les sommes des nombres contenus dans tous les carrés 3 x 3 sont identiques?
Pour les plus courageux: même question pour le remplissage des 256 cases d'.un tableau 16 x 16 avec les entiers de 1 à 256 et les sommes identiques des nombres contenus dans tous les carrés 4 x 4.
Solution proposée par Francis Gaspalou
Analyse du 30 novembre 2018
1.J’essaie d’abord de résoudre le problème équivalent pour l’ordre 4. Les nombres de 1 à 16 doivent alors être rangés dans un carré 4x4 de façon que la somme des nombres de tout carré 2x2 soit constante. La
somme des 16 premiers nombres entiers est 136, donc la somme dans un carré 2x2 doit être de 136/4=34. En essayant les carrés magiques 4x4 faits avec les nombres de 1 à 16, je constate que tout carré pandiagonal est solution : il y a 384 solutions parmi les 7040 carrés ordre 4. Par exemple le carré pandiagonal suivant :
01 08 10 15 12 13 03 06 07 02 16 09 14 11 05 04
Un carré pandiagonal ordre 4 est « compact » (la somme des nombres dans tout carré 2x2 est constante et égale à 34, la somme magique).
2.Pour l’ordre 9, je suis alors incité à rechercher des solutions parmi les pandiagonaux ordre 9. La somme des 81 premiers nombres entiers est 3321 et la somme des nombres dans tout carré 3x3 doit être
3321/9=369. Le premier carré pandiagonal ordre 9 que j’ai essayé est solution : c’est le carré ordre 9 donné sur le site Wikipédia « Pandiagonal magic squares »
https://en.wikipedia.org/wiki/Pandiagonal_magic_square
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 34 71 23 33 67 19 29 66 73 2 39 81 7 44 77 6 40 59 15 49 55 11 48 63 16 53 72 25 35 68 24 31 64 20 30 37 74 3 45 79 8 41 78 4 50 60 13 46 56 12 54 61 17 36 70 26 32 69 22 28 65 21
Dans la littérature « carrés magiques », ces carrés avec sommes constantes sont connus pour être appelés « block-wise magic squares » (vocabulaire non figé).
Par exemple, mon collègue brésilien Inder Taneja a récemment mis en ligne plusieurs notes à ce sujet 1. https://inderjtaneja.com/2018/01/10/block-wise-magic-and-bimagic-squares-part-i/
2. https://inderjtaneja.com/2018/01/10/block-wise-magic-and-bimagic-squares-part-ii/
où il explique dans le détail sa méthode de construction.
Voici aussi 3 autres exemples donnés par l’allemand Holger Danielsson
1 23 54 37 32 63 73 68 18
74 69 16 2 24 52 38 33 61
39 35 58 75 71 13 3 26 49
5 27 46 41 36 55 77 72 10
78 70 11 6 25 47 42 34 56
44 31 57 80 67 12 8 22 48
9 19 50 45 28 59 81 64 14
79 65 15 7 20 51 43 29 60 40 30 62 76 66 17 4 21 53
1 72 59 37 36 50 73 27 14 42 34 47 78 25 11 6 70 56 75 22 17 3 67 62 39 31 53 5 64 63 41 28 54 77 19 18 38 33 52 74 24 16 2 69 61 80 21 13 8 66 58 44 30 49 9 68 55 45 32 46 81 23 10 43 29 51 79 20 15 7 65 60 76 26 12 4 71 57 40 35 48
1 72 50 73 27 59 37 36 14 74 25 60 38 34 15 2 70 51 44 30 13 8 66 49 80 21 58 5 64 54 77 19 63 41 28 18 78 20 61 42 29 16 6 65 52 40 35 12 4 71 48 76 26 57 9 68 46 81 23 55 45 32 10 79 24 56 43 33 11 7 69 47 39 31 17 3 67 53 75 22 62
3.Pour l’ordre 16, Inder Taneja donne dans ses notes citées ci-dessus des exemples de block-wise magic squares
Analyse complémentaire du 13 décembre 2018
Comme annoncé dans mon précédent email, j’ai approfondi. Le problème est beaucoup plus compliqué que je ne pensais à première vue.
1.Déjà pour l’ordre 4, on trouve 384 solutions (pandiagonales) parmi les 7040 carrés magiques mais on peut trouver des solutions en dehors des carrés magiques, par exemple sur l’ensemble des carrés semi-magiques ou même sur l’ensemble des matrices 4x4 comme :
01 04 05 08 13 16 09 12 02 03 06 07 14 15 10 11
Cette solution est bien « compacte » (somme des nombres dans tout carré 2x2 constante et égale à 34, la somme magique).
