H135. Vaine polémique
Dans ce pays, les huit mégapoles régionales sont reliées entre elles deux à deux par un réseau de routes directes. Malgré l'absence de carrefours, les accidents sont si nombreux que les pouvoirs publics annoncent leur intention de mettre toutes les routes à sens unique. Une polémique éclate sous prétexte que la longueur des trajets sera considérablement allongée. Montrer que cette polémique est vaine en proposant un plan de circulation dans lequel pour aller d'une ville
quelconque à une autre avec un réseau de routes à sens unique, on passe au maximum par une autre ville.
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Solution proposée par Claudio Baiocchi
Historique:
à la suite des polémiques, les pouvoirs publics annoncent que (tout en respectant la promesse: pour aller d'une ville quelconque à une autre on passe au maximum par une autre ville) seulement 24 routes seront mises à sens unique; les autres 4 routes resteront à double sens de circulation mais seront transformées en piste-vélo.Notations:
on va utiliser l'arithmétique modulaire; en particulier on dénombre les villes avec les nombres de 0 à 7 et, pour k>7, la "ville #k" coïncide avec la ville dont le numéro est k MOD 7.Stratégie:
on crée trois groupes de huit routes à sens unique: pour y=2, 3 et 7, et pour tout x entre 0 et 7, dans la route joignant les villes x et x+y on fixe comme sens de circulation celui qui mène de la ville x à la ville x+y. En particulier ces 24 routes à sens unique permettent en deux étapes d'aller de la ville x à:– la ville x+1 (étape au choix en x+7 ou en x+2);
– la ville x+4 (étape à x+2);
– la ville x+5 (étape au choix en x+2 ou en x+3);
– la ville x+6 (étape au choix en x+3 ou en x+7).
Remarque finale:
les routes de x à x+4 ne sont pas utilisées (il s'agit de 4 routes seulement...); par ailleurs, pour aller de x à x+2 on a trois possibilités: directement, bien sûr, mais aussi faisant étape à x+7, ou bien à x+3.
