E576-Les cyclopes [*** à la main]
D’après un problème proposé par Augustin Genoud
Sur une île, les seuls habitants sont des cyclopes qui, comme chacun le sait, n’ont qu’un seul œil. Une malédiction fait que le jour où un cyclope peut déduire avec certitude la couleur de son œil, il meurt dans la nuit qui suit. Les cyclopes ne voient pas durant la nuit. Les cyclopes n’ont aucun moyen de voir la couleur de leur œil (pas de miroirs, pas de reflets,...). Comme ils ne veulent pas faire mourir leurs semblables, ils ne parlent jamais de la couleur de l’œil de quiconque.
Le matin du 1er janvier 2017, un missionnaire de passage, annonça à tous les cyclopes vivant sur cette île qu’il voyait exclusivement trois couleurs des yeux : bleu, vert et marron.
Tous les cyclopes moururent dans la seule nuit du 31 janvier au 1er février 2017 Combien y avait-il de cyclopes sur cette île ? Justifiez votre réponse.
Solution proposée par Marie-Christine Piquet
Tout d'abord , on considère le 1er janvier 2017 comme étant le matin (jour) J1 et la nuit qui suit N1 . Ainsi le 31 janvier est J31 et la nuit commune à janvier et février N31 .
Chaque cyclope va être informé de deux manières :
1) Il est informé par ce qu'il voit en sachant que 3 couleurs existent . 2) Il est aussi renseigné tous les jours par le sort réservé à ses compagnons . On peut étudier plusieurs cas .
A) Il y a 3 cyclopes sur l'ile . Dans ce cas , l'information 1) suffit à elle seule pour celer le sort de chacun d'eux . Ils meurent tous la nuit N1 .
Une remarque tout de même : dans ce premier exemple , le nombre de cyclopes à l'œil vert , bleu ou marron est le même .
B) Il y a 4 cyclopes sur l'ile . deux d'entre eux sont bleus ( par exemple ) et les deux autres sont donc vert et marron . Le premier jour , vert et marron
savent qu'ils ne vont pas passer la nuit N1 . Le jour J2 ils sont morts . Ce même jour les deux cyclopes bleus connaissent la couleur de leur œil ( ni vert ni marron )
puisqu'ils en ont déduit que les 2 cyclopes vert et marron renseignés ne pouvaient voir que du bleu . Ils meurent à leur tour durant la nuit N2 .
Une remarque : les quantités ( bleu vert et marron ) étant différentes , les jours de décès sont différents . On peut remarquer aussi que les couleurs uniques vert et marron meurent la première nuit , et le binôme de couleur bleu meurt la nuit N2 .
C) Il y a 5 cyclopes sur l'ile. 2 ont l'œil bleu , 2 ont l'œil vert et 1 a l'œil marron . Dans ce cas le marron ne voyant pas d'œil marron meurt la nuit N1 .
Quant aux 2 binômes bleu et vert , aucun des 4 cyclopes ne va mourir la première nuit ; Ils savent cependant le lendemain J2 qu'aucun d'eux n'a l'œil marron .
Ils peuvent chacun regarder les 3 autres et conclure quant à la couleur de leur œil . Ils meurent tous les quatre la nuit suivante N2 .
D) Il y a 6 cyclopes sur l'ile : 3 ont l'œil bleu , 2 ont l'œil vert et le dernier a l'œil marron . Ce dernier s'éteint la première nuit.
Le jour suivant J2 chacun des 2 cyclopes verts voit 3 yeux bleus et 1 œil vert et en conclut qu'il est vert . Ces 2 verts disparaissent la nuit N2 .
Le troisième jour , les 3 yeux bleus vont tirer leur révérence .
E) Il y a encore 6 cyclopes ; cette fois ci 2 de chaque couleur . Dans ce cas ils ont tous la même vision du
"jeu" 2 + 2 + 1 (aux couleurs près) . Par chaque cyclope
sait que si "1" ne peut pas conclure le premier jour , cela signifie que chaque cyclope est informé le second jour et finit par mourir la seconde nuit.
F) Il y a 9 cyclopes : 3 + 3 + 3 ( aux couleurs près) . chacun suit la même stratégie qu'en E) ; mais chacun doit attendre un jour de plus , et si personne ne meurt
avant lui il sait le troisième jour que son sort est scellé . Ils quittent tous ce monde la troisième nuit . De fil en aiguille , chacun va connaître son sort le même jour ; ce jour est le 31 ième jour et va fermer définitivement l'œil la nuit suivante .
Sur cette ile il y avait 93 cyclopes avec autant d'yeux de chaque couleur ( condition sine qua non pour conclure le même jour).
