E576. Les cyclopes E5. Enigmes logiques D’après un problème proposé par Augustin Genoud
Sur une île, les seuls habitants sont des cyclopes qui, comme chacun le sait, n’ont qu’un seul œil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut déduire avec certitude la couleur de son œil, il meurt dans la nuit qui suit. Les cyclopes ne voient pas durant la nuit. Les cyclopes n’ont aucun moyen de voir la couleur de leur œil (pas de miroirs, pas de reflets,...). Comme ils ne veulent pas faire mourir leurs semblables, ils ne parlent jamais de la couleur de l’œil de quiconque.
Le matin du 1er janvier 2017, un missionnaire de passage, annonça à tous les cyclopes vivant sur cette île qu’il voyait exclusivement trois couleurs des yeux : bleu, vert et marron.
Tous les cyclopes moururent dans la seule nuit du 31 janvier au 1er février 2017 Combien y avait-il de cyclopes sur cette île ? Justifiez votre réponse.
Solution de Paul Voyer
Soient b, c et m le nombre de cyclopes aux yeux respectivement bleus, verts et marron, N=b+v+m. Chaque cyclope voit les yeux de N-1 autres cyclopes.
Les 30 jours du 1er au 30 janvier n'apportent pas l'information suffisante pour qu'il se passe quelque chose.
Le 2 janvier, tous les cyclopes savent qu'aucun autre n'a vu une couleur absente et N-1 cyclopes totalisant deux couleurs, sinon cet autre serait mort.
Le 3 janvier, tous les cyclopes savent qu'aucun autre n'a vu 1 d'une couleur et (N-2) totalisant 2 couleurs, sinon cet autre serait mort.
…
Le 31 janvier, tous les cyclopes savent qu'aucun autre n'a vu 30 d'une couleur et (N-30) totalisant deux couleurs, sinon cet autre serait mort.
Le 1er février, ils ont tous vus 30 cyclopes d'une couleur et cela leur a suffi pour connaître la couleur de leurs yeux.
Ils étaient donc 93.
