1/ En utilisant la remarque précédente, nous montrons qu'une situation de somme maximale est

G234

Situation 1 : . . . b_i b_i+1 . . . b_j−1 b_j . . . oùs₁=b_ib_i+1+b_j−1b_j+s Situation 2 : . . . bi b_j−1 . . . bi+1 bj . . . oùs₂=b_ib_j−1+b_i+1b_j+s En particulier,δ=s₁−s₂= (b_i+1−b_j−1) (b_i−b_j).

Si les deux paires ne sont pas dans le même ordre, alorss₂> s₁.Ainsi dans une situation de somme maximale, toute paire de référence imposera son ordre aux paires de rang de même moyenne, tandis qu'une situation de somme minimale alternera des paires d'ordre opposé.

1/ En utilisant la remarque précédente, nous montrons qu'une situation de somme maximale est . . . n−4 n−2 n n−1 n−3 . . .

Une autre approche est une construction par récurrence : une situation de somme maximale de rangns'obtient à partir d'une situation de somme maxi- male de rangn−1en insérantnentren−1et n−2.

La somme vaut alorsN_n= n(n+1)(2n+1)

6 −2 (n−1) + 1 =^2n3+3n2₆^−11n+18. Chaque enfant aura donck=^N_n.D'où6kentier impliquen|18.Une vérication rapide avec les valeurs 3, 6, 9 et 18 montre quen= 9, N = 270et k= 30.

2/ En utilisant la remarque initiale, nous montrons qu'une situation de somme minimale est :

Casn= 2m+ 1

1 2m 3 2m−2 . . . 4 2m−1 2 2m+ 1 Casn= 4m

2m 2m+ 2 . . . 4m−2 2 4m 1 4m−1 3 . . . 2m−1 2m+ 1 Casn= 4m+ 2

2m+ 2 2m . . . 4m 2 4m+ 2 1 4m+ 1 3 . . . 2m+ 3 2m+ 1 Pourn= 9,la situation 1 8 3 6 5 4 7 2 9 de somme 169 au- rait permis une économie de270−169 = 101macarons par rapport à la situation

1 3 5 7 9 8 6 4 2 . Webographie :

Suite A110610 Suite A110611

Source de la question 1 : Putnam 1996 B3

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