatoire. Le photon signal est mesuré avec une polarisation horizontale la moitié du temps (et verticale dans l'autre moité du temps).

C'est la même chose qui se produit si on mesure le photon idler.

Par contre, le calcul en (b) nous dit que si le photon idler est mesuré horizontal, alors on est sûr à 100% que le photon signal est lui aussi horizontal. Bien que la mesure individuelle de la polarisation d'un photon soit totalement aléatoire, si la polarisation d'un des deux photons est mesurée alors on sait avec certitude que la polarisation de l'autre photon sera identique à celle mesurée. Les résultats sont donc parfaitement corrélés (au moins dans la bas H-V ). L'exemple 2 va nous montrer que cela est aussi vrai si les mesures sont eectuées dans une autre base.

Exemple 2 :

Calculons maintenant la probabilité, que pour un système dans l'état enchevêtré|φ⁺i, que la mesure du photon signal soit polarisé selon +45^o, sachant que le photon idler a été mesuré dans cette même direction. On cherche donc a obtenir P(+45_s|+45_i), qui est donnée par :

P(+45_s|+45_i) = P(+45_s,+45_i)

P(+45i) (E-7)

Commençons par la probabilité du numérateur :

La probabilité au dénominateur est : P(+45i) = On trouve donc que :

P(+45_s,+45_i) = 1/2

1/2 = 1 (E-10)

États mixtes

On s'intéresse maintenant au cas où l'état de la paire de photon est un état mixte des états

|H, Hi et |V, Vi. Pour calculer la probabiblié que le photon 1 se trouve dans l'état H, il faudra faire la somme de deux probabilités car deux états sont possibles. Nous supposerons que les deux états ont la même probabilité : P(|H, Hi) = P(|V, Vi) = 1/2. Calculons maintenant la probabilité que le photon signal soit détecté selon +45^o sachant que le photon idler a lui-même été détecté selon cette direction. Reprenons le calcul (E-7) en commençant

par le numérateur :

Calculons maintenant le dénominateur :

P(+45_i) = P(+45_i||H, Hi)P(|H, Hi) +P(+45_i||V, Vi)P(|V, Vi)

La probabilité conditionnelleP(+45_s| + 45_i) est donc donnée par : P(+45_s| + 45_i) = 1/4

1/2 = 1

2 (E-13)

En conclusion, pour un état enchevêtré tel que |φ⁺i, les corrélations relatives aux mesures de la polaristion des photons sont parfaites dans la base horizontal/vertical [P(H_s|H_i) = 1]

de même que dans la base±45^o [P(+45_s| + 45_i) = 1]. Dans le cas de l'état mixte contenant autant de|H, Hique de|V, Vi, les corrélations sont totales dans la base horizontal/vertical [P(H_s|H_i) = 1], mais pas dans la base±45^o [P(+45_s|+ 45_i) = 1/2]. On peut donc expéri-mentalement déterminer si ce sont des états intriqués ou des états mixtes qui expliquent les résultats.

Dans le document Inegalites de Bell (Page 32-46)