Écoulements non-newtoniens

SOCIÉTÉ HYDROTECHNIQUE DE FRANCE SOCIÉTÉ FRANÇAISE DE FILTRATION

Colloque d'hydrotechnique - 20 et 21 novembre 1985

Transfert de matière et hydrodynamique dans les procédés de séparation par membranes

Écoulements non-newtoniens

Non-newtonian flows

D. Bellet R. Gaudu

Institut de mécanique des fluides Toulouse

En liaison avec le sujet général du colloque, des notions générales de rhéologie sont tout d'abord présentées; elles mettent en évidence les relations qui peuvent exister entre contraintes, déformations et vitesses de déformations de la matière ainsi que l'histoire des sollicitations appliquées.

Les différents modèles classiques de comportements rhéologiques des fluides sont ensuite répertoriés avec les méthodes de mesures rhéométriques utilisées pour caractériser ces comportements. Il s'ensuit une classification des fluides utile à la prévision de leur contribution aux transferts dont ils sont le siège.

Une distinction est effectuée enfin entre les écoulements

à

grande échelle et les aspects microrhéologiques relatifs aux canaux fins intervenant dans les procédés de séparation, en microfiltration et dialyse.

In conjunction with the general subject of the conference, general notions concerning rheology are first of ail put forward. They reveal the relationships which may exist amongst stresses, deformations and deformation speeds of the matter, as weil as a chronological account of the stresses applied.

The various traditional models of rheological properties of fluids are then listed, together with the rheometrical measurement methods used for characterizing these properties. This results in a classification offluids, a classification which enables their contribution to the transfers, of which they are the recipient, to be assessed.

Finally, a distinction is made between the large-scale flows and the microrheological aspects relating to fine channels occuring in the separation processes, in microfiltration and dialysis.

LA HOUILLE BLANCHE/N"7/8-1986

Article published by SHF and available at http://www.shf-lhb.org or http://dx.doi.org/10.1051/lhb/1986051

I. NOTIONS GENERALES DE RHEOLOGIE A. Introduction-Définition

Les comportements mécaniques idéalisés, tels que le comportement "solide parfaiter,lent élas-

tique" introduit par HOOIΠou le comportement

"liquide parfaitement visqueux" défini par NEW- TON, reflètent parfois assez bien la réalité dans le cas de certains matériaux, sousmis à certaines sollicitations, pour que l'on puisse les accepter sans grand risque d'erreur. Mais, en fait, tous les corps manifestent à des de- grés divers toutes les formes de comportements;

situer le comportement rhéologique d'un maté- riau au milieu de ce large spectre, revient à mettre en évidence son caractère dominant et les influences directes sur les déformations ou écoulements dont il sera le siège. On doit nuter, à ce sujet, que ce n'est pas le maté- riau lui-même qui peut être caractérisé pour une appréciation rhéologique mais seulement son comportement lié à certaines sollicitations bien définies auxquelles il est soumis.

La Rhéologie ou "Science des écoulements ou déformations" de la matière a pour objectif l' étude de toutes ces formes variées de comporte- ments mécaniques et vise ,à caractériser les ré- ponses mécaniques d'un matériau donné au milieu de ce spectre. Les frontières de la Rhéologie sont conventionnelles en fonction des limites adoptées pour définir le spectre des comporte- ments ; mais, quelles que soient ces limites , cette discipline scientifique peut être consi- dérée sous deux aspects :

. ~~_~~~~!~gi~_~~2~Ei~~~~~!~_~~_2~~~~~~~~:

!~gig~~ consiste à déterminer qualitativement puis quantitativement les dGformations des corps réels sous l'action des sollicitations de natu- res diverses. Ces propriétés rhéologiques des- criptives étant connues pour des conditions ex- périmentales parti~ulières,il s'agit de les u- tiliser pour prévoir leurs réactions dans des conditions souvent très différentes, celles re- latives à leur emploi réel.

