2016-2017 3M270 Théorie des groupes

(1)

Première partie

1. Relations dans un ensemble. Relations d’équivalence.

1.1 Relations binaires

SoitE un ensemble. Une relation binaireRsur E est la donnée d’un sous- ensemble R de E×E. Soit x et y deux éléments de E. Si le couple (x, y) appartient à R, on dira que ”xest en relation avecy”, et on écrira ”xRy”.

De façon équivalente, une relation binaire surE est la donnée d’une application ρ : E×E → {0,1}. L’application ρ est la fonction caractéristique de l’ensembleRetxRy⇐⇒ρ(x, y) = 1.

Exemple :

Sixetysont des éléments deR, on définitxRysix+y= 2. Ceci définit une relation surR. L’ensembleR correspondant est la droite d’équationx+y= 2.

Les relations binaires peuvent posséder certaines propriétés particulières : On dira que la relationRsurEestréflexivesi, pour toutx∈E, on axRx.

On dira que la relationRsurEestsymétriquesi, pour tout(x, y)∈E×E, xRy entraîneyRx.

On dira que la relationRsurE est antisymétriquesi, pour tout(x, y)∈ E×E,xRy etyRxentraînentx=y.

On dira que la relation R sur E est transitive si, pour tout (x, y, z) ∈ E×E×E,xRy etyRz entraînentxRz.

Définition : On dira qu’une relation est une ”relation d’ordre” si elle est réflexive, antisymétrique et transitive .

Définition : On dira qu’une relation est une ”relation d’équivalence” si elle est réflexive, symétrique et transitive .

(2)

Exemples :

Soit X un ensemble. L’inclusion est une relation d’ordre sur l’ensemble E=P(X)des parties deX.

SurR, la relation ”<” est transitive, mais ce n’est pas une relation d’ordre.

SurR, la relation ”≥” est une relation d’ordre.

Sur l’ensemble des droites du plan, la relationdRd⁰⇐⇒dest parallèle àd⁰ est une relation d’équivalence.

Dans la suite, on s’intéressera plus particulièrement aux relations d’équivalence.

1.2 Relations d’équivalence, classes, ensemble quotient.

Définition :

Soit E un ensemble. Une partition de E est un ensemble S ⊂ P(E) de parties deE tel que :

1)∀A∈S,A6=∅;

2)∀A∈S,∀B∈S,A=B ouA∩B=∅; 3)∀x∈E,∃A∈S tel que x∈A.

SoitE un ensemble muni d’une relation d’équivalenceR.

Soitxun élément de E. On appelle ” classe d’équivalence de x” l’ensemble Cl(x) ={y∈E/xRy}

Exercice :

Démontrer les propriétés suivantes :

1)Cl(x) =Cl(y)⇐⇒xRy⇐⇒Cl(x)∩Cl(y)6=∅;

2) L’ensemble des classes d’équivalence forme une partition de l’ensemble E.

L’ensemble des classes d’équivalence est appelé ”ensemble quotient deE par la relationR”. On le noteE/R.

On a une application ”canonique”, notée Cl : E → E/R qui, à chaque x∈E associe sa classe d’équivalenceCl(x). Cette application est évidemment surjective.

Soitα∈E/R. Il existe au moins un élément x∈E tel queα=Cl(x). On dit quexest un ”représentant” de α.

SoitE et F deux ensembles et f :E→F une application. On peut définir surE une relationR^f de la façon suivante :

xR^fy⇐⇒f(x) =f(y).

La relationR^fainsi associée àfest manifestement une relation d’équivalence.

(3)

Théorème de factorisation :

Soit f : E → F une application et Rf la relation d’équivalence associée.

Alors il existe une application injective unique fe:E/R^f →F telle que f =fe◦Cl.

Si de plus f est surjective, alorsfeest une bijection.

Démonstration :

Soit α∈E/Rf. Supposons que αcontient deux éléments x et y, de sorte que Cl(x) = Cl(y). Par conséquent xR^fy ou encore f(x) = f(y). L’élément f(x)est donc indépendant du choix du représentantxde la classeα. En posant fe(α) =f(x), oùxest un élément quelconque de α, on obtient une application febien définie deE/R^f dansF.

Supposons quefe(α) =fe(β)et soitx∈αety∈β. On a alorsf(x) =f(y) d’oùxRfy etα=β. L’applicationfeest donc injective.

Enfin, feest l’unique application ayant la propriété annoncée. Soit en eﬀet g:E/R^f →F telle quef =g◦Cl. Soitα∈E/R^f et soitxun représentant deα:

g(α) =g◦Cl(x) =f(x) =fe(α).

Exemples :

1) Soit E l’ensemble des droites du plan aﬃne (muni d’un repère). A la droitedd’équationax+by+c= 0, on associe

p(d) =

½ −^a_b sib6= 0

∞sib= 0

Ceci définit une application p : E → R∪{∞} et on a p(d) = p(d⁰) ⇐⇒ les droites d et d’ sont parallèles. Les classes d’équivalence pour la relation R^p associée àpsont les directions (non orientées).

L’applicationpe:E/R^p→R∪{∞}associe à chaque direction sa pente.

2) Soit n ∈ N\{0}. Rappelons que, pour tout entier x ∈ Z, il existe un unique couple d’entiers(q, r)tels quex=qn+r et0≤r <|b|. Les nombresq etrsont respectivement le quotient et le reste dans la division euclidienne dex parn.

On dit que deux entiers xety sont ”congrus modulo n” s’ils ont le même reste dans la division parn. La relation de congruence modulonest évidemment une relation d’équivalence. Il y a n classes d’équivalence (autant que de restes possibles dans la division par n) et l’ensemble quotient est habituellement noté Z/nZ(nous verrons bientôt pourquoi).

SoitU ={z∈C/|z|= 1}et soitf :Z→U l’application définie par f(x) =e^2ixπⁿ

(4)

On voit que f(x) = f(y) si et seulement si xet y sont congrus modulo n.

On a donc une application injectivefe:Z/nZ→U telle quef =fe◦Cl.

2. Groupes

2.1 Définitions. Généralités.

Définition :

Un groupe est la donnée d’un couple (G, ?)où G est un ensemble et

?:G×G→G

est une loi de composition qui vérifie les propriétés suivantes : 1) Il existe un élément e de Gtel que, pour tout x∈G,

x ? e=e ? x=x (on dit que e est un élément neutre)

2) Quels que soient les éléments x, y, z de G, (x ? y)? z=x ?(y ? z) (on dit que la loi de composition est associative)

3) Pour tout élément x de G, il existe un élément x⁰ de G tel que x ? x⁰=x⁰? x=e.

(On dit que x⁰ est un inverse pour x)

Si de plus, quels que soient les éléments x et y de G, on a x ? y=y ? x, on dit alors que le groupe estabélien.

Remarque : Si (G, ?) est un groupe, alors l’ensemble G n’est pas vide puisqu’il doit contenir un élément neutre.

Proposition :

Soit (G, ?)un groupe. Alors : 1) L’élément neutre est unique .

2) Tout élément de G possède un unique inverse.

Démonstration :

1) Soit e etεdes éléments neutres. Alorsε=e ?ε=e.

2) Soit x⁰ et x⁰⁰ des inverses de x. Alors x⁰ = x⁰ ? e = x⁰ ?(x ? x⁰⁰) = (x⁰? x)? x⁰⁰=e ? x⁰⁰=x⁰⁰.

Notations :

Lorsqu’aucune ambigüité n’est possible sur la définition de la loi de composition, on se contentera en général de dire « soitGun groupe ».

(5)

Par la suite, on adoptera souvent la notation « multiplicative » c’est-à-dire que l’on notera x·y ou même simplement xy au lien de x ? y. L’inverse de l’élément x sera notéx⁻¹.

