Enoncé E576 (Diophante) Les cyclopes
Sur une île, les seuls habitants sont des cyclopes qui, comme cha- cun le sait, n’ont qu’un seul oeil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut déduire avec certitude la couleur de son oeil, il meurt dans la nuit qui suit. Les cyclopes ne voient pas durant la nuit. Les cyclopes n’ont aucun moyen de voir la couleur de leur oeil (pas de miroirs, pas de reflets,. . .). Comme ils ne veulent pas faire mourir leurs semblables, ils ne parlent jamais de la couleur de l’oeil de quiconque.
Le matin du 1er janvier 2017, un missionnaire de passage annonça à tous les cyclopes vivant sur cette île qu’il voyait exclusivement trois couleurs des yeux : bleu, vert et marron.
Tous les cyclopes moururent dans la seule nuit du 31 janvier au 1er février 2017.
Combien y avait-il de cyclopes sur cette île ? Justifiez votre ré- ponse.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Supposons qu’il y ait un seul cyclope à l’oeil bleu. Il ne voit aucun cyclope à l’oeil bleu, et peut conclure dès le 1er janvier que son oeil est bleu ; il en meurt la nuit suivante.
Supposons maintenant qu’il y ait deux cyclopes à l’oeil bleu. Cha- cun d’eux voit un cyclope à l’oeil bleu, et peut conclure que son collègue va mourir la nuit suivante s’il est le seul. Le voyant en vie au matin du 2 janvier, il en déduit que lui-même a aussi l’oeil bleu, et tous deux meurent dans la nuit du 2 au 3 janvier.
Et ainsi de suite : s’il y a B yeux bleus, V yeux verts, M yeux marron, avec par exempleB ≤V < M, par le même raisonnement les cyclopes aux yeux bleus mourront dans la nuit du jour B au jour B+ 1, en voyant B −1 cyclopes à l’oeil bleu encore en vie au matin du jour B; les cyclopes aux yeux verts mourront dans la nuit du jourV au jourV + 1, et les cyclopes aux yeux marron mourront dans la nuit du jourV + 1 au jour V + 2, en constatant qu’au matin du jourV + 1 il n’y a plus que des yeux marron.
L’indication de l’énoncé conduit à B =V =M = 31, car il n’y a pas de décalage entre les derniers décès ; il y a 93 cyclopes égale- ment répartis entre les 3 couleurs d’yeux.