. ~~_~~~~!~gi~_~~~~Eig~~ revient à dévelop- per les relations de simple proportionnalité en- tre tenseurs de contraintes E, de déformations infinitésimales

S

et de vitesses de déformations

~ établies en Mécanique classique des milieux continus, et à les remplacer par des lois linéai- res plus complexes mais dont la valeur représen- tative est plus large. Mais la validité, concer- nant le domaine couvert,et la précision de tel- les lois linéaires est encore trop limitée, ce qui conduit à considérer des théories non li - néaires ; de la sorte il est possible de carac- tériser des milieux continus variés et d'expli- quer l'origine, la nature et les effets de com- portements non newtoniens de fluides qu'ils soient inélastiques, comme dans le cas de com- portements ostwaldiens, ou viscoélastiques pour lesquels la variable temps et l'effet de mémoi- re jouent un rôle prépondérant.

L'idéal serait bien sûr de parvenir à cons- truire des lois régissant le comportement des milieux à partir des lois microscopiques de la Physique du discontinu et en les intégrant sui- vant un processus stochastique approprié. Mal- heureusement, les satisfactions obtenues dans

cette voie sont encore bien rares.

B. Modélisation t1athématique-l'rinci~fon-

dâ~ë~ta~x--"----

- - - - - - -

L'experlence montre que chaque milieu con- tinu obéit à des lois de comportement liant le tenseur de contraintes E aux tenseurs de dé- formations

S

= Sym grad Ûet de vitesses de déformat ions ~ = Sym grad

V.

La loi fondamenta-- le de la dynamique implique que E soit symétri- que ( E = ET), ce qui entraîne que les lois de comportement rhéologique fournissent six éc;:ua- tions scalaires liant les six comP9santes stric tes de E aux trois composantes V¹ de la vi- tesse d'une particule dans l'espace à trois di- mensions et à la masse volumique p du matériau.

Pour que ces lois soient utilisables, il est nécessaire de les schématiser etd'a~fec­

ter aux résultats obtenus expérimentalement un modèle math~matiquequi soit à la fois simple et qui rende bien compte du comportement rhéo- logique du milieu soumis à des sollicitations variées.

L'emploi du calcul tensoriel et du calcul symbolique permet de vaincre de nombreuses dif-·

ficultés dans cette formulation et fournit une grande quantité d'informations en particulier pour les milieux isotropes. La forme des équa- tions de comportement d'un matériau n'est pas entièrement arbitraire: en plus de l'homogé- néité dimensionnelle, ces relations doivent sa- tisfaire aux principes de la Thermodynamique,à des conditions nécessaires de stabilité des équilibres à certaines conditions d'invariance par changement de repère.

- les conditions nécessaires de stabilité des équilibres sont propres à chaque problème particulier ; un problème physiquement raison- nable doit avoir une solution physiquement rai- sonnable. Ainsi, l'ensemble des équations de la dynamique, de continuité et le modèle rhéologi- que doivent assurer l'unicité et la stabilité des solutions.