Lorsqu’un groupe est abélien, on utilisera fréquemment (mais pas toujours

!) la notation « additive » : la loi de composition sera notée +, l’élément neutre sera noté 0 et l’inverse de x sera noté -x et appelé « opposé de x » .

Lorsque G est un ensemble fini, on dit que le groupe (G, ?) est fini. Le cardinal de G est appelé l’ordre de G. On le note indiﬀéremment|G|oucard(G) ou#G.

Exemples :

1)(Z,+),(Q,+),(R,+),(C,+), (]0,+∞[,)×)sont des groupes abéliens.

2)G={e}est un groupe abélien.

3) Pour tout entier natureln≥1,(Z/nZ,+)est un groupe abélien.

4) Si p est un nombre premier, ((Z/pZ)^∗,×)est un groupe abélien.

5)M₂(R) ={ µ a b

c d

¶

/a, b, c, d∈R}est un groupe abélien pour l’addition des matrices.

6)Gl2(R) ={ µ a b

c d

¶

/a, b, c, d∈Retad−bc6= 0}est un groupe pour la multiplication des matrices. (ce groupe n’est pas abélien).

7)O2(R) ={M∈M2(R)/^tM M=id}est un groupe pour la multiplication des matrices.

8) Soit X un ensemble. Notons Sym(X)l’ensemble des bijections de X sur lui-même. AlorsSym(X)est un groupe pour la composition. Il n’est pas abélien sicard(x)≥3.

9) Soit H={±1,±i,±j,±k}. On poseij =k, jk =i, ki =j, i² =j² = k² =−1. Ces relations définissent surH une loi de groupe. Hest un groupe non abélien à 8 éléments, le groupe des quaternions de Hamilton.

10) L’ensemble des isométries du plan aﬃne est un groupe (non abélien) pour la composition.

11) L’ensemble des homographies du plan complexe est un groupe pour la composition.

12) Soitnun entier naturel. Un(C) ={z∈C/zⁿ= 1}.est un groupe abélien pour la multiplication.

Exercice :

On munitR\{1}de la loi?définie parx ? y=x+y−xy. Montrer que c’est un groupe abélien.

Produit de groupes :

Soit(G₁, ?₁) et(G₂, ?₂)deux groupes. Ou peut munir le produit cartésien G₁×G₂ de l’opération naturelle

(x1, x2)?(y1, y2) = (x1?1y1, x2?2y2).

(6)

Il est facile de vérifier que, pour cette nouvelle opération, G1×G2 est un groupe dont l’élément neutre est(e_G₁, e_G₂).

Le procédé se généralise évidemment à un nombre quelconque de groupes.

2.2 Sous-groupes : Définition :

Soit (G, ?) un groupe et H un sous-ensemble de G. On dit que H est un sous-groupe de Gsi :

1) e∈H.

2) ∀x∈H,∀y∈H, x ? y∈H.

3) ∀x∈H, x⁻¹∈H.

Remarques :

Il est clair que tout sous-groupe de(G, ?)est lui-même un groupe.

Tout sous-groupe d’un groupe abélien est abélien.

Attention :

R^∗ n’est pas un sous-groupe deR(pourquoi ? ) Proposition :

Soit(G, ?)un groupe et (H_i)_i_∈_I une famille (éventuellement infinie) de sous- groupes de G. Alors ∩i∈IH_i est un sous-groupe de G.

Démonstration : exercice.

Proposition :

Soit Gun groupe et H ⊂Gun sous-ensemble non vide de G. Alors H est un sous-groupe de G si et seulement si ∀x∈H,∀y∈H, xy⁻¹∈H.

Démonstration :

La condition est évidemment nécessaire.

Réciproquement, soitH une partie non vide deGpossédant la propriété de l’énoncé.

CommeHn’est pas vide, il contient au moins un élémentxet donce=xx⁻¹ appartient àH.

Maintenant, pour touty∈H,ey⁻¹=y⁻¹∈H.

Soit enfinxetydeux éléments de H, alorsy⁻¹∈Het doncxy=x(y⁻¹)⁻¹∈ H.

Les trois conditions de la définition sont ainsi vérifiées.

QED.

(7)

Exemples :

1) Pour tout entiern, l’ensemblenZ={nz/z∈Z}est un sous-groupe deZ. 2) Pour tout nombre réel a, aZ={az/z∈Z}est un sous-groupe deR. 3)Sl₂(R) ={

µ a b c d

¶

/a, b, c, d∈Retad−bc= 1}est un sous-groupe de Gl₂(R).

Exercice :

Démontrer que tous les sous-groupes deZsont de la formenZ.

Soit m et n deux nombres entiers. Décrire les sous-groupes mZ∩nZ et mZ+nZ

Remarque :

La réunion de deux sous-groupes n’est pas en général un sous-groupe.

Exercice :

Enoncer une condition nécessaire et suﬃsante pour que la réunion de deux sous-groupes soit un sous-groupe.

Définition :

Soit G un groupe et X ⊂G un sous-ensemble non vide. On note < X >

l’intersection de tous les sous-groupes de Gqui contiennent X. On l’appelle « sous-groupe de Gengendré par la partie X » .

Remarque :

< X > est bien un sous-groupe de G d’après ce qui précède. C’est le « plus petit » sous-groupe de G qui contient X au sens suivant : si H est un sous-groupe deGqui contientX, alors< X >⊂H.

Proposition :

Soit G un groupe et X une partie de G. Alors < X > est l’ensemble des produits x₁...x_n, où n∈N et, pour tout i∈{1, ..., n},x_i∈X ou x⁻_i ¹∈X.

Démonstration :

SoitH={x₁...x_n/x_i∈X oux⁻_i¹∈X}.Il est clair queH est un sous-groupe deG. Par conséquent,< X >⊂H.

D’autre part, soitKun sous-groupe deGqui contientX. AlorsK contient tous les produitsx₁...x_ntels quex_i∈X oux⁻_i¹∈X, c’est-à-dire queKcontient H.

QED.

2.3. Groupes cycliques. Ordre d’un élément.

Définition :

Soit Gun groupe. On dit que G est « cyclique » (ou « monogène » ) s’il existe x∈Gtel que G=<{x}>. Dans ce cas, on dit que xest un générateur de G.

(8)

Notation :

Par abus de langage, on note< x >au lieu de<{x}>.

Exemples :

1)Z=<1>est un groupe cyclique.

2) Sin∈N,Z/nZ=<Cl(1)>est un groupe cyclique.

3) SoitE={1,2,3}, alorsG=Sym(E)n’est pas cyclique.

4) U6 = {z ∈ C/z⁶ = 1} =< e^iπ/3 >=< e^5π/6 > est cyclique et possède deux générateurs.

Définition :

Soit (G, ?) un groupe et x un élément de G. Pour tout k ∈ Z on définit l’élément x^k par récurrence de la façon suivante. Si k= 0, alors x^k =e_G. Si k≥1, alors x^k=x^k⁻¹? x. Si k <0, alors x^k = (x⁻¹)⁻^k.

S’il existe un entier naturel non nul k tel que x^k = eG, on dit que x est d’ordrefini. Dans ce cas, on appelle « ordre de x» le plus petit entier naturel non nul o(x)tel que x^o(x)=eG.

Si xn’est pas d’ordre fini, on dit (par abus de langage) qu’il est « d’ordre infini » .

Proposition :

Soit G un groupe et x∈ G un élément d’ordre fini n. Soit s ∈Z tel que x^s=e. Alors sest un multiple de n.

Démonstration :

On eﬀectue la division euclidienne de s parn : il existe des entiers q etr tels ques=qn+ret0≤r < n.

