H135: Vaine polémique
Dans ce pays, les huit mégapoles régionales sont reliées entre elles deux à deux par un réseau de routes directes. Malgré l'absence de carrefours, les accidents sont si nombreux que les pouvoirs publics annoncent leur intention de mettre toutes les routes à sens unique. Une polémique éclate sous prétexte que la longueur des trajets sera considérablement allongée. Montrer que cette polémique est vaine en proposant un plan de circulation dans lequel pour aller d'une ville quelconque à une autre avec un réseau de routes à sens unique, on passe au maximum par une autre ville.
Plus généralement soit un réseau de n villes: cherchons par récurrence les valeurs de n telles que l’on peut les relier par des routes à sens unique possédant la propriété P(n) à savoir que l’on peut aller d’une ville quelconque à une autre en passant au maximum par une autre ville. Nous désignerons les villes par des chiffres 1, 2,..., n, et la route reliant i à j par (i, j).
La propriété P(2) est évidemment fausse; P(3) est vraie: avec (2,3) (3,1) (1,2).
Si P(n) est vraie, P(n+2) est vraie: en effet, il suffit de tracer (n+1, n+2), un faisceau allant à n+1, et un partant de n+2: (i,n+1) et (n+2,i) pour 1≤i≤n.
Si P(n) est vraie, P(n+3) est vraie : on trace (n+1, n+2), (n+1, n+3), (n+2, n+3), un faisceau allant à n+1 et un autre partant de n+3: (i, n+1), (n+3, i) pour 1≤i≤n, enfin deux routes de sens opposé passant par n+2: (1, n+2), (n+2,n) par exemple, les autres routes passant par n+2 ayant un sens indifférent.
Il en résulte que P(n) est vraie pour n=3, et tout n≥5, donc ici pour n=8.