- Principes fondamentaux

Invariance tensorielle les éCjllatior,s de comp~~të~ë~t-d~I~ë~t-p~~~oirêtre écrites sous forme indépendante de l'orientation des axes du repère de référence ce qui implique que les grandeurs intervenant dans ces relations soient tensorielles. Entre autres, ce principe indique que la réponse possible d'un corps due à une cause donnée ne dépend que de la di:1en- sion de l'espace considéré (TRUESDELL).

~~~2~~~_~~~_~~~EEi~~_~~_!~_~~Ei~E~:dans un changement de repère respectant l,-,s symé'- tries de la matière, les tenseurs matériels ne doivent pas changer et les équations de compor- tement doivent rester satisfaites en faiE3nt subir aux tenseurs propriétés physiques seuls le changemen t de coordonnées. Le maximum de 'sy- métrie se présente lorsque la matière est iso- trope et alors les composantes des tenseurs ma- tériels ne doivent pas être modifiées quelle que soit la rotation du repère effectuée. Ils sont dits tenseurs isotropes.

~Fi~~~Pre.5(~!!i~~Üyi~~_~~_~:i~~gHE~!!~~

~:,t!:n,~._!~: les équations de comportement doivent être indépendantes du mouvement de l'ob- servateur. De ce fait, pour être en accord avec ce principe les équations rhéologiques doivent

1. Viscosité en cisaillement -- ---

A. Caractéristiques rhéologiques usuelles II. MODELES RHEOLOGIQUES SIMPLES ET CLASSIFI-

CATION DES FLUIDES

réel avec

La contrainte de cisai}

lement lxl est liée au taux de clsaillement :

dVx

Yxy =~

cos wt

avec 1xy0 complexe n~ est alors définie par

cos wt

- n

~

- i nI!

eiwt

Y• 0_xy

= n'

1ji (y) = 1

1ji (y) = 2

Re [ yO xy

n~

La contrainte de cisaillement étant no-

• 2

Y

_xy

~~ ~~~~~~~E~_~~~P!~~~

Cette viscosité caractérise le comporte- de la solution en régime dynamique.

Posons : deuxième coefficient

1yy

tée :

1xy

néralement de la température.

La viscosité, ainsi considérée, constitue une notion simple et n'est malheureusement pas significative du comportement rhéologique de nombreux fluides, qui ne suivant pas la loi de NEWTON sont dits "non newtoniens". En effet,un grand nombre de fluides ont une structure molé culaire complexe et manifestent de ce fait des propriétés d'écoulement originales. Il n'est plus possible de définir pour eux de viscosité au sens classique, car cette propriété évolue avec les conditions de sollicitations;elle est alors une fonction du tenseur des contraintes voire même du temps d'application c'est-à-dire de l'histoire de l'écoulement.

lxy - ny xy

Le coefficient viscosimétrique n (y) caractérisera le comportement en écoulement de cisaillement permanent.

2. Différences de contraintes normales

- -

---

Re [^{1 0} e iwt

"'Y La viscosité la relation

Cette différence de contraintes normalffi conduit à la définition de deux coefficients :

premier coefficient de contrdintes normales

1 - 1

xx yy

• 2

Y_xy

de contraintes normales

- 1 zz

d'où ment

Re -(n'-in") Yxy (cos wt• 0 + i sinw t) ] -n'coswtyO -n"sinwtyO

xy xy

Expression dans lqquelle le premier ter- me apparaît en phase avec le taux de cisaille- ment

avec d'où

1xy D. Le comportement non newtonien

souvent être formulées par rapport à un repère di t "convec ti f" qui se déplace et se ,~éforl'1e

avec le milieu auquel elles se rapportent.

C. Classification rhéologique des corps Il est possible de classer les milieux cort- tinus à partir de leurs propriétés élastiques visqueuses voire plastiques, de leur comporte- ment linéaire ou non ou encore de leur caract~

re solide ,liquide ou piteux. Ainsi,on peut dir tinguer :

- les solides élastiques pour lesquels existe une relation univoque en chaque point entre L et

s;

si elle est linéaire il ~'agit

de solide de HOOKE ;

- les liquides visqueux : le temps joue ici un grand rôle et u~e relation univoque lie en chaque point L et

S .

si la relation est linéaire, le comportement est dit NEWTONIEN et NUN··NElrrONIEN dans le cas contraire ;

- les corps viscoélastiques manifestent en proportions équivalentes des effets élasti- ques et visqueux à chaque instant et en tout point du milieu. Cela se traduit par une rela- tion liant L à

S

et

t;

l'effet élastique ou visqueux pouvant être prépondérant, il.y a une manifestation de phénomènes caractéristiques

tels que la relaxation des contraintes 0U le fluage des déformations.

- les plastiques peuvent accuser une dé- formation penmanente en certains points propre aux corps visqueux à partir d'un seuil de con- trainte au dessous duquel ils manifestent une reversibilité élastique des déformations.

Cette énumération doit être complétée en re- marquant qu'il est souvent utile de conjuguer un certain nombre de ces comportements de base pour accéder à une rr-présentation plus fine des propriétés rhéologiques de tel ou tel corps.

La viscosité d'un fluide est qualitativement définie comme étant la résistance à l'~coule­

ment de ce fluide . Pour provoquer un tel écou- lement, une force doit être exercée sur le flui de de façon à ce que les forces visqueuses d' attraction mutuelle entre molécules soient sur- passées et que ces molécules puissent se dépla- cer les unes par rapport aux autres. Naturelle- ment, pour des forces appliquées données plus grandes sont les forces intermoléculaires et plus grande est la viscosité du fluide.L'aspect quantitatif a pour fondement la loi de NEWTON :

"Les gradients de vi tesse dans un fluide en mot'.

vement sont proportionnels aux contraintes de cisaillement dont il est le siège".

Ce coefficient de proportionnalité .est la fluidité du fluide, mais on a l'habitude de prendre en compte son inverse nommé viscosité dynamique

n.

La loi de NEWTON s'écrit donc:

