1 S TD 14 : Trigonométrie 2015-2016

1 S TD 14 : Trigonométrie _2015-2016

I Encore un problème d’optimisation

~i

~j O

r θ

bcbc

bc bc

bc

B C

A Q

La situation est celle de la figure ci-contre : B est un point du quart de cercle Q

.

1. Quelles sont les coordonnées du point B ?

2. Exprimer le périmètre du rectangle ABCO en fonc- tion de r et de θ.

3. Prouver, en utilisant une formule d’addition, que sin(θ) + cos(θ) = √

2 cos θ − π

4 .

4. En déduire que le périmètre du rectangle est maximal si, et seulement si, cos

θ − π 4

est maximal.

5. Pour quelle valeur de θ, cos θ − π

4

est-il maximal ? (raisonner sur le cercle trigonométrique)

6. Quel est le périmètre maximal du rectangle ABCO ? 7. Le périmètre peut-il être égal à r √

6 ?

II Calculs trigonométriques

Montrer que les expressions A , B et C sont indépendantes de x.

• A = (cos(x) + sin(x))

+ (cos(x) − sin(x))

;

• B = sin

(x) − cos

(x) + 2 cos

(x) ;

• C = (a cos(x) − b sin(x))

+ (b cos(x) + a sin(x))

. (a, b) ∈ R

III Équations, inéquations et autres

• Résoudre dans l’intervalle ] − π; π], l’inéquation − 2 cos(x) > √ 2 ;

• Résoudre le système :







3 sin(x) − 2 sin(y) = 5

2 sin(x) + 3 sin(y) = − 1 , avec x ∈ [ − π; π] et y ∈ [0; 2π].

• x ∈ [ − π; π]. Préciser l’ensemble de définition de la fonction définie par f (x) = p

2 cos(x) − 1

IV Balistique

Si l’on fait abstraction des frottements de l’air et de la résistance de l’air, la trajectoire d’un obus, lancé d’un point O, avec une vitesse initiale v, suivant un angle d’inclinaison α par rapport à l’horizoontale est la parabole d’équation

y = − g

2v

cos

(α) x

+ tan(α)x , où g est l’accélaration de la pesanteur (g ≈ 9, 81m.s

) et tan(α) = sin(α)

cos(α) , 0 6 α 6 π 2 . La portée est la distance de O au point d’impact de la trajectoire avec l’horizontale.

1. Calculer la portée en fonction de v et de α.

2. Pour quelle valeur de α la portée est-elle maximale ?

Aide : On pourra déterminer le maximum de cos

(α) sin

(α) en remarquant que la somme est constante et vaut 1.

Lycée Bertran de Born - Périgueux 1 sur ??