Donc il n’y a pas que les pandiagonaux qui sont solution pour l’ordre 4.
2.Pour l’ordre 9, j’ai donné dans mon mail du 30 novembre 4 solutions qui sont toutes du type « block- wise » (et elles sont toutes magiques et pandiagonales). Mais il n’y a pas que la méthode « block-wise » qui donne des solutions !
2.1 Dans le livre de Jacques Bouteloup « Carrés Magiques, Carrés Latins et Eulériens », on trouve page 116 un carré eulérien ordre 9 et on constate que ce carré est solution car il est en plus « compact 3 » (somme constante dans tout carré 3x3) :
01 11 21 31 41 51 61 71 81
34 44 54 55 65 75 04 14 24
58 68 78 07 17 27 28 38 48
20 03 10 50 33 40 80 63 70
53 36 43 74 57 64 23 06 13
Pour s’en convaincre, on n’a qu’à voir la décomposition de ce carré en 2 carrés élémentaires, décomposition donnée par Bouteloup à la même page 116 :
0.0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 3.6 4.7 5.8 6.0 7.1 8.2 0.3 1.4 2.5 6.3 7.4 8.5 0.6 1.7 2.8 3.0 4.1 5.2 2.1 0.2 1.0 5.4 3.5 4.3 8.7 6.8 7.6 5.7 3.8 4.6 8.1 6.2 7.0 2.4 0.5 1.3 8.4 6.5 7.3 2.7 0.8 1.6 5.1 3.2 4.0 1.2 2.0 0.1 4.5 5.3 3.4 7.8 8.6 6.7 4.8 5.6 3.7 7.2 8.0 6.1 1.5 2.3 0.4 7.5 8.3 6.4 1.8 2.6 0.7 4.2 5.0 3.1
On constate que sur les 49 carrés 3x3, 33 sont eulériens et 16 non eulériens mais conduisant quand même à une somme 369.
Ce carré ordre 9 n’est pas fait avec la méthode « block-wise » mais avec la méthode expliquée par
Bouteloup, laquelle utilise un corps à 9 éléments. Le carré obtenu se retrouve être pandiagonal alors que - comme l’indique Bouteloup – ce n’était pas souhaité au départ. De même, ce carré se révèle « compact 3 » alors que ce n’était pas non plus voulu au départ.
Tous les carrés pandiagonaux ordre 9 ne sont pas compact 3. Par exemple le carré ordre 9 donné par Bouteloup page 63, carré fait avec la méthode de Margossian.
2.2 J’ai recherché d’autres solutions avec un ordinateur et la programmation sous contraintes, plus précisément avec le compilateur F1 qui est en libre accès sur Internet :
http://www.f1compiler.com/
J’ai trouvé beaucoup de solutions (voir annexe), par exemple :
-12 solutions en imposant les 2 premières lignes et la première colonne du carré Wikipédia (cf fichier ci- joint 9x9 Compact3 V1a.txt) : 2 carrés magiques pandiagonaux (n°7 qui est le carré Wikipédia et le n°11) et 10 non magiques
-128 solutions en imposant les 2 premières lignes et la première colonne du carré de Bouteloup (cf fichier ci- joint 9x9 Compact3 V1.txt) : a priori 2 carrés sont magiques pandiagonaux (le n°16 qui est le carré
Bouteloup et le carré n°71), « 8 sont semi-magiques (n°23, 27, 29,39,43,45,75,77) »et le reste est non magique
-5 solutions pour une carré compact 3 symétrique en imposant les 6 premiers nombres de la première ligne et en imposant des lignes et des colonnes faites de 3 fois 3 nombres de somme 123 (cf fichier 9x9 Compact3 Sym Plus V1.txt) ; ces 5 solutions sont magiques mais non pandiagonales.
En résumé pour l’ordre 9, on peut trouver des solutions magiques – pandiagonales ou non – aussi bien que des solutions non magiques.
3.Pour l’ordre 16, je ne peux fournir que les exemples donnés par Inder Taneja par la méthode block-wise.
Rechercher d’autres exemples s’avèrerait trop compliqué.