Alors e =x^s = x^qn+r = (xⁿ)^qx^r = x^r. Comme n est le plus petit entier naturel non nul tel quexⁿ =eet que 0≤r < n, on a nécessairementr= 0.

QED.

2.4 Ensemble quotient d’un groupe par un sous-groupe.

SoitGun groupe etH un sous-groupe deG. Sig∈G,on notegHl’ensemble {gh/h∈H}et on définit sur G la relation

gRg⁰⇐⇒gH=g⁰H, Exercice :

Montrer que

gRg⁰ ⇐⇒g∈g⁰H ⇐⇒g⁰∈gH⇐⇒g⁰⁻¹g∈H⇐⇒g⁻¹g⁰ ∈H.

On vérifie immédiatement que Rest une relation d’équivalence. Les classes d’équivalence sont appelées « classes à gauche moduloH ». Elles forment une partition de G. L’ensemble G/R des classes d’équivalence est habituellement notéG/H .

On peut de même définir les classes à droite à l’aide des ensembles Hg = {hg/h∈H}. L’ensemble des classes à droite est notéH\G.

(9)

Exemple :

Si G est le groupe (Z,+) et H = nZ, xRy ⇐⇒ x−y ∈ nZ ⇐⇒ x ≡ y(mod n).

Proposition :

Soit Gun groupefini et H un sous-groupe de G. Alors les classes à gauche (respectivement les classes à droite) ont toutes le même cardinal, qui est le cardinal de H.

Démonstration :

Soit g ∈G ,alors l’application ϕ:H → gH définie par ϕ(h) =gh est une bijection deH sur gH. La bijection réciproque est l’application ψ: gH → H définie par ψ(k) = g⁻¹k. Les deux ensembles H et gH ont donc le même cardinal .

QED.

Corollaire (théorème de Lagrange ) :

Si Gest un groupefini et H un sous-groupe de G, alors l’ordre de H divise l’ordre de G.

Démonstration :

|G|=|H| ·card(G/H).

QED.

Définition :

Le nombre card(G/H)s’appelle l’indice de H dans G. On le note [G:H].

Remarque :

Pour tout x ∈ G, on a x ∈ gH ⇐⇒ x⁻¹ ∈ Hg. Pour chaque g ∈ G, l’applicationx7−→x⁻¹ établit donc une bijection entregH etHg.

En particulier,card(G/H) =card(H\G).

Corollaire :

Dans un groupe fini, l’ordre de tout élément divise l’ordre du groupe.

Démonstration :

Soit g ∈ G. Il suﬃt d’appliquer le théorème de Lagrange au sous-groupe H=< g >.

QED.

(10)

3. Homomorphismes de groupes. Quotient par un sous-groupe distingué.

3.1 Homomorphismes de groupes.

Définition :

Soit (G, ?) et (G,⊗) deux groupes. Soit f :G→H une application. On dit que f est un homomorphisme (ou un morphisme) de groupes si

∀g∈G, ∀g⁰∈G, f(g ? g⁰) =f(g)⊗f(g⁰).

On noteHom(G, H)l’ensemble des homomorphismes deGdansH. Si f ∈ Hom(G, H) est bijective, on dit que c’est un isomorphisme. Si de plusG=H, on dit que c’est un automorphisme. On noteAut(G)l’ensemble des automorphismes deG.

Proposition :

Soit G et H deux groupes et f ∈Hom(G, H). Alors : 1) f(e_G) =e_H.

2) ∀g∈G, f(g⁻¹) =f(g)⁻¹. 3) f(G)est un sous-groupe de H. Démonstration :

1)f(eG) =f(eGeG) =f(eG)f(eG), d’où f(eG) =eH.

2) ∀g∈G, f(g)f(g⁻¹) =f(gg⁻¹) =f(eG) =eH. De même,f(g⁻¹)f(g) = f(g⁻¹g) =f(eG) =eH. Par conséquent, f(g⁻¹)est l’inverse def(g).

3)eH ∈f(G)qui n’est donc pas vide. D’autre part, sih=f(g)eth⁰=f(g⁰), alorshh⁰=f(gg⁰)∈f(G). Enfin, sih=f(g), alorsh⁻¹=f(g⁻¹)∈f(G).

QED

Définition :

Soit G et H deux groupes et f ∈ Hom(G, H). On appelle noyau de f l’ensemble Ker(f) ={g∈G/f(g) =e_H}.

Exemples :

1) L’application Cl_n : Z → Z/nZ, qui associe à tout entier sa classe de congruence modulon, est un homomorphisme de noyaunZ.

2) Siaet bsont deux entiers naturels supérieurs ou égaux à 2, l’application Z → Z/aZ×Z/bZ

u 7−→ (Cl_a(u), Cl_b(u))

est un homomorphisme de groupes de noyau μZ, oùμ est le ppcm dea et b. Il est surjectif si et seulement si a et b sont premiers entre eux (théorème chinois).

(11)

3) SoitGun groupe etg∈G. Soitσg l’application deGdansGdéfinie par

∀h∈G, σ_g(h) =ghg⁻¹.

Les σg sont des automorphismes de G, appelés les ”automorphismes in- térieurs”. L’élémentghg⁻¹ est appelé le conjugué dehparg.

Exercice :

On noteInt(G) l’ensemble des homomorphismes intérieurs de G. Montrer que c’est un groupe pour la composition, et que l’applicationg 7−→ σ_g est un homomorphisme de G dansInt(G).

Définition :

Soit G un groupe et K un sous-groupe de G. On dit que K est distingué dans Gsi :

∀g∈G, ∀h∈K, ghg⁻¹∈K.

Notations :

Au lieu de l’expression ”∀g ∈ G, ∀h ∈ K, ghg⁻¹ ∈ K”, on écrit plus simplement ”gKg⁻¹⊂K”.

SiK est distingué dans G, on écritKCG.

Remarque :

Si K est distingué dansG, alors∀g ∈G, ∀h∈K, gKg⁻¹ =K. En eﬀet,

∀h∈K, h=g(g⁻¹hg)g⁻¹∈gKg⁻¹. Exemples :

1) SoitGun groupe. Alors{eG}CGetGCG.

2) SiGest abélien, alors tous ses sous-groupes sont distingués.

3) SoitGun groupe etH < G. SoitN_G(H) ={g∈G/gHg⁻¹=H}. Alors HCN_G(H). C’est le plus grand sous-groupe deGdans lequelH est distingué.

Attention :

Le fait pour un sous-groupe d’être distingué est une notion relative. SiG est un groupe,H un sous-groupe deGetK un sous-groupe deH, alors il est possible queKsoit distingué dans H mais ne soit pas distingué dansG.

Exercice : donner des exemples.

Proposition :

Soit G et H deux groupes et f ∈Hom(G, H). Alors Ker(f) est un sous- groupe distingué de G.

Démonstration :

La démonstration est laissée en exercice.

(12)

Exemple :

SoitGun groupe. On appelle centre deGl’ensemble Z(G) ={g∈G/∀h∈G, gh=hg}

C’est le noyau de l’homomorphismeg7−→σ_g deGdansInt(G). En particulier,Z(G)CG.

Proposition :

Soit G et H deux groupes et f ∈ Hom(G, H). Alors f est injectif si et seulement siKer(f) ={eG}.

Démonstration :

Exercice :

SoitGetH deux groupes etf ∈Hom(G, H). SoitK un sous-groupe deG.

Monter quef(K)est un sous-groupe deH. Définition :

SoitGun groupe etKun sous-groupe deG. On dit que Kest caractéristique dans Gsi :

∀f ∈Aut∈(G), f(g)∈K.