1 =

n---.ry

du

Les fluides suivant cette loi ont un compor' 'tement visqueux "parfait" et sont dits "newto- niens". Ils sont caractérisés par une

lOCïi-

néaire de déformation en fonction de l'effort appliqué, et leur viscosité, définie sans ambi- guïté, est indépendante du taux de cisaillement durant lequel ils y sont soumis mais dépend gé-

n' correspond donc ^à la viscosité dynamiqüe C. Comportement en cisaillement

e" =wn' A la place de la viscosité complexe, on utilise parfois le module de cisaillement com- plexe

d'où les deux relations C'

=wn"

Le deuxième terme est en opposition de phase.

n" correspond donc à la contribution élasti·

que.

La viscosité décroît lorsque le gradient de vitesse augmente.

Les substances ayant un tel comportement sont nombreuses :

solutions de polymère,suspensions,dispersions, matières plastiques fondues, peintures, colles.

adhp.sifs, laque, etc.

Ce changement de viscosité est dû, en général, à une modification de la structure.

Exemple : comporteë~nt d'un liquide newtonien contenant des macromolécules rigides (baton- nets).

Les forces hydrodynamiques ont tendance à orienter les macromolécules dans le sens de l'écoulement. Le mouvement brownien s'offre à cette orientation. Plus la vitesse augmente,

(donc le taux de cisaillement

y

y)' plus les molécules s'orientent et plus ïe frottement des molécules (donc la viscosité) diminue.

Un comportement pseudo - plastique eSt nviscosité est une constante propre à la ma-

tii}re.

Cette constante est fonction de la tempéra- ture et de la pression.

!..n[l!!..e!!-cf!.- de !:a_tf!.-me.é!'.-a~JA!'.-e

Pour les liquides, il y a diminution de viscosité lorsque la température augmente.Pour des huiles de haute viscosité, lA variation peut atteindre 10% par degré. Ceci oblige lors des mesures à utiliser une thermostatisation de haute précision.

Pour les gaz, il y a en général augmenta- tion de la viscosité avec la température.

,!..n[l!!..e!!-c§..tie_l~ e.1"§..s~ion

La viscos1te augmente avec la pression.

Le comportement newtonien est constaté pour l'eau, les huiles minérales, les détergents,les solutions de sucre, les bitumes et verre en fu' sion.

mesure d'une force F ou d'une pression p mesure du couple M

M 1

l r 2 TI h - r2 où M est le moment Mesure du couple M

~

1 1

R..

B. Mesure de la viscosité en cisaillement viscosité de Trouton

v

=

E. x V

=

^{-(r./2).y V}

=

^-(r./2) z

~ y z

où E est le taux d'élongation suppos~ constant.

La vitesse élongationnelle est définie par :

n( r. )

⁽ l_xx

-

lyy) 1 c Si E est petit

n

³

n

^y 4. Yi~~~~i!~_~!~~g~!i~~~~!!~

I l existe un intérit de plus en plus grand pour l'étude des écoulements élongation- nels ou extensionnels. Ils correspondent par exemple, dans le cas d'une extension uniaxiale à une distribution de vitesse de la forme :

III. ETUDE D'ECOULEMENTS EN CANAUX FINS-:nCRO- RHEOLOGIE.

5.

!~É!~~~~~_~~_!~~E~_~~_~i~~i!!~~~~!

l ..!..

.!.hi.x~t!.0.E.i~.

Dans l'écoulement d'une suspension diluée de particules, les vitesses de translation et de rotation de ces particules sont modifiées près de l'interface fluide -parois. De plus, l'exis' tence de l'interface induit une composante ra- diale (dans le sens paroi axe) à la vitesse des particules. Il en résulte une migration de cel- les-ci situées à proximité de la paroi vers la

?artie centrale du canal. Ce phénomène est ob- servé dans de nombreux cas d'écoulements Ge sus- pensions de particules déformables ou rigides de formes variées. Il convient cependant ce fai-·

re une distinction entre la migration qui se produit dans un écoulement très lent et celle qui a lieu dans un écoulement à des nombres de REYNOLDS Re relativement élevés.

Cas des écoulements très lents :des études de GOLDSMÏTH-;~~~~;-phê~~~ê~~-~~t-~ontré,dans des écoulements à Reb(associés à la particule) d'environ ~ 10-4(Reb = 2pb(U-u)/np .avec U et u les vitesses de translation du fluide de la p~rtic~l~, p et .n p la masse volumique et la V1scos1te du flu1de,b le rayon de la particule)

le phénomène de migration axiale n'apparaît pas pour une particule sphérique rigide ; par con- tre, une goutte déformable se dirige vers l'axe quel que soit Reb' Cette migration a lieu aussi pour des fibres et des filaments flexibles. La vitesse de migration croît avec le débit d'é- coulement et la taille de la particule.

Si on considère les écoulements dans des tu- bes de 15 à 100 ~m de diamètre, la taille des particules n'est plus négligeable vis à vis de la section et il n'est plus possible d'employer les concepts classiques de Hécanique des Milieux Continus. Quatre aspects peuvent alors être re- marqués :

Gl' écoulement est diphasique :un noyau cer.tral riche en particules suspendues est entouré d'un manchon périphérique newtonien sans particules.

- le profil des vitesses est aplati dans la partie centrale.

- la concentration en particules circulant dans le tube est plus faible que celle qui rè- gne dans le réservoir d'alimentation: c'est l'effet FAHRAEUS.

- la viscosité apparente diminue avec le ra··

yon du tube: c'est l'effet FAHRAEUS-LINDQUIST.

~ Migration axiale des particules y

La thixotropie se recon- naît facilement si le rhéogramme forme une bou··

cIe d'hystérésis.

Parmi les susbtances ayant un tel comportement signalons les produits pharmaceutiques et cosmé- tiques, les gels ,les pom"

mades, etc.

Un tel comportement est rare

l-~

"""

~y l _

'~.

y

t::L,

cisaillement repos

souvent représenté par une loi d'OSTWALD T = ^k yn (n < 1)

5.2. !h!.0.E.e~i~.

La viscosité augmente en fonction du temps. Un tel comportement est rare.

4.

