Savant Remplissage

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Savant Remplissage

En réponse à la question de jeux de plateaux J113 "Savant remplissage (1er épisode)" posée sur le site:

http://www.diophante.fr/problemes-par-themes/jeux-de-plateaux/4262-j113-savant-remplissage

William Walkington

4 février 2019

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La question posée

La réponse à la question

Après avoir étudié un carré panmagique d'ordre 9 d'Albert Candy dans son livre "Pandiagonal Magic Squares of Composite Order," et souhaitant générer des solutions pour les autres ordres carrés de tores panmagiques, j'ai créé une équation de coordonnées modulaires:

Si N est un ordre carré de tore (1 , 4 , 9 , 16 , 25 ,…), si A et B sont nombres entiers du tore d' 1 à N² , et si le vecteur position entre un nombre de départ A (origine) et un nombre d'arrivée B (point) est défini par les coordonnées (a, b) mod N , alors une équation de coordonnées modulaires peut être exprimée ainsi:

Pour le vecteur position de tous les nombres depuis le nombre de départ 1 (origine) :

Cette équation a été utilisée pour générer tous les tores panmagiques qui suivent:

Prouver qu'il est possible de remplir les 81 cases d'un tableau 9 x 9 avec les entiers de 1 à 81 de sorte que les sommes des nombres contenus

dans tous les carrés 3 x 3 sont identiques. Pour les plus courageux: même question pour le remplissage des 256 cases d'un tableau 16 x 16 avec

les entiers de 1 à 256 et les sommes identiques des nombres contenus dans tous les carrés 4 x 4.

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44 49 30 80 58 66 8 13 21 79 60 65 7 15 20 43 51 29 9 14 19 45 50 28 81 59 64 40 48 35 76 57 71 4 12 26 78 56 70 6 11 25 42 47 34 5 10 27 41 46 36 77 55 72 39 53 31 75 62 67 3 17 22 74 61 69 2 16 24 38 52 33 1 18 23 37 54 32 73 63 68

369 369

369

369 369

369 369 369 369 369 369

Tore panmagique d'ordre 9

Pour chacun des 81 carrés 3 x 3, la somme des nombres contenus est de 369.

369

369 369

369 369 369 369 369 369 369 369 369

369

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95 106 117 68 175 186 133 148 255 202 213 228 15 26 37 52 174 185 136 147 254 201 216 227 14 25 40 51 94 105 120 67 253 204 215 226 13 28 39 50 93 108 119 66 173 188 135 146

16 27 38 49 96 107 118 65 176 187 134 145 256 203 214 225 90 101 116 79 170 181 132 159 250 197 212 239 10 21 36 63 169 184 131 158 249 200 211 238 9 24 35 62 89 104 115 78 252 199 210 237 12 23 34 61 92 103 114 77 172 183 130 157

11 22 33 64 91 102 113 80 171 182 129 160 251 198 209 240 85 100 127 74 165 180 143 154 245 196 223 234 5 20 47 58 168 179 142 153 248 195 222 233 8 19 46 57 88 99 126 73 247 194 221 236 7 18 45 60 87 98 125 76 167 178 141 156

6 17 48 59 86 97 128 75 166 177 144 155 246 193 224 235 84 111 122 69 164 191 138 149 244 207 218 229 4 31 42 53 163 190 137 152 243 206 217 232 3 30 41 56 83 110 121 72 242 205 220 231 2 29 44 55 82 109 124 71 162 189 140 151

1 32 43 54 81 112 123 70 161 192 139 150 241 208 219 230

Tore panmagique d'ordre 16

2056

2056 2056

2056

2056 2056

2056 2056 2056

2056

2056 2056

2056 2056 2056

2056 2056 2056 2056

2056 2056 2056

2056 2056 2056 2056 2056 2056 2056

2056 2056

2056 2056 2056 2056

2056 2056

2056 2056 2056 2056 2056 2056

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Autres tores panmagiques d'ordre carré générés par la même équation:

1 1

1

34 34 34 34 34

34

15 10 3 6

₃₄

34

4 5 16 9

₃₄

34

14 11 2 7

₃₄

1 8 13 12

₃₄

34 34 34 34

Tore panmagique d'ordre 4 Tore panmagique d'ordre 1

Pour le seul carré 1 x 1, la somme des nombres contenus est d' 1.

Le tore panmagique d'ordre 4 illustré ci-dessus est du type T4.01.3, et a reçu le numéro d'indexe T4.213:

https://carresmagiques.blogspot.com/2011/10/255-tores-magiques-dordre-4-et-1-tore.html

https://oeis.org/A270876

Ce tore panmagique affiche 16 carrés Frénicle n° 116, 117, 177, 178, 304, 305, 372, 375, 483, 485, 536, 537, 646, 647, 702 et 704.