Exemple :

Soit Gun groupe, g et h des éléments de G. On appelle commutateur de g et h l’élément [g, h] = ghg⁻¹h⁻¹. Le sous-groupe de G engendré par les commutateurs est appelé « groupe dérivé» de G et notéD(G). Montrer que c’est un sous-groupe caractéristique.

Composition des homomorphismes :

Soit G, H, K trois groupes, f ∈ Hom(G, H), g ∈ Hom(H, K). On voit immédiatement queg◦f est un homomorphisme deGdansK.

(13)

Proposition :

Soit G et H deux groupes et f ∈ Hom(G, H). Si f est bijectif, alors son application réciproque f⁻¹ est un homomorphisme. En particulier,Aut(G)est un groupe pour la composition des automorphismes.

Démonstration :

Soity₁ ety₂ deux éléments de H. Il existe des éléments x₁ etx₂ de G tels quey₁=f(x₁)ety₂=f(x₂).

f⁻¹(y1y2) =f⁻¹[f(x1)f(x2)] =f⁻¹[f(x1x2)] =x1x2=f⁻¹(y1)f⁻¹(y2).

QED

3.2 Quotient d’ un groupe par un sous-groupe distingué.

SoitGun groupe etH < Gun sous-groupe deG. On s’intéresse à la question suivante : est-il possible de munir le quotientG/H d’une structure « naturelle

» de groupe ? Commençons par examiner un exemple :

PrenonsG=ZetH =nZ. On a vu qu’alorsG/H =Z/nZ est le quotient deGpar la relation d’équivalence :

xRy⇐⇒x−y∈nZ.

Les classes d’équivalence sont les ensemblesCl(k) =k+nZ. Soitx, x⁰, y, y⁰ des entiers et supposons quexRy etx⁰Ry⁰. Alors

(x+x⁰)−(y+y⁰) = (x−y) + (x⁰−y⁰)∈nZ, de sorte que(x+y)R(x⁰+y⁰).

Soitx+nZety+nZdeux éléments deG/H et posons (x+nZ)⊕(y+nZ) = (x+y) +nZ.

Six⁰ety⁰ sont des éléments dex+nZety+nZrespectivement, alorsxRyet x⁰Ry⁰et par conséquent(x+y)R(x⁰+y⁰)ou encore(x+y) +nZ=(x⁰+y⁰) +nZ. Ainsi, l⁰opération⊕est bien définie sur l’ensemble des classes, indépendamment du choix des représentants.

De plus, on a maintenantCl(x)⊕Cl(y) =Cl(x+y).

L’applicationCl:Z→Z/nZest donc un homomorphisme de groupes.

On peut généraliser cette situation de la façon suivante.

Définition :

Soit G un groupe muni d’une relation d’équivalence R. On dit que R est compatible avec la loi de Gsi xRy et x⁰Ry⁰ entraînent xyRx⁰y⁰.

(14)

On a alors le théorème suivant : Théorème :

Soit G un groupe et H < G un sous-groupe. Il y a équivalence entre les quatre propositions suivantes :

i) HCG.

ii) ∀g∈G,gH =Hg.

iii) La relation gRg⁰⇐⇒gH=g⁰H est compatible avec la loi de G.

iv) L’ensemble G/H possède une structure naturelle de groupe, de sorte que l’application

Cl: G→G/H g7−→gH est un homomorphisme de groupes.

Démonstration : i)=⇒ii)

H CG⇐⇒ ∀g∈G,gHg⁻¹=H ⇐⇒ ∀g∈G,gH =Hg.

ii)=⇒iii)

Supposons que gRg⁰ et que kRk⁰. Alors gH = g⁰H et kH = k⁰H d’où (gk)H = g(kH) = g(k⁰H) = g(Hk⁰) = (gH)k⁰ = (g⁰H)k⁰ = g⁰(Hk⁰) = g⁰(k⁰H) = (g⁰k⁰)H. Donc(gk)R(g⁰k⁰).

iii)=⇒iv)

Supposons qu’il existe une opération ? sur G/H telle que l’application Cl soit un homomorphisme. Nécessairement, pour tousg, k∈G,Cl(gk) =Cl(g)? Cl(k), ou encore(gH)?(kH) = (gk)H. Cette opération est bien définie puisque, par hypothèse, sigH=g⁰H etkH=k⁰H, alors(gk)H = (g⁰k⁰)H. Cette opéra- tion définit bien une structure de groupe. L’élément neutre est H et l’inverse degH estg⁻¹H.

iv)=⇒i)

H est le noyau de l’homomorphisme Cl :G→G/H. Il est donc distingué dans G.

QED

Un contre-exemple :

On considère le groupe D6 des isométries d’un triangle équilatéral ABC.

Notonsrla rotation d’angle2π/3dont le centre est le centre du triangle. Notons sA (respectivement sB, respectivement sC) la symétrie orthogonale dont l’axe est la hauteur passant par A (respectivement par B, respectivement par C).

AlorsD6={id, r, r², sA, sB, sC}avec la table de composition

◦ id r r² s_A s_B s_C id id r r² sA sB sC

r r r² id sC sA sB

r² r² id r sB sC sA

sA sA sB sC id r r² sB sB sC sA r² id r sC sC sA sB r r² id

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Soit H ={id, sA}. C’est un sous-groupe de D6.et le quotient D6/H com- porte trois éléments :

H = s_AH={id, s_A} sBH = {sB, r²}=r²H s_CH = {s_C, r²}=rH

SiD₆/H possèdait une loi de groupe?telle que l’application Cl:D₆→D₆/H soit un homomorphisme, alors on aurait :

sBH ? sCH = (sB◦sC)H=rH.

CommesBH =r²H, on aurait aussi :

sBH ? sCH =r²H ? sCH = (r²◦sC)H =sAH=H.

C’est bien sûr impossible puisqueH 6=rH.

On vérifie facilement queH n’est pas distingué dansD6. Théorème de factorisation :

Soit G un groupe et H CGun sous-groupe distingué. Pour tout groupe L et pour tout ϕ∈Hom(G, L) tel que ϕ(H) = {eL}, il existe un unique homomorphisme ϕ˜∈Hom(G/H, L)tel que ϕ˜◦Cl=ϕ.

Démonstration :

Soit x∈ G/H. Il existe a ∈ G tel que x =Cl(a). Si b ∈G est un autre représentant dex, alors ab⁻¹∈H et ϕ(a) =ϕ(b). Si on pose ϕ(x) =˜ ϕ(a), on obtient donc une application lui définie deG/HdansL.

Soit y = Cl(c). Alors ϕ(xy) = ˜˜ ϕ(Cl(a)Cl(c)) = ˜ϕ(Cl(ac)) = ϕ(ac) = ϕ(a)ϕ(c) = ˜ϕ(x)˜ϕ(y). L’applicationϕ˜est donc un homomorphisme.

Supposons qu’il existe ψ ∈Hom(G/H, L) tel que ψ◦Cl = ˜ϕ◦Cl. Alors, pour toutx=Cl(a),ϕ(x) =˜ ψ◦Cl(a) =ψ(x). D’où l’unicité.

QED

Corollaire :

Soitϕ∈Hom(G, L). Alors

1)il existe un unique homomorphisme ϕ˜∈G/Ker(ϕ)→L tel queϕ˜◦Cl= ϕ.

2)ϕ˜ est injectif.

3) Si de plusϕest surjectif,ϕ˜ aussi.

Démonstration :

1) Résulte directement du théorème.

2)Supposons que ϕ(x) = ˜˜ ϕ(y). Si x = Cl(a). et y = Cl(b) alors ab⁻¹ ∈ Ker(ϕ)d’oùCl(a) =Cl(b), c’est-à-direx=y.

3)Soitz∈L. Il existe a∈Gtel quez=ϕ(a). D’oùϕ˜◦Cl(a) =z.

