1. utilisation de primitives connues : A =

mathématiques - S1

TD 4 : Intégrales - corrigé

département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble

exercices théoriques

Calculer les intégrales ci-dessous par les méthodes indiquées.

1. utilisation de primitives connues : A =

Z

1

0

√ 3x dx, B = Z

1

0

2dx

x

²

+ 1 , C = Z

1

0

√ xdx x

²

+ 1 , D =

Z

^sinθ

0

√ dx

1 − x

²

, E = Z

⁴

2

√ dx

x

²

− 1 , F = Z

⁸

1

dV

V

^γ

(γ > 0).

corrigé succinct : A:primitive²₉(3x)^3/2, A= 2/√

3 ; B:primitive2 arctanx, B=π/2 ;

C:primitive√

x²+ 1, C=√

2−1 ; D:primitivearcsinx,

D=θsiθdans[−π/2;π/2] ;

E:primitive argchx= ln(x+√

x²−1), donc E= ln(4 +√

15)−ln(2 +√ 3).

F:siγ6= 1, une primitive est V^−γ+1

−γ+ 1donc F= 8^−γ+1−1

−γ+ 1 . siγ= 1, une primitive estln(V)donc F= ln(8)

2. intégrations par parties : A =

Z

X

1

ln x dx, B = Z

π/2

0

x cos x dx, C = Z

¹

0

x

²

e

^x

dx, D =

Z

π/2

0

(3x

³

− 2x) cos x dx, E = Z

1

0

e

^x

cos(2x) dx, F =

Z

1

0

dx (1 + x

²

)

²

.

corrigé succinct :A:avecu^′(x) = 1etv(x) = lnxon trouve A=XlnX−X+ 1.

B:on intègre par parties en dérivantxen 1 et en primitivantcosxensinx.

Rπ/2

0 xcosxdx= [xsinx]^π/2₀ −Rπ/2

0 sinxdx= [xsinx]^π/2₀ −[−cosx]^π/2₀ . Ainsi, C=π/2−1.

C:avecu^′(x) =e^xetv(x) =x², on trouveC=e−2R1

0 xe^xdx, et une nouvelle intégration par parties donne C=e−2.

D:avec trois intégrations par parties successives, où l’on dérive le polynôme et primitive le cosousin, on trouve D= 3π³/8−10π+ 20.

E:on peut intégrer deux fois par parties en primitivant à chaque fois l’exponentielle et en dérivant le sinus.

Ainsi,E= [e^xcos(2x)]¹0+ 2R1

0 e^xsin(2x)dx= ecos(2) + 2([e^xsin(2x)]¹₀−2R1

0 e^xcos(2x)dx) =ecos(2)−1 + 2esin(2)−4E, et donc finalement5E=ecos(2)−1 + 2esin(2), donc E= ecos(2)−1 + 2esin(2)

5 .

F: on part deI=R1 0

dx

1 +x² =π/4que l’on intègre par parties, en dérivant la fraction et en primitivant 1. On obtient alorsI= 1/2 + 2R1

0

x²

(1 +x²)² = 1/2 + 2I−2F(en remarquant quex²=x²+ 1−1).

Par conséquent,2F=I+ 1/2 =π/4 + 1/2donc F=π/8 + 1/4.

3. changements de variables : A =

Z

π/4

0

cos

²

θ sin θ dθ, B =

Z

x

0

dt 2t

²

+ 1 , C =

Z

π/2

π/4

cos θ dθ

(1 + cos θ) sin θ , D = Z

1

0

x

³

e

^x2

dx, E = Z

π/4

0

tan x dx.

(pour A on posera x = cos θ, pour B, y = √

2t, pour C, t = tan

^θ₂

,

pour D, y = x

²

, pour E, y = cos x)

corrigé succinct :A:en posantu= cosθ,du=−sinθ dθ,cos²θ=u², et donc A=R^√2/2

1 −u²du: A=4−√ 2 12 . B:en posanty=√

2ton ady=√

2dtetB= 1

√2 R^√2x

0

dy y²+ 1, B= arctan(√

√ 2x)

2 .

C:on poset= tanθ/2. Alorsdt= ¹₂(1 +t²)dθ, doncdθ= 2dt/(1 +t²). De plus, cosθ= 1−t²

1 +t²,sinθ= 2t

1 +t², et doncC= Z 1

tanπ/8

1−t²

2t dtaprès simplification.

Ainsi,C=¹₂[lnt−t²/2]¹_tanπ/8. Mais siu= tanπ/8,tan^π₄ = 2u

1−u² doncu=√

2−1, et finalement

C=1−√

2−ln(√ 2−1)

2 .

Dil faut enchaîner le changement de variable puis une intégration par parties. Au final l’intégrale vaut1/2.

4. décomposition de fractions rationnelles en éléments simples : A =

Z

²

1

x

²

+ 1

x

²

+ x dx (mettre la fraction sous la forme 1 +

^α_x

+

_x^β₊₁

) B =

Z

1

0

2x dx

(x + 1)(x

²

+ 1) (mettre la fraction sous la forme

_x+1^α

+

βx+γ x²+1

)

corrigé succinct :A:par identification on trouvex²+ 1

x²+x= 1 + 1 x− 2

x+ 1, donc une primitive de la fonction intégrée sur[1,2]estx+ lnx−2 ln(x+ 1), et par conséquent

A= 1 + 3 ln 2−2 ln 3.

B:par identification on trouve 2x

(x+ 1)(x²+ 1) = −1

x+ 1+ x+ 1

x²+ 1, donc une primitive de la fonction intégrée sur[0,1]est−ln(x+ 1) +¹₂ln(x²+ 1) + arctanx, et donc

B= π 4 −ln 2

2 .