Annexe
-12 solutions en imposant les 2 premières lignes et la première colonne du carré Wikipédia (cf fichier ci- joint 9x9 Compact3 V1a.txt) : 2 carrés magiques pandiagonaux (n°7 qui est le carré Wikipédia et le n°11) et 10 non magiques
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 34 71 23 33 67 19 29 66 73 2 39 81 7 44 77 6 40 59 15 49 55 11 48 63 16 53 72 25 35 68 24 31 64 20 30 37 56 21 45 61 26 41 60 22 50 69 4 46 65 3 54 70 8 36 79 17 32 78 13 28 74 12
___ Solution: 1 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 34 71 23 33 67 19 29 66 73 11 30 81 16 35 77 15 31 59 24 40 55 20 39 63 25 44 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 56 21 45 61 26 41 60 22 50 69 4 46 65 3 54 70 8 36 79 17 32 78 13 28 74 12
___ Solution: 2 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 61 44 23 60 40 19 56 39 73 20 21 81 25 26 77 24 22 59 33 31 55 29 30 63 34 35 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 11 66 45 16 71 41 15 67 50 69 4 46 65 3 54 70 8 36 79 17 32 78 13 28 74 12
___ Solution: 3 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 70 35 23 69 31 19 65 30 73 20 21 81 25 26 77 24 22 59 60 4 55 56 3 63 61 8 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 11 66 45 16 71 41 15 67 50 33 40 46 29 39 54 34 44 36 79 17 32 78 13 28 74 12
___ Solution: 4 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 70 35 23 69 31 19 65 30 73 2 39 81 7 44 77 6 40 59 60 4 55 56 3 63 61 8 72 34 26 68 33 22 64 29 21 37 11 66 45 16 71 41 15 67 50 24 49 46 20 48 54 25 53 36 79 17 32 78 13 28 74 12
___ Solution: 5 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 70 35 23 69 31 19 65 30 73 20 21 81 25 26 77 24 22 59 60 4 55 56 3 63 61 8
___ Solution: 6 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 34 71 23 33 67 19 29 66 73 2 39 81 7 44 77 6 40 59 15 49 55 11 48 63 16 53 72 25 35 68 24 31 64 20 30 37 74 3 45 79 8 41 78 4 50 60 13 46 56 12 54 61 17 36 70 26 32 69 22 28 65 21
___ Solution: 7 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 34 71 23 33 67 19 29 66 73 11 30 81 16 35 77 15 31 59 24 40 55 20 39 63 25 44 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 74 3 45 79 8 41 78 4 50 60 13 46 56 12 54 61 17 36 70 26 32 69 22 28 65 21
___ Solution: 8 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 61 44 23 60 40 19 56 39 73 29 12 81 34 17 77 33 13 59 15 49 55 11 48 63 16 53 72 25 35 68 24 31 64 20 30 37 74 3 45 79 8 41 78 4 50 6 67 46 2 66 54 7 71 36 70 26 32 69 22 28 65 21
___ Solution: 9 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 79 26 23 78 22 19 74 21 73 29 12 81 34 17 77 33 13 59 24 40 55 20 39 63 25 44 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 11 66 45 16 71 41 15 67 50 69 4 46 65 3 54 70 8 36 61 35 32 60 31 28 56 30
___ Solution: 10 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 70 35 23 69 31 19 65 30 73 2 39 81 7 44 77 6 40 59 15 49 55 11 48 63 16 53 72 34 26 68 33 22 64 29 21 37 74 3 45 79 8 41 78 4 50 60 13 46 56 12 54 61 17 36 25 71 32 24 67 28 20 66
___ Solution: 11 __________________________________
1 38 75 9 43 80 5 42 76 14 51 58 10 47 57 18 52 62 27 79 26 23 78 22 19 74 21 73 11 30 81 16 35 77 15 31 59 60 4 55 56 3 63 61 8 72 7 53 68 6 49 64 2 48 37 65 12 45 70 17 41 69 13 50 33 40 46 29 39 54 34 44 36 25 71 32 24 67 28 20 66
___ Solution: 12 __________________________________
-128 solutions en imposant les 2 premières lignes et la première colonne du carré de Bouteloup (cf fichier ci- joint 9x9 Compact3 V1.txt) : a priori 2 carrés sont magiques pandiagonaux (le n°16 qui est le carré
Bouteloup et le carré n°71), 8 sont semi-magiques (n°23, 27, 29,39,43,45,75,77) et le reste est non magique
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 1 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 2 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 3 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 4 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 6 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 7 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 8 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 9 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 10 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70
53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 11 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 12 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 13 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 14 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 15 __________________________________
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34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 17 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 18 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 19 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 20 __________________________________
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___ Solution: 21 __________________________________
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___ Solution: 22 __________________________________
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___ Solution: 23 __________________________________
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___ Solution: 24 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 25 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 26 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 28 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 29 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 30 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 31 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 32 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63
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___ Solution: 33 __________________________________
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___ Solution: 34 __________________________________
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___ Solution: 35 __________________________________
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___ Solution: 36 __________________________________
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___ Solution: 37 __________________________________
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___ Solution: 39 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 40 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 41 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 42 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 43 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70
53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 44 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 45 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 46 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 47 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 48 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 50 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 51 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 52 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 53 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 54 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70