QED

(16)

4. Le groupe Symétrique.

4.1. Permutations. Cycles. Notations.

Définition : Soit n≥1un entier. L’ensemble des bijections de l’ensemble {1, ..., n}est un groupe pour la composition des applications. On l’appelle ”groupe symétrique” et on le noteS_n. Les éléments de S_nsont appelés des permutations.

Notation :

Soitσ∈Sn. On représente la permutationσau moyen d’un tableau à deux lignes. Sur la première ligne on écrit les entiers allant de 1 à n, et au-dessous de chacun d’eux on écrit son image :

σ=

µ 1 2 . . . N σ(1) σ(2) . . . σ(n)

¶

On appellesupportde la permutationσl ’ensemble Supp(σ) ={i∈{1, ..., n}/σ(i)6=i}.

Soit l un entier tel que 1≤l ≤n et soit i₁, ..., i_l des éléments distincts de {1, ..., n}. On note( i₁ i₂ . . . i_n )la permutation définie par :

½ σ(i_j) =i_j+1 si1≤j ≤l−1 σ(i_l) =i₁.

Une telle permutation est appeléecyclede longueur l. On voit immédiate- ment que l’ordre d’un cycle de longueurl est égal àl.

Remarquons qu’il y a l façons de noter un cycle de longueur l. Ainsi, ( 1 2 3 ) = ( 2 3 1 ) = ( 3 1 2 ).

On dit que des cycles sont disjoints si leurs supports sont disjoints. Des cycles disjoints commutent. Toutefois, sin≥3, le groupeS_n n’est pas abélien :

( 1 2 )◦( 2 3 ) = ( 1 2 3 ) ( 2 3 )◦( 1 2 ) = ( 1 3 2 ) Les cycles de longueur 2 sont appeléstranspositions.

Proposition : card(S_n) =n!.

Démonstration :

On procède par récurrence surn.

Sin= 1, le résultat est évident.

Soitn≥2. On définit surSn la relationR: σRτ⇐⇒σ(n) =τ(n).

(17)

C’est une relation d’équivalence dont les classes d’équivalence sont les en- semblesE_i={σ∈S_n/σ(n) =i}. Or on voit qu’il y a une bijection entreE_n et S_n₋₁. Par hypothèse de récurrence, on a donc card(E_n) = (n−1)!. De plus, si i 6= n, alors l’application définie sur S_n parσ 7−→ ¡

i n ¢

◦σ induit une bijection entreE_i etE_n. Par conséquent,card(E_i) =card(E_n). Le résultat en découle puisque lesE_i an nombre den, forment une partition deS_n.

QED

4.2 Décomposition des permutations

Nous allons montrer que toute permutation peut se décomposer en produit de cycles disjoints, et aussi en produit de transpositions.

Théorème :

Toute permutation peut s’écrire comme un produit de cycles disjoints. Cette décomposition est unique, à l’ordre des facteurs près.

Démonstration :

Soitσ∈S_n. On définit sur l’ensemble{1, ..., n}la relationRσ par xR^σy⇐⇒ ∃n∈Ztel quey=σⁿ(x).

C’est bien sûr une relation d’équivalence (vérifiez le!), dont les classes d’équivalence sont appelées lesorbitesdeσ. Sixest un élément de{1, ..., n}, son orbite est

[x] ={σ^m(x)/m∈Z}.

Il existe un entier r >0tel que x=σ^r(x). En eﬀet, comme l’ensemble[x]

est une partiefinie de{1, ..., n}et il existe des entiersm >0etr >0tels que σ^m+r(x) =σ^m(x).

Soit alorsrle plus petit entier strictement positif tel quex=σ^r(x). Alors [x] ={x,σ(x), ...,σ^r⁻¹(x)}.

Notons C₁, ..., C_k les orbites de σ. On observe que, pour chaque indice i ∈ {1, ..., k}, σ(C_i) = C_i. Notons γ_i la restriction de σ à C_i : γ_i est la permutation définie par

γ_i(x) =

½ σ(x)six∈Ci

xsix /∈Ci

Ainsi définis, les γ_i sont des cycles disjoints. Soit τ =γ₁◦...◦γ_k et soit x ∈ {1, ..., n}. Il existe un unique i ∈ {1, ..., k} tel que x ∈ C_i. Comme les orbites sont disjointes, on peut écrire

τ(x) =γ_i◦γ₁...◦γ_i₋₁◦γ_i+1◦...◦γ_k(x) =γ_i(x) =σ(x), d’oùσ=τ.

(18)

Il reste à démontrer l’unicité de cette décomposition.

On raisonne par récurrence sur le nombre k de cycles disjoints dans une décomposition deσ.

Sik= 0, il n’y a rien à démontrer. Supposons queσ=γ₁◦...◦γ_k=δ₁◦...◦δ_l sont deux décompositions en cycles disjoints. Soitx∈{1, ..., n}tel quex∈C₁. Il existe un unique indicej∈{1, ..., l}tel quej∈Supp(δ_j). Quitte à changer la numérotation, on peut supposer quej= 1, et on a alorsσ(x) =γ₁(x) =δ₁(x).

On en déduit queC₁={x,δ₁(x), ...,δ^t₁⁻¹(x)}etγ₁=δ₁. On a donc γ₂◦...◦γ_k=δ₂◦...◦δ_l.

En appliquant l’hypothèse de récurrence, on en déduit que k=l et que{γ₂, ...,γ_k}= {δ2, ...,δk}.

QED

Corollaire :

L’ordre d’une permutation est égal au ppcm des ordres des cycles disjoints qui la composent.

Démonstration :

Exemple : Soitσ=

µ 1 2 3 4 5 6 7 6 4 5 7 3 1 2

¶ . Alorsσ=¡

1 6 ¢

◦¡

2 4 7 ¢

◦¡

3 5 ¢ . Théorème :

Tout cycle peut se décomposer en produit de transpositions.

Démonstration :

¡ i1 . . . ik ¢

=¡

i1 ik ¢

◦¡

i1 ik−1 ¢

◦· · ·◦¡

i1 i2 ¢ . QED

Remarque :

La décomposition en produit de transpositions n’est pas unique.

Théorème :

Toute permutation peut s’écrire comme un produit de transpositions.

4-3. Signature d’une permutation Définition :

Soit σ∈Sn. On appelle signature de σle nombre

²(σ) =Πi<j

σ(i)−σ(j) i−j .

(19)

Proposition: ²(σ) =±1.

Démonstration :

Il suﬃt de montrer que²(σ)²= 1.

Soit E = {(i, j) ∈ {1,· · ·, n}²/i 6= j}. Remarquons que, si i 6= j, alors σ(i)6=σ(j)puisque σest injective. On a donc une application

Σ:E→E

définie parΣ(i, j) = (σ(i),σ(j)). De plus,Σest injective, donc bijective. On

a donc Y

(i,j)∈E

(i−j) = Y

(i,j)∈E

(σ(i)−σ(j)).

Par conséquent :

²(σ)²=Y

i<j

σ(i)−σ(j) i−j ·Y

i>j

σ(i)−σ(j)

i−j = Y

(i,j)∈E

σ(i)−σ(j) i−j = 1.

QED

Théorème :

L’application ²:S_n→{±1}est un homomorphisme de groupes.

Démonstration :

On doit montrer que, pour toutes permutationsσ,τ,²(στ) =²(σ)²(τ).

²(στ) =Y

i<j

στ(i)−στ(j)

i−j =Y

i<j

στ(i)−στ(j)

τ(i)−τ(j) · τ(i)−τ(j) i−j , d’où

²(στ)

²(τ) =Y

i<j

στ(i)−στ(j)

τ(i)−τ(j) = Y

i<j τ(i)<τ(j)

στ(i)−στ(j) τ(i)−τ(j) · Y

i<j τ(i)>τ(j)

στ(i)−στ(j) τ(i)−τ(j) .