Ce tore est entièrement recouvert par 16 carrés 2 x 2 ayant la constante magique de 34.

Ce tore n'est qu'un parmi 255 tores magiques d'ordre 4:

https://carresmagiques.blogspot.com/2012/10/table-of-fourth-order-magic-tori.html

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174 193 212 231 130 324 343 362 256 280 474 493 387 406 430 624 518 537 556 580 24 43 62 81 105 323 342 361 260 279 473 492 386 410 429 623 517 536 560 579 23 42 61 85 104 173 192 211 235 129 472 491 390 409 428 622 516 540 559 578 22 41 65 84 103 172 191 215 234 128 322 341 365 259 278 621 520 539 558 577 21 45 64 83 102 171 195 214 233 127 321 345 364 258 277 471 495 389 408 427 25 44 63 82 101 175 194 213 232 126 325 344 363 257 276 475 494 388 407 426 625 519 538 557 576 168 187 206 230 149 318 337 356 255 299 468 487 381 405 449 618 512 531 555 599 18 37 56 80 124 317 336 360 254 298 467 486 385 404 448 617 511 535 554 598 17 36 60 79 123 167 186 210 229 148 466 490 384 403 447 616 515 534 553 597 16 40 59 78 122 166 190 209 228 147 316 340 359 253 297 620 514 533 552 596 20 39 58 77 121 170 189 208 227 146 320 339 358 252 296 470 489 383 402 446 19 38 57 76 125 169 188 207 226 150 319 338 357 251 300 469 488 382 401 450 619 513 532 551 600 162 181 205 249 143 312 331 355 274 293 462 481 380 424 443 612 506 530 574 593 12 31 55 99 118 311 335 354 273 292 461 485 379 423 442 611 510 529 573 592 11 35 54 98 117 161 185 204 248 142 465 484 378 422 441 615 509 528 572 591 15 34 53 97 116 165 184 203 247 141 315 334 353 272 291 614 508 527 571 595 14 33 52 96 120 164 183 202 246 145 314 333 352 271 295 464 483 377 421 445 13 32 51 100 119 163 182 201 250 144 313 332 351 275 294 463 482 376 425 444 613 507 526 575 594 156 180 224 243 137 306 330 374 268 287 456 480 399 418 437 606 505 549 568 587 6 30 74 93 112 310 329 373 267 286 460 479 398 417 436 610 504 548 567 586 10 29 73 92 111 160 179 223 242 136 459 478 397 416 440 609 503 547 566 590 9 28 72 91 115 159 178 222 241 140 309 328 372 266 290 608 502 546 570 589 8 27 71 95 114 158 177 221 245 139 308 327 371 270 289 458 477 396 420 439 7 26 75 94 113 157 176 225 244 138 307 326 375 269 288 457 476 400 419 438 607 501 550 569 588 155 199 218 237 131 305 349 368 262 281 455 499 393 412 431 605 524 543 562 581 5 49 68 87 106 304 348 367 261 285 454 498 392 411 435 604 523 542 561 585 4 48 67 86 110 154 198 217 236 135 453 497 391 415 434 603 522 541 565 584 3 47 66 90 109 153 197 216 240 134 303 347 366 265 284 602 521 545 564 583 2 46 70 89 108 152 196 220 239 133 302 346 370 264 283 452 496 395 414 433 1 50 69 88 107 151 200 219 238 132 301 350 369 263 282 451 500 394 413 432 601 525 544 563 582 7825

7825

78257825 7825 7825

7825 7825 7825 7825 7825

Tore panmagique d'ordre 25

7825 7825 7825

7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825

7825

7825 7825 7825 7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825

7825

7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825 7825

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Observations:

Ces résultats ont déjà été publiés en 2016 dans les pages 112 - 115 de "Magic Torus Coordinate and Vector Symmetries."

https://carresmagiques.blogspot.com/2016/09/magic-torus-coordinate-and-vector_10.html

Sauf indication contraire, "Savant Remplissage" est publié sur les pages web de "Magic squares, spheres and tori" par William Walkington, sous une licence Creative Commons CC BY-NC-SA 4.0:

https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Pour attribution, veuillez référer aux détails du Creative Commons Notice (en anglais) qui peut être trouvée ici:

Etant générés par une même équation, ces tores panmagiques d'ordre carré peuvent (en fonction de leurs dimensions) être comparés comme ascendants ou descendants d'une même lignée.

Utilisant la même équation, il est possible de générer les tores panmagiques qui sont réellement comparables dans les ordres carrés supérieurs . De plus, la comparaison des positions relatives de nombres peut être faite sans en avoir besoin de générer entièrement des très grands tores magiques .

Savant Remplissage