53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 55 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 56 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 57 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 58 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 59 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 61 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 62 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 63 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 76 59 18 25 8 39 46 29
___ Solution: 64 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 65 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63
53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 66 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 67 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 68 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 69 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 70 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 72 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 73 __________________________________
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___ Solution: 74 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 75 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 76 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63
53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 77 __________________________________
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___ Solution: 78 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 79 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 80 __________________________________
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___ Solution: 81 __________________________________
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34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 83 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 84 __________________________________
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___ Solution: 85 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 86 __________________________________
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___ Solution: 87 __________________________________
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___ Solution: 88 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 89 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 90 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 91 __________________________________
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___ Solution: 92 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 94 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 95 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 52 35 66 73 56 15 22 5 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 96 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 97 __________________________________
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___ Solution: 98 __________________________________
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___ Solution: 99 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 100 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 101 __________________________________
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___ Solution: 102 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 103 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 105 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 106 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 107 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 108 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 109 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63
53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 110 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 111 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 19 2 42 49 32 72 79 62 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 112 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 113 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 114 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 116 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 117 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 118 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 119 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 67 60 26 16 9 47 37 30 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 120 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63
53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 121 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 122 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 123 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 43 36 74 64 57 23 13 6 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 124 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 125 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 10 3 50 40 33 80 70 63 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22
34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 78 68 7 27 17 28 48 38 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 127 __________________________________
1 11 21 31 41 51 61 71 81 34 44 54 55 65 75 4 14 24 58 68 78 7 17 27 28 38 48 20 3 10 50 33 40 80 63 70 53 36 43 74 57 64 23 6 13 77 60 67 26 9 16 47 30 37 12 2 19 42 32 49 72 62 79 45 35 52 66 56 73 15 5 22 69 59 76 18 8 25 39 29 46
___ Solution: 128 __________________________________
-5 solutions pour une carré compact 3 symétrique en imposant les 6 premiers nombres de la première ligne et en imposant des lignes et des colonnes faites de 3 fois 3 nombres de somme 123 (cf fichier 9x9 Compact3 Sym Plus V1.txt) ; ces 5 solutions sont magiques mais non pandiagonales.
12 34 77 13 30 80 19 44 60 62 24 37 81 14 28 72 4 47 49 65 9 29 79 15 32 75 16 39 61 23 40 57 26 46 71 6 8 51 64 27 41 55 18 31 74 76 11 36 56 25 42 59 21 43 66 7 50 67 3 53 73 17 33 35 78 10 54 68 1 45 58 20 22 38 63 2 52 69 5 48 70
___ Solution: 1 __________________________________
12 34 77 13 30 80 19 44 60 35 78 10 54 68 1 45 58 20 76 11 36 56 25 42 59 21 43 66 7 50 67 3 53 73 17 33 8 51 64 27 41 55 18 31 74 49 65 9 29 79 15 32 75 16 39 61 23 40 57 26 46 71 6 62 24 37 81 14 28 72 4 47 22 38 63 2 52 69 5 48 70
___ Solution: 2 __________________________________
12 34 77 13 30 80 18 31 74 76 11 36 81 14 28 73 17 33 35 78 10 29 79 15 32 75 16 39 61 23 40 57 26 45 58 20 22 38 63 27 41 55 19 44 60 62 24 37 56 25 42 59 21 43 66 7 50 67 3 53 72 4 47 49 65 9 54 68 1 46 71 6 8 51 64 2 52 69 5 48 70
___ Solution: 3 __________________________________
12 34 77 13 30 80 18 31 74 76 11 36 81 14 28 73 17 33 35 78 10 29 79 15 32 75 16 39 25 59 40 21 62 45 22 56
58 38 27 63 41 19 55 44 24 26 60 37 20 61 42 23 57 43 66 7 50 67 3 53 72 4 47 49 65 9 54 68 1 46 71 6 8 51 64 2 52 69 5 48 70
___ Solution: 4 __________________________________
12 34 77 13 30 80 18 31 74 49 65 9 54 68 1 46 71 6 62 24 37 56 25 42 59 21 43 66 7 50 67 3 53 72 4 47 22 38 63 27 41 55 19 44 60 35 78 10 29 79 15 32 75 16 39 61 23 40 57 26 45 58 20 76 11 36 81 14 28 73 17 33 8 51 64 2 52 69 5 48 70
___ Solution: 5 __________________________________