Si on posei⁰=τ(i)on obtient

²(στ)

²(τ) = Y

i<j i⁰<j⁰

σ(i⁰)−σ(j⁰) i⁰−j⁰ · Y

i<j i⁰>j⁰

σ(i⁰)−σ(j⁰) i⁰−j⁰

= Y

i<j i⁰<j⁰

σ(i⁰)−σ(j⁰) i⁰−j⁰ · Y

i>j i⁰<j⁰

σ(i⁰)−σ(j⁰) i⁰−j⁰

= Y

i⁰<j⁰

σ(i⁰)−σ(j⁰) i⁰−j⁰

= ²(σ).

(20)

QED

Définition :

Soit σ∈S_n. On dit qu’un couple (i, j)est une inversion pour σ si i < j et σ(i)>σ(j).

Si on noteI(σ)le nombre d’inversions pourσ, alors

²(σ) = (−1)^I(σ).

Définition :

Soit σ ∈Sn. On dit que σ est une permutation paire si ²(σ) = 1. On dit que c’est une permutation impaire si ²(σ) =−1.

On remarque que la permutationσ est paire si et seulement si son nombre d’inversions est pair.

Pour déterminer le nombre d’inversions d’une permutation à partir de son tableau, on compte, pour chaque élément de la deuxième ligne, combien d’éléments plus petits apparaissent à sa droite.

Par exemple, soit

σ=

µ 1 2 3 4 5 2 4 5 1 3

¶ . Cette permutation présente 5 inversions.

Proposition :

Les transpositions sont des permutations impaires.

Démonstration : Soit τ =¡

i j ¢

, une transposition (i < j). Les inversions de τ sont les couples(i, k)tels quei+ 1≤k≤j, au nombre de j−i, et les couples(l, j)tels quei+ 1≤l≤j−1, au nombre dej−i−1. Au total, le nombre d’inversions est égal à2(j−i)−1, qui est impair.

QED

Corollaire :

Dans la décomposition d’une permutation en produit de transpositions, le nombre de facteurs a toujours la même parité.

Proposition :

Soit γ∈Sn un cycle de longueur m. Alors

²(γ) = (−1)^m⁻¹.

(21)

Démonstration :

On a vu plus haut qu’un cycle de longueur m se décomposait en un produit de m-1 transpositions.

QED

Commeε:S_n→{±1}est un homomorphisme, son noyau est un sous-groupe distingué deS_n. C’est legroupe alterné

An ={σ∈Sn/²(σ) = 1}. C’est un sous-groupe d’indice 2. Son cardinal est ^n!₂. 4.4 Classes de conjugaison

Proposition.

Soitγ=¡

i₁ · · · i_m ¢

un cycle deSn. Soitτ ∈Sn une permutation quelconque. Alors

τ γτ⁻¹=¡

τ(i₁) · · · τ(i_m) ¢ .

Démonstration :

Soitj∈{1,· · ·, n}. Siτ⁻¹(j)∈/Supp(γ), alorsτ γτ⁻¹(j) =τ τ⁻¹(j) =j.

En revanche, siτ⁻¹(j) =ik ∈Supp(γ), alorsτ γτ⁻¹(j) =τ γ(ik) =τ(ik+1).

QED

Soitσ=γ₁◦···◦γ_kla décomposition deσ∈Snen produit de cycles disjoints de longueur croissanter1≤· · ·≤rk. On dit alors queσest de type(r1,· · ·, rk).

Si τ ∈ Sn, alors τ στ⁻¹ = (τ γ₁τ⁻¹)◦· · ·◦(τ γ_kτ⁻¹) est encore de type (r1,· · ·, rk).

Réciproquement, siσ⁰ est une permutation de type(r1,· · ·, rk), il existe une permutationτ telle que τ στ⁻¹=σ⁰.

Les classes de conjugaison deS_ncorrespondent donc aux types de permutations.

On appelle partition denla donnée d’entiers naturels non nulsr₁,· · ·, r_k tels quen=r₁+· · ·+r_k. En particulier, le nombre de classes de conjugaison dansS_n est égal au nombre de partitions den.

5. Sous-groupes d’un groupe quotient. Groupes cycliques Théorème :

Soit G un groupe et H CGun sous-groupe distingué.

1)Il existe une bijection entre l’ensemble des sous-groupes deG/Het l’ensemble des sous-groupes de Gqui contiennent H.

(22)

2)Il existe une bijection entre l’ensemble des sous-groupes distingués deG/H et l’ensemble des sous-groupes distingués de G qui contiennent H.

Démonstration :

Soit K un sous-groupe de G/H. Soit L = {g ∈ G/gH ∈ K}. C’est un sous-groupe de G. En eﬀet, comme K est un sous-groupe de G/H, il contient l’élément neutreH =eH deG/H, donce∈L. De plus, sigH∈Ketg⁰H∈K, alors(gH)(g⁰H) =gg⁰H ∈K, doncgg⁰∈L. Enfin, sigH ∈K, alors(gH)⁻¹= g⁻¹H ∈K, et doncg⁻¹∈L.

Supposons de plus que K est distingué dans G/H. Soit gH ∈ K etxH ∈ G/H. Alors(xH)(gH)(xH)⁻¹∈K. Or

(xH)(gH)(xH)⁻¹= (xH)(gH)(x⁻¹H) = (xgx⁻¹)H, d’oùxgx⁻¹∈L.

Réciproquement, soit Qun sous-groupe deG contenantH. Comme H est distingué dans G, a fortiori il est distingué dans Q. Soit alors S = Q/H = {gH/g∈Q}. AlorsS est un sous-groupe deG/H. En eﬀet, c’est l’image deQ par l’homomorphismeCl:G→G/H.

Supposons de plus queQest distingué dansG. SoitgH∈SetxH∈G/H.

Alorsxgx⁻¹∈Q, d’où(xH)(gH)(x⁻¹H)∈S. Par conséquent,SCG/H.

Les applications K 7−→L et Q 7−→ Q/H sont clairement inverses l’une de l’autre.

QED Exemple :

Les sous-groupes deZ/nZsont en bijection avec les sous-groupes deZ qui contiennentnZ.

SoitH un sous-groupe deZ. Il existem∈Ntel queH=mZetnZ⊂mZsi et seulement sim divisen.

On en déduit que les sous-groupes deZ/nZsont de la formemZ/nZ, oùm est un diviseur den.

Ainsi, les sous-groupes deZ/6ZsontZ/6Z,{0},{0,3}et{0,2,4}. Groupes cycliques.

Rappel : Un groupeGest dit « cyclique » s’il existe un élémenta∈G tel queG=<{a}>={aⁿ/n∈Z}.

(On note alorsG=< a >an lieu deG=<{a}>).

Exemples :

Z=<1>=<−1>.

Z/nZ=< Cl(1)>=< Cl(n−1)>(=< Cl(μ)>sipgcd(n,μ) = 1).

U_n ={z∈C/zⁿ= 1}.

Terminologie : Les groupes cycliques infinis sont souvent appelés «monogènes», l’appellation «groupes cycliques» étant alors réservée à ceux qui sontfinis.

(23)

Remarque : il est évident que tout groupe cyclique est abélien.

Théorème :

Tout groupe cyclique est isomorphe, soit à Z, soit à Z/nZ pour un n ∈ N\ {0}.

Démonstration :

SoitG=< a >un groupe cyclique. On considère l’application ϕ:Z→G

définie par, ∀n ∈ Z, ϕ(n) = aⁿ. C’est un homomorphisme de groupes qui est surjectif.

