PHYS-F-104 Physique 1
Examen du 30 août 2011 I. Théorie (20 points – 1 heure)
1. Établissez (« démontrez ») l'équation de continuité.
(3 points) voir cours
2. Considérez un ressort obéissant à la loi de Hooke. L'équation différentielle du mouve- ment est d2x/dt2 +k/m x = 0
- montrez comment s'obtient cette équation différentielle (justifiez chaque étape du rai- sonnement)
- montrez que cette équation admet une solution du type x = A sin (ωt + B), et exprimez ω en fonction des données
(4 points)
F = ma (loi de la mécanique de Newton) = - kx (loi de Hooke).
Or a = d2x/dt2 => d2x/dt2 +k/m x = 0 (1) On dérive deux fois x = A sin (ωt + B)
dx/dt = A ω cos (ωt + B)
d2x/dt2 = - A ω2 sin (ωt + B) = - ω2x soit d2x/dt2 + ω2x = 0 (2) Par identification avec (1), on voit que ω2 = k / m
3. Soient deux vecteurs p et q.
Comment appelle-t-on les quantités notées respectivement p x q et p . q ? Comment s'expriment-elles en fonction de l'angle entre les vecteurs ?
Donnez un exemple de quantité physique pouvant s'exprimer sous la forme de chacune de ces expressions.
(4 points)
Produit vectoriel : p x q = |p| |q| sin (p, q) 1perp
où (p, q) est l'angle entre les vecteurs p et q, et 1perp est le vecteur unitaire selon l'axe per- pendiculaire au plan des vecteurs p et q
Produit scalaire : p . q = |p| |q| cos (p, q)
Exemples de produits vectoriels : moment d'une force, moment d'une quantité de mouvement Exemple de produit scalaire: travail d'une force
4. Un bloc en mouvement sans frottement sur un plan horizontal vient écraser un ressort au repos qui se comprime, puis réexpédie le bloc. Expliquez pourquoi, après qu’il s’est séparé du ressort, la norme de la vitesse du bloc réexpédié est plus petite que la norme de la vitesse initiale du bloc.
(3 points)
Une partie de l’énergie cinétique initiale du bloc est transférée au ressort qui oscille.
5. Dans une expérience de Young, on éclaire deux fentes séparées d'une distance a avec une lumière monochromatique de longueur d'onde λ. Établissez l'expression de la position des franges sombres sur un écran placé à une distance d grande par rapport à λ. (4 points)
Opposition de phase -> déphasage de (2m+1).π -> différence de chemin optique de (m+1/2).λ, m nombre entier pouvant être négatif.
Comme d>>a, les rayons sont presque parallèles, donc la différence de chemin optique vaut approximativement :
r1−r2≃asinθ.
D'autre part, les angles sont petits, donc : sinθ≃tanθ=y
d. Donc :
r1−r2≃ay d .
Les franges sombres se trouvent donc à des distances y de l'axe telles que:
y=d
a.(m+1 2)λ.
6. Donnez l'expression de la vitesse d'une onde transversale se propageant sur une corde tendue. Définissez les grandeurs physiques que vous introduisez et donnez leurs unités dans le système international.
(2 points)
Expression de la vitesse:
v=
√
FμT .FT: tension de la corde, en Newtons = kg.m.s-2 µ : masse linéique de la corde, en kg/m
II. Exercices (20 points – 2 heures)
1. La Lune présente toujours à la Terre la même face.
Déterminez le rapport entre le moment cinétique de rotation de la Lune sur elle-même et son moment cinétique de rotation autour de la Terre (on considère que le mouvement de la Lune autour de la Terre est circulaire).
Données : masse M de la Lune = 7,35×1022 kg, diamètre de la Lune = 3,5×103 km, dis- tance D entre la Terre et la Lune= 384×103 km
Moment cinétique = IO Ω où IO est le moment d'inertie de rotation autour du point O et Ω est le vecteur rotation angulaire.
Comme la Lune présente toujours la même face à la Terre, sa vitesse angulaire de rotation sur elle-même et sa vitesse angulaire de rotation autour de la Terre sont les mêmes.
Le rapport entre les moments cinétiques est donc donné par le rapport entre les moments d'inertie.
Le moment d'inertie IC de la Lune par rapport à son centre est IC = 2/5 M RL2
= 2/5 1/4 M DL2
Le moment d'inertie IT de rotation de la Lune autour de la Terre est IT = M DTL2
Le rapport des moments cinétiques est donc IC / IT = 1/10 DL2 / DTL2 = 8,3.10-6
2. Quelle est la différence entre la vitesse de la Terre à l'aphélie et sa vitesse au périhélie, sachant que la moyenne de ces vitesses est de 29,79 km/s ?
