J114 − Savant remplissage (2ième épisode) [**** à la main et avec l'aide d'un automate]
Problème proposé par Francis Gaspalou
Il est bien connu qu’il existe des carrés d’ordre pair dits « compacts » (ou « compacts 2 ») et des carrés d’ordre 9 dits « compacts 3 » .
Ex 1 : le carré d’ordre 4 01 04 05 08
13 16 09 12 02 03 06 07 14 15 10 11
où les nombres à l’intérieur de tout sous-carré 2x2 ont une somme constante Ex 2 : le carré d’ordre 9
01 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 04 14 24 58 68 78 07 17 27 28 38 48 20 03 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 06 13 77 60 67 26 09 16 47 30 37 12 19 02 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 05 69 76 59 18 25 08 39 46 29
est à somme constante dans tout sous-carré 3x3.
Par contre, il est peu connu que l’on peut construire des carrés « compacts 2 » ou « compacts 3 » en dehors de ces ordres. Par exemple pour l’ordre 5, lequel n’est ni pair ni multiple de 9.
Q₁ Montrer qu’il existe des carrés d’ordre 5 – faits avec les nombres de 1 à 25 – qui sont « compacts 2 ».
Q₂ Montrer qu’il existe aussi des carrés d’ordre 5 qui sont « compacts 3 ».
Solution proposée par Francis Gaspalou
Voici quelques solutions trouvées avec un ordinateur (je doute qu’à la main on puisse y arriver) : Compact 2 :
1
13 3 8 18 23 14 22 19 7 4 11 5 6 20 21 12 24 17 9 2 15 1 10 16 25
2
13 3 8 18 23 14 22 19 7 4 15 1 10 16 25 12 24 17 9 2 11 5 6 20 21
3
13 3 8 23 18 14 22 19 2 9 11 5 6 25 16 12 24 17 4 7 15 1 10 21 20 4
13 3 8 23 18
14 22 19 2 9 11 5 6 25 16 15 21 20 1 10 12 4 7 24 17
5
13 3 8 23 18 14 22 19 2 9 12 4 7 24 17 11 25 16 5 6 15 1 10 21 20
Compact 3 :
13 3 8 18 23 16 25 4 6 24 7 20 21 12 1 5 2 17 10 22 19 15 11 9 14
___ Solution: 1 __________________________________
13 3 8 18 23 4 25 7 14 24 21 20 16 6 1 5 2 17 10 22 9 12 15 19 11
___ Solution: 2 __________________________________
13 3 8 18 23 7 25 5 4 24 17 20 19 15 1 16 2 6 21 22 12 11 14 9 10
___ Solution: 3 __________________________________
13 3 8 18 23 6 25 9 11 24 17 20 16 7 1 10 2 12 15 22 14 5 21 19 4
___ Solution: 4 __________________________________
13 3 8 18 23 11 25 6 16 22 12 24 15 2 7 4 1 19 9 21 5 17 20 10 14
___ Solution: 5 __________________________________