Si ϕ est injectif, alors c’est un isomorphisme. Sinon, le noyau deϕ est un sous-groupe deZnon réduit à{0}: il est donc égal ànZpour un entier naturel n 6= 0. Dans ce cas, d’après le théorème de factorisation, Gest isomorphe à Z/nZ.

QED Théorème

1)Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique.

2)Si G=< a >est un groupe cyclique infini, les sous-groupes de Gdistincts de {e_G}sont infinis, donc isomorphes à Z.

3)SiG=< a >est un groupe cycliquefini d’ordresalors, pour tout diviseur tde s, il existe exactement un sous-groupe de Gd’ordre t.

Démonstration :

SoitGun groupe. SiGest isomorphe à Z, ses sous-groupes sont de la forme nZ=< n >, donc cycliques.

SiGest isomorphe àZ/sZalors, d’après l’exemple plus haut,ses sous-groupes sont isomorphes à mZ/sZ, où m est un diviseur de s. De tels groupes sont cycliques. En fait, l’application

mZ/sZ→Z/(s m)Z

définie parf(mu+sZ) =u+^m_sZest un isomorphisme de groupes.

SiG=< a >est d’ordresettest un diviseur des, alors< a^s^t >est un sous- groupe d’ordret. Réciproquement, soitH un sous-groupe d’ordretdeG. Soitp le plus petit entier naturel non nul tel quea^p∈H. AlorsH=< a^p>. En eﬀet, si x∈H, il existem∈Ztel quex=a^m. Il existeq∈Zetr∈Ztels quem=pq+r et0≤r < p, d’où a^m = (a^p)^qa^r et a^r =a^m(a^p)⁻^q ∈H. La minimalité de p entraîne alors quer= 0, d’où x∈< a^p >={e, a^p, a^2p, ..., a^(q⁻^1)p}. On a donc q=t,tp=setH=< a^s^t >.

Ainsi, l’application t 7−→< a^s^t > est une bijection entre l’ensemble des diviseurs deset l’ensemble des sous-groupes deG.

QED

(24)

6. Groupes abéliens finis 6.1 p-groupes

Lemme de Cauchy (cas abélien):

Soit G un groupe abélienfini et p un nombre premier qui divise l’ordre de G. Alors G contient un élément d’ordre p.

Démonstration :

On procède par récurrence sur l’ordre ndeG.

Sin= 1, il n’y a rien à démontrer.

Supposons la propriété démontrée jusqu’à l’ordrenet soitg∈G,g6=e.

Premier cas : sipdivise l’ordreo(g)deg. Alors il existe un entierrtel que o(g) =pr et l’élémentg^r est d’ordrep.

Deuxième cas : on suppose maintenant que p et o(g) sont premiers entre eux. Soit H =G/ < g >. Comme |G|=|H| ×o(g), p est un diviseur de|H| et, par hypothèse de récurrence, il existe un éléménth < g >∈ H d’ordre p, c’est-à-dire tel que(h < g >)^p=h^p< g >=< g >.

Soit alorssl’ordre dehdansG:

(h < g >)^s=h^s< g >=< g >, doncpdivises, et on est ramené au premier cas.

QED

Remarque : comme nous le verrons bientôt, le lemme de Cauchy est égale- ment vrai pour lrs groupes non abéliens.

Définition :

Soit pun nombre premier. On appelle p-groupe tout groupefini dont l’ordre est une puissance de p.

Proposition :

Soitpun nombre premier. Soit G6={e}un groupe abélienfini tel que l’ordre de chacun de ses éléments est une puissance de p. Alors Gest un p-groupe.

Démonstration :

Soit q un nombre premier qui divise l’ordre de G. D’après le lemme de Cauchy,Gcontient un élément d’ordreq. On par hypothèse,qest une puissance dep. Doncq=p.

QED

Proposition :

Soit (G,+) un groupe abélien fini. Soit g et h deux éléments de G tels que o(g)∧o(h) = 1. Alors o(g+h) =o(g)o(h).

(25)

Démonstration :

Notons r = o(g), s = o(h), t = o(g +h). Comme rg = 0 = sh, on a rs(g+h) =rsg+rsh= 0, donctdivisers.

Réciproquement,t(g+h) = 0, donc tg=−th∈< h >∩< g >. L’ordre de tgdiviseretset est donc égal à 1. Par conséquent,tg= 0etrdiviset.

De mêmesdiviset. Finalement,rsdiviset.

QED

6.2 Composantes primaires d’un groupe abélien fini. Notion de p-groupe

Définition :

Soit p un nombre premier et G un groupe abélien fini. On appelle composante p-primaire de G l’ensemble G(p) des éléments de G dont l’ordre est une puissance de p.

Remarques :

1)G(p)est un sous-groupe de G . 2)G(p)est un p-groupe.

3) G(p) 6= {e} ⇐⇒ pdivise |G|. (ceci est une conséquence du lemme de Cauchy)

Théorème :

Soit G un groupe abélien fini d’ordre n = pⁿ₁¹· · ·pⁿ_r^r, où les pi sont des nombres premiers distincts. Alors, pour chaque i∈{1, ..., r},G(pi)est d’ordre pⁿ_iⁱ et

GwG(p1)×....×G(pr).

Démonstration :

Soiti∈{1, ..., r}etH =G/G(pi).

Montrons d’abord queH(pi) ={¯0}:

Soit x ∈ H(pi). Il existe h ∈ G tel que x = h+G(pi) ets ∈ N tel que p^s_ix= ¯0, ou encore p^s_ih∈G(pi).

Par conséquent, il existe un entier naturel t tel que p^t_i(p^s_ih) = 0. On en déduit queh∈G(p_i), c’est-à-direx= ¯0.

CommeH(p_i) ={¯0}, d’après la remarque ci-dessusp_ine divise pas |H|. Et comme|G|=|H| × |G(p_i)|, on en déduit quepⁿ_iⁱ divise|G(p_i)|.

On considère maintenant l’application

η:G(p₁)×....×G(p_r)→G (g₁, ..., g_r)7−→g₁+...+g_r

(26)

Cette application est un homomorphisme. De plus,ηest injectif : supposons en eﬀet queg₁+...+g_r= 0. On a doncg₁+...+g_r₋₁=−g_r.

Pour chaquei∈{1, ..., r}, l’ordre deg_i est une puissance dep_i. Il existe des entiersα₁, ...,α_r tels que o(g_i) =p^α_iⁱ. On a d’une part o(g_r) =p^α_r^r et d’autre part

o(g_r) =p^α₁¹×...×p^α_r₋^r−1₁ . Le théorème fondamental de l’arithmétique entraîne queα₁=...=α_r= 0, d’oùg₁=...=g_r= 0.

Commeη est injective,Qr

i=1|G(pi)|≤|G|, d’où

|G|= Yr i=1

pⁿ_iⁱ≤ Yr i=1

|G(p_i)|≤|G|.

On en déduit queη est une bijection, donc un isomorphisme.

QED

6.3 Structure des groupes abéliens finis : facteurs invariants Définition :

SoitGun groupe abélienfini. On appelle exposant de Gle plus petit commun multiple des ordres de ses éléments.

Proposition :

Soit Gun groupe abélienfini. Il existe un élément de G dont l’ordre est égal à l’exposant de G.

Démonstration : Soitε=Qn

i=1p^α_iⁱ la décomposition de l’exposant de Gen produit de puis- sances de nombres premiers. Pour chaque i ∈ {1, ..., n}, il existe g_i⁰ ∈ G tel quep^α_iⁱ diviseo(g_i⁰). Si o(g⁰_i) =p^α_iⁱs_i alorsg_i =s_ig_i⁰ est d’ordre p^α_iⁱ. Soit alors g=g1+...+gn. D’après une proposition précédente, l’ordre de g est égal à².

