Vaine polémique
Problème H135 de Diophante
Dans ce pays, les huit mégapoles régionales sont reliées entre elles deux à deux par un réseau de routes directes. Malgré l'absence de carrefours, les accidents sont si nombreux que les pouvoirs publics annoncent leur intention de mettre toutes les routes à sens unique. Une polémique éclate sous prétexte que la longueur des trajets sera considérablement allongée. Montrer que cette polémique est vaine en proposant un plan de circulation dans lequel pour aller d'une ville quelconque à une autre avec un réseau de routes à sens unique, on passe au maximum par une autre ville.
Solution
Le plan ci-dessous répond à la question.
En effet, les chemins AB, AF, AG, ABC, AGD, AGE et AGH relient A aux sept autres villes et, par permutation circulaire, une ville quelconque est reliée aux autres, en au plus deux étapes.
Cette solution a été obtenue à partir de deux idées :
- donner à chaque ville le même rôle, par une permutation circulaire ; - refermer les triangles autant que possible, pour éviter de relier U à W directement alors qu’existent les liens UV et VW.
Ainsi, une fois placées les flèches rouges, les flèches vertes referment deux flèches rouges et aussi deux flèches violettes, mises après coup.
Dans cette solution, les sens uniques sur AE, BF, CG, DH ne sont pas précisés ; ils peuvent être choisis arbitrairement.