5. linéarisation de polynômes trigonométriques :

A = Z

π/3

0

sin θ cos θ dθ, B =

Z

π/4

0

sin

³

θ dθ, C =

Z

π/4

0

cos

²

θ sin θ dθ, D =

Z

π/2

0

cos

⁴

θ dθ.

corrigé succinct :A=¹₂Rπ/3

0 sin 2θ dθdonc A= 3 8. On sait (revoir le cours sur les nombres complexes) quesin³θ= ¹₄(−sin 3θ+ 3 sinθ), et

par conséquent on calcule B=2 3−5√

2 12 .

On linéarisecos²θ sinθ= ¹₄(sin 3θ+ sinθ), donc C=1 3−

√2 12.

On sait quecos⁴θ= cos 4θ+ 4 cos 2θ+ 3

8 , et donc D=3π

16. (revoir la feuille de TD sur la trigonométrie)

6. intégrales généralisées : A =

Z

+∞

1

dx

x

²

, B =

Z

1

0

√ dx x , C = Z

+∞

1

dx x(x + 1) , D =

Z

^+∞

1

dx

x(x

²

+ 1) , E = Z

^+∞

0

e

^−x

sin x dx, F = Z

^+∞

0

re

^−r2

dr.

corrigé succinct : A= [−1/x]⁺₁^∞= 1, B= [2√x]¹₀= 2, C= [lnx−ln(x+ 1)]⁺₁^∞= [ln x

x+ 1]⁺₁^∞donc C= ln 2 (on regroupe les deux logarithmes pour éviter une forme indeterminée),

D= [lnx−¹2ln(x²+ 1)]⁺₁^∞, D=ln 2 2 .

E=im(R+∞

0 e^(−1+i)xdx) =im([e^(−1+i)x

−1 +i ]^+∞₀ ) =im( −1

−1 +i), E= 1 2,

F= [e^−r2

2 ]^+∞₀ = 1 2,

2

exercices pratiques

1. loi normale : Une variable aléatoire X suit une loi normale de para- mètres µ et σ

²

si et seulement si, pour tout x réel,

p(X < x) = 1 σ √

2π Z

x

−∞

e

^{−(t−2σµ)22}

dt.

On admet que l’intégrale de Gauss R

^+∞

−∞

e

^−r2

dr vaut √

π (voir TD S2).

(a) Calculer l’espérance E(X) = 1 σ √

2π Z

^+∞

−∞

te

^{−(t−2σµ)22}

dt et la va- riance Var(X) = 1

σ √ 2π

Z

^+∞

−∞

(t − E(X))

²

e

^{−(t−µ)22σ2}

dt de cette loi.

(b) Si k est un réel fixé quelconque, montrer que Y = X/k suit une loi normale de paramètres µ/k et σ

²

/k

²

.

corrigé succinct : (a) Dans l’expression deE(X), on effectue le changement de variableτ = t−µ, alors

E(X) = 1 σ√

2π Z +∞

−∞

(τ+µ)e⁻2^τ2σ2dτ. L’intégrale 1

σ√ 2π

Z +∞

−∞

µe⁻2^τ2σ2dτvaut µ σ√

2π Z +∞

−∞

e⁻2^τ2σ2dτ. Si on effectue un nou- veau changement de variableτ =√

2σ rl’expression vaut alors

√2σµ σ√

2π Z +∞

−∞

e^−r2dr soitµ.

D’autre part, l’intégrale 1 σ√π

Z +∞

−∞

τ e⁻

τ2

2σ2dτ vaut (par utilisation de primitive) [ 1

σ√

π × −σ²×e⁻2^τ2σ2]^+∞_−∞autrement dit 0 !

Finalement on trouveE(X) =µ+ 0 =µ.

De la même manière on montre que Var(X) =σ². (b) On cherche la loi deY =X/k.

Alorsp(Y < x) = p(X ≤kx) = 1 σ√

2π Z kx

t=−∞

e⁻ (t−µ)²

2σ² dt(on applique juste la relation précédente en remplaçantxparkx).

On poset=kuouu=k/tdans l’intégrale (et donc dt=kdu, du=kdt) : Ainsi après changement de variablep(Y < x) = 1

σ√ 2π

Z x u=−∞

e⁻

(ku−µ)² 2σ² kdu=

k σ√

2π Z x

u=−∞

e⁻

(u−µ/k)²

2σ²/k² du(dans l’exponentielle on divise numérateur et dénomi- nateur park², et par ailleurs on fait sortir lekapparu au côté de dude l’intégrale), donc finalementp(Y < x) = 1

σ/k√ 2π

Z x u=−∞

e⁻

(u−µ/k)² 2(σ/k)² du.

On est revenu à la définition ci-dessus de la loi normale : cela signifie exactement queY suit une loi normale de paramètres d’espéranceµ/ket d’écart-typeσ/k.

2. Calculer la valeur moyenne des courants de période T suivants : signal sinusoïdal : i

1

(t) = I

0

sin

²_T^π

t

signal sinusoïdal redressé simple alternance : i

2

(t) =

I

0

sin

²_T^π

t si kT ≤ t < kT + T /2, 0 si kT + T /2 ≤ t < (k + 1)T, signal sinusoïdal redressé double alternance :

i

3

(t) =

I

0

sin

²_T^π

t si kT ≤ t < kT + T /2,

− I

0

sin

²_T^π

t si kT + T /2 ≤ t < (k + 1)T,

corrigé succinct : On veut calculer les 1 T

RT

0 i(t)dt. On trouve respectivement 0,I0

π et2I0

π .

3