~~~E~!!~~~~!_E!~~!iS~~

Un tel comporte~entest

~

fréquent: crèmes, cho-

colat, encre d'imprimerie pates, suspensions à for-

T te concentration.

s • Tout~s ces substances ap- y para1ssent fluides après

un seuil d'écoulement T à partir duquel leur viscosité décroît

lorsqu~

le gradient de vitesse augmente.

Du fait des échelles à considérer mainte- nant, de tels écoulements doivent être étudiés avec l'intervention de nombreux paramètres mé- caniques et physicochimiques. En particulier, on ne peut plus considérer le milieu comme con-

tinu et l'aspect polyphasique doit être pris en compte. D'un point de vue hydrodynamique, ils posent des problèmes spécifiques liés :

- à la rhéologie de la suspen;ion et à la déformation éventuelle des particules - aux caractéristiques mécaniques, struc- turales et géométriques du contenant - aux régimes d'écoulement, pulsés, tran- sitoires, intermittents, instables ,etc.

- aux phénomènes de transfert de masse

~~~_~~~_§~~~!~~~~!~_~_~§~i!_E!~~_g!~~~

__

~ L 1nfluence des effets inertiels n'cst alors plus négligeable. Cette nouvelle migra- tion signalée par EIRICH a été ensuite étudiée quantitativement par SEGRE et SILBERBERG qui ont montré que pour Reb ~ 10- 4 , les particules sphériques rigides vont vers une position d'é- quilibre située à une distance radiale èe 0,63F

à partir de l'axe du tube. Ceci suppose l'e- xistence de forces centrifuges et centripètes qui se compensent approximativement au voisina- ge de cette zone d'équilibre. Il en résulte une accumulation ùe particules dans un manchon in- termédiaire. Cet effet, dit "tubular pinch ef- fect" se produit également pour des particules en forme de tiges ou de disques rigides, mais

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Ed. F.R. EIRICH, vol.5. New York,Academic, n'apparaît pas pour des gouttes ou des fibres

flexibles qui vont systématiquement vers l'axