D10321. Sinus triples A, B, C

D10321. Sinus triples

A, B, C étant les angles d’un triangle, quelles sont les limites inférieure et supérieure de la somme S = sin 3A+ sin 3B+ sin 3C? On s’abstiendra de recourir au concept de dérivée.

Solution

Sauf pour le triangle équilatéral (cas où la somme est 0), un angle (A par exemple) est> π/3.

Alors, à A donné, sin(3B) + sin(3C) =−2 cos(3A/2) cos(3B/2−3C/2) est maximum pourB =C car cos(3A/2)<0.

AvecB =C,A=π−2C, on doit maximiser l’expression E= sin(3π−6C) + 2 sin(3C) = 2 sin(3C)(1 + cos(3C)).

3E²/4 s’écrit comme produit de 4 facteurs de moyenne arithmétique constante 3/2 : (3−3 cos(3C))(1 + cos(3C))³. Le produit maximum est obtenu quand les 4 facteurs sont égaux : cos(3C) = 1/2,C =B =π/9,A= 7π/9 ; il vaut (3/2)⁴, d’oùE = 3√

3/2, maximum deS.

Pour le minimum, supposons maintenantA < π/3.

Le minimum àAdonné correspond à B=C; mais commeπ/3< C < π/2, la valeur cos(3C) = 1/2 à quoi mènerait le raisonnement sur E² n’est pas accessible ; la limite inférieure correspond àB =C=π/2,A= 0 et vaut−2, mais on ne peut que s’en approcher avec un “vrai” triangle, non dégénéré : S >−2.

En conclusion,−2< S≤3√ 3/2.