Données :
distance entre la Terre et le Soleil au périhélie : 147×106 km distance entre la Terre et le Soleil à l’aphélie : 152×106 km constante gravitationnelle de Newton : G = 6,67×10-11 m3 kg-1 s-2 masse du Soleil : 2,0×1030 kg
On suppose le Soleil immobile.
Rappel : a2 – b2 = (a + b) . (a – b) (4 points)
L’énergie mécanique totale du système est constante : Ep1 + Ec1 = Ep2 + Ec2,
où l’énergie potentielle gravitationnelle est donnée par Ep = - G M m / R et l'énergie cinétique par Ec = 1/2 m v2, m étant la masse de la Terre, et R la distance Terre-Soleil
On a donc
Ec2-Ec1 =1/2 m (v22 – v12) = G M m (1/R2 - 1/R1)
=> v2 – v1= 2GM / (v2 + v1) . (1/R2 - 1/R1) = GM/V . (1/R2 - 1/R1) Cette relation est toujours valable.
Prenons, dans le cas du problème, R1 comme la distance Terre-Soleil au périhélie ; la vitesse v1 correspondante est la vitesse maximale de la Terre sur son orbite. R2 est la distance Terre- Soleil à l’aphélie, et la vitesse correspondante v2 est la vitesse minimale de la Terre sur son or- bite.
On fait tous les calculs puis en ne retenant que 2 chiffres significatifs (donné par la précision sur la masse du Soleil) on trouve v2 – v1= -0,99 km/s.
3. Un camion entame un virage sur une route horizontale. Un pendule est accroché dans la cabine du conducteur. Lors du virage, le fil du pendule fait un angle de 5,5° avec la verticale. Que vaut le coefficient de frottement minimal de la route pour que le camion se maintienne sur une trajectoire circulaire ?
(4 points)
Le pendule décrit dans le plan horizontal une trajectoire circulaire de rayon R à la vitesse v, pour laquelle la force centripète est donnée par la composante horizontale de la tension du fil : mp v2 / R = T sinα = mp g tgα
donc v2 / R = g tgα (1)
Le camion décrit la même trajectoire circulaire, pour laquelle la force centripète est donnée – la route étant horizontale – par la force de frottement, qui est elle-même proportionnelle au poids du camion :
mc v2 / R = = Ff = µmin mc g donc v2 / R = µmin g (2)
De (1) et (2) il suit que => µmin = tgα = 0,096.
4. L'objectif d'un appareil photo est constitué d'une lentille à faces convexes dont les deux faces ont un rayon de courbure égal à 41,0 mm. Pour prendre le portrait d'une personne située à 60,0 cm, la distance film-lentille est réglée à 37,2 mm.
a) Quel est l'indice de réfraction du matériau de la lentille ? (3 points)
b) Quelle doit être la distance film-lentille pour prendre une photo d'un paysage de montagnes ? (1 point)
a) L'indice de réfraction, n, intervient dans la relation:
1
f=(n−1)( 1 R1− 1
R2)
où, selon la convention des lentilles, R1 = 41,0 mm = R est positif et R2 = -R1 est négatif.
Donc:
n= R 2f+1.
La distance focale f s'obtient par l'équation de conjugaison des lentilles:
1 so+1
si=1
f →f=( sosi
so+si)= 600.37,2
600+37,2mm=35,0mm.
Donc:
n= 41,0
2.35,0+1=1,586=1,59 en gardant 3 chiffres significatifs.
b) L'image d'un objet presque à l'infini se forme au plan focal image:
si = f = 35,0 mm.
Autre résolution : on peut aussi utiliser l'équation de conjugaison des lentilles avec so ~infini.
5. Un radar sous-marin immobile envoie des ultrasons de 120,0 kHz de fréquence vers un objet distant de 100 m qui s'éloigne dans l'eau à vitesse constante. L'onde réfléchie est détectée par le radar 140 ms plus tard à une fréquence de 119,5 kHz. A quelle vitesse l'objet s'éloigne-t-il ?
(4 points)
L'effet Doppler agit deux fois, une fois pour l'onde incidente sur la surface de l'objet, l'autre fois pour l'onde réfléchie par l'objet. Les fréquences de la source radar, fs, et de l'onde réfléchie par l'objet, fo, sont liées aux vitesses de l'objet, vo, et du son dans l'eau, v, par :
fo=fs(v−vo)
(v+vo). (1)
En un temps t = 140 ms, les ultrasons font un aller-retour entre le radar et l'objet. La distance aller vaut :
l=(d+vot 2),
où d est la distance initiale = 100 m. La vitesse du son dans l'eau est donc:
v=2l t =2d
t +vo. (2) On développe (1):
v(fo−fs)=−vo(fs+fo),
et en remplaçant v par son expression (2) on trouve:
vo=2d t
fs−fo
2fo = 2.100 140.10−3
120,0−119,5 2.119,5 m/s soit vo = 2,99 m/s (3 chiffres significatifs).