QED Lemme :

Soit G un groupe fini d’exposant εet g∈Gun élément d’ordre maximal ε.

Soit x∈ G/ < g > un élément d’ordre μ. Alors il existe un élément h∈G d’ordre μtel que

Cl(h) =x.

Démonstration :

On remarque que, si Cl(k) = x, alors l’ordre de k est un multiple de μ.

Notonsν=o(k). Il existe donc un entier naturelαtel queν =αμ.

Comme μx = ¯0, on a μk ∈< g > et il existe un entier naturel η tel que μk=ηg.

D’autre part,ν diviseεet il existe donc un entier naturelς tel queε=νς= αμς. On a donc

αηg=αμk=νk= 0.

(27)

On en déduit queεdiviseαη, donc queαμς diviseαη, donc queμdiviseη.

Posons alorsρ= ^η_μ et h=k−ρg.

D’une part,Cl(h) =Cl(k), donco(h)est un multiple deμ.

D’autre part,μh=μk−μρg=μk−ηg= 0.

On en conclut queμ=o(h).

QED

Théorème :

Soit G un groupe abélienfini. Il existe des entiers uniques d₁, ..., d_k tels que 1)d_k|d_k₋₁, d_k₋₁|d_k₋₂, ..., d₂|d₁

2)G∼=Z/d1Z×...×Z/dkZ

Démonstration : Existence :

On raisonne par récurrence surn=|G|.

Sin= 2,Gest isomorphe àZ/2Z, la propriété est donc vraie.

Supposonsn >2et notonsd1l’exposant deG: il existe un élémentx1∈G d’ordred₁.

Sid₁=n, alorsG∼=Z/nZet la propriété est vérifiée.

Sinon,|G/ < x₁>|=_dⁿ

1 où1< _dⁿ

1 < n. L’hypothèse de récurrence entraîne alors l’existence d’entiersd₂, ..., d_k tels qued_k|d_k₋₁, d_k₋₁|d_k₋₂, ..., d₃|d₂ et d’un isomorphisme

ϕ:Z/d₂Z×...×Z/d_kZ→G/ < x₁> . Pour chaquei∈{2, ..., k}, il existexi∈Gtel que

ϕ(¯0, ...,¯1, ...,¯0) =xi+< x1>=Cl(xi).

Commeϕest un isomorphisme, Cl(x_i)est d’ordre d_i et lesCl(x_i)engendrent G/ < x₁>. D’après le lemme précédent on peut choisir chaquex_i de sorte que o(x_i) =d_i.

Soitg∈Gquelconque : Cl(g) =g+< x₁>∈G/ < x₁>. Il existe donc des entiersλ2, ...,λk tels que

Cl(g) = Xk i=2

λ_i(x_i+< x₁>) = ( Xk i=2

λ_ix_i)+< x₁> .

Ainsi, il existeλ1∈Ztel que g−Pk

i=2λixi=λ1x1. L’application

< x₁>×...×< x_k >→G (λ1x1, ...,λkxk)7−→

Xk

i=1

λixi

(28)

est donc surjective.

De plus,|G/ < x₁>|=Qk

i=2d_i, d’où|G|=Qk

i=1d_i. Ainsi,ϕest bijective.

Il est clair d’autre part queϕest un homomorphisme.

Unicité :

On procède par récurrence sur|G|.

Supposons qu’il existe deux décompositions G ∼= Z/d1Z×...×Z/dkZ

∼= Z/δ₁Z×...×Z/δ_lZ où

dk | dk−1, dk−1|dk−2, ..., d2|d1

etδ_l | δ_l₋₁, δ_l₋₁|δ_l₋₂, ..., δ₂|δ₁.

Soitpun nombre premier qui divisedk. On considère la multiplication par pdansG:

μ_p:G→G g7−→g+...+g

Soitn∈N\ {0}. Remarquons que, si p ne divise pas n, alorsμ_p∈Aut(Z/nZ).

En revanche, si p est un diviseur de n, alorsIm(μ_p)∼=Z/n⁰Z, oùn⁰= ⁿ_p. Par conséquent,

μ_p(G)∼=Z/d⁰₁Z×...×Z/d⁰_kZ, où pour chaque i,d⁰_i= ^d_pⁱ. En particulier,

¯¯μ_p(G)¯¯= |G| p^k .

D’autre part, soit s≤l le plus grand indice tel que pdivise δs. Pour tous les indicesi≥s+ 1, on a donc :

μ_p(Z/δ_iZ) =Z/δ_iZ et ainsi :

μ_p(G)∼=Z/δ⁰₁Z×...×Z/δ⁰_sZ×Z/δs+1Z×...×Z/δlZ.

Commep∧δs+1= 1, le fait queδs+1diviseδsentraîne que l’on a également δ_s+1 diviseδ⁰_s.

(29)

De plus,¯¯μ_p(G)¯¯= ^|_p^Gk^|, d’oùs=k.

Par hypothèse de récurrence appliquée à μ_p(G), on obtientl =k et, pour touti∈{1, ..., k},d⁰_i=δ⁰_i, d’où,finalement,d_i=δ_i.

QED

Définition :

Les Z/diZ intervenant dans la décomposition de G sont appelés facteurs invariantsde G.

6.4 Structure des groupes abéliens finis : diviseurs élémentaires SoitGun groupe abélienfini,pun nombre premier, etG(p)la composante p-primaire deG. En appliquant le théorème précédent, on voit qu’il existe des entiers naturelsα₁, ...,α_k tels que

G(p) ∼= Z/p^α¹Z×...×Z/p^α^kZ α_k ≤ ...≤α₁,

et cette décomposition est unique.

On dit alors queG(p)est de type(p^α¹, ..., p^α^k).

Définition :

Soit G w G(p1)×....×G(pr) la décomposition de G en composantes primaires. On appelle diviseurs élémentaires de G les ordres des p_i- groupes cycliques qui interviennent dans la décomposition de chacun des G(p_i)en facteurs invariants.

On voit donc que les diviseurs élémentaires deGse déduisent de ses facteurs invariants.

Réciproquement, connaissant les diviseurs élémentaires d’un groupe abélien G, il est possible de reconstituer ses facteurs invariants de la façon suivante :

Si Z/d1Z×...×Z/dkZ est la décomposition de G en facteurs invariants, le coeﬃcient d1 est l’exposant de G. C’est donc le produit des plus grandes puis- sances des nombres premiers qui apparaissent parmi les diviseurs élémentaires.

Il existe un élément x1 de G dont l’ordre estd1.

Le groupe quotient G/ < x1 > est isomorphe à Z/d2Z×...×Z/dkZ dont les diviseurs élémentaires sont obtenus à partir de ceux de G en ôtant ceux qui ont servi à composer d1. On peut donc répéter le processus pour obtenir successivementd2,d3, ...,dk.

Exemples :

1) Soit G un groupe abélienfini dont les composantes primaires sont G(2)de type(2²,2,2)

G(3)de type(3⁴,3²,3) G(5)de type(5²,5).

(30)

On obtient d1 = 2²×3⁴ ×5², d2 = 2×3²×5 et d3 = 2×3. Ainsi la décomposition de G en facteurs invariants est :

GwZ/8100Z×Z/90Z×Z/6Z.

2) A isomorphisme près, il y a quatre groupes abéliens d’ordre 36 :

Z/2Z×Z/2Z×Z/3Z×Z/3ZwZ/6Z×Z/6Z Z/2Z×Z/2Z×Z/9ZwZ/18Z×Z/2Z Z/4Z×Z/3Z×Z/3ZwZ/12Z×Z/3Z

Z/4Z×Z/9ZwZ/36Z.