1 Distinction de S

Université Denis Diderot (Paris 7) M2 de Mathématiques fondamentales 2012-2013 Topologie algébrique II

Séance de TD n

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23 octobre 2012

Cohomologie, structures multiplicatives

Rappelons que, d'après le théorème des coecients universels pour la cohomologie singulière, on a pour tout groupe abélienGune suite exacte scindée :

0−→Ext(H_n−1(X), G)−→Hⁿ(X, G)−→Hom(Hn(X), G)−→0 (1) De plus, d'après le théorème de Künneth, on a une suite exacte scindée :

0−→(H(X)⊗H(Y))n

−→× Hn(X×Y)−→(T or(H(X), H(Y))_n−1−→0 (2) On pourra aussi utiliser le théorème suivant, conséquence de la propriété d'excision (voir par exemple A.Hatcher, Algebraic Topology, Corollary 2.25.) :

Théorème 1. SoitX=W

αXαun bouquet d'espaces topologiques obtenu à partir d'espaces pointés(Xα, xα)tels que pour toutαil existe une rétraction par déformation d'un voisinage deXα sur le pointxα. Alors les inclusions iα:Xα,→X induisent un isomorphisme :

⊕αiα∗:⊕αH˜∗(Xα)−→H˜∗(X)

1 Distinction de S

× S

et S

∨ S

∨ S

par le cup produit

On montre que ces deux espaces ont mêmes groupes d'homologie et de cohomologie, et on cherche à les distinguer par la structure d'anneau de la cohomologie.

En eet, munie du cup produit, la cohomologie singulière(H^∗(X),+,∪)d'un espace topologiqueX est un anneau et cette structure d'anneau est un invariant du type d'homotopie de X. Ceci vient du fait que le cup produit est naturel : autrement dit, si on a une applicationf :X −→Y alors l'application induitef^∗:H^∗(Y)−→H^∗(X)est un morphisme d'anneaux. Dans le cas où f est une équivalence d'homotopie (et a fortiori sif est un homéomor- phisme),f^∗ est un isomorphisme d'anneaux.

Notation : pour tout entier naturelaon noteraZ(a)leZ-module gradué égal àZen degréaet nul dans les autres degrés.

1.1 Calcul de H

(S

× S

) et H

(S

× S

)

Montrer queH_∗(S^p×S^q)'Z(0)⊕Z(p)⊕Z(q)⊕Z(p+q). Déterminer égalementH^∗(S^p×S^q).

1.2 Calcul de H

(S

∨ S

∨ S

) et H

(S

∨ S

∨ S

)

CalculerH_∗(S^p∨S^q∨S^p+q)etH^∗(S^p∨S^q∨S^p+q)et en déduire queS^p×S^q etS^p∨S^q∨S^p+q ont mêmes groupes d'homologie et de cohomologie.

1.3 Structure multiplicative de de H

(S

× S

)

Notation : dans toute sphère Sⁿ on note1le point de coordonnées(1,0)dansRⁿ⁺¹. L'isomorphisme de Künneth donne des générateurs du groupe abélien libre H_∗(S^p×S^q): [1]×[1]∈H0(S^p×S^q),

a= [S^p]×[1]∈Hp(S^p×S^q), b= [1]×[S^q]∈Hq(S^p×S^q) et [S^p]×[S^q]∈Hp+q(S^p×S^q).

CommeH^∗(S^p×S^q)'Hom(H_∗(S^p×S^q),Z), on obtient par dualité des générateurs deH^∗(S^p×S^q): ([1]×[1])^∗∈H⁰(S^p×S^q),

α=a^∗∈H^p(S^p×S^q), β =b^∗∈H^q(S^p×S^q),

Université Denis Diderot (Paris 7) M2 de Mathématiques fondamentales Séance de TD n^◦7 2

et ([S^p]×[S^q])^∗∈H^p+q(S^p×S^q).

On note i1 et i2 les injections canoniquesi1:S^p−→S^p× {1},→S^p×S^q eti2 :S^q −→ {1} ×S^q ,→S^p×S^q, et p1et p2 les projections canoniquesp1:S^p×S^q−→S^pet p2:S^p×S^q −→S^q.

1. Montrer quea=i1∗([S^p])∈Hp(S^p×S^q)et b=i2∗([S^q])∈Hq(S^p×S^q). 2. Montrer queα=p^∗₁([S^p]^∗) = [S^p]^∗×[1]^∗ et β=p^∗₂([S^q]^∗) = [1]^∗×[S^q]^∗.

3. Montrer queα∪β= [S^p]^∗×[S^q]^∗= (−1)^pq([S^p]×[S^q])^∗, queα∪α= 0 et queβ∪β= 0.

Indication : sid:X →X×X est l'inclusion diagonale, on af ∪g=d^∗(f×g)pour tousf, g∈H^∗(X).

1.4 Structure multiplicative de H

(S

∨ S

∨ S

)

Appelons1le point commun des trois sphères dans l'espace X=S^p∨S^q∨S^p+q.

Alors, d'après le théorème 1, des générateurs du groupe abélien libreH∗(X)sont donnés par : [1]∈H0(X),

a=i∗([S^p])∈Hp(X), b=j_∗([S^q])∈H_q(X), et c=k_∗([S^p+q])∈H_p+q(X)

oùi,j et ksont les inclusionsi:S^p ,→X,j:S^q ,→X et k:S^p+q ,→X. De même que précédemment, on obtient dualement des générateurs de H^∗(X): [1]^∗∈H⁰(X),

α=a^∗∈H^p(X), β =b^∗∈Hq(X), et γ=c^∗∈H^p+q(X).

Montrer queα∪β = 0, et aussi queα∪α= 0et β∪β= 0. Indication : calculerk^∗(α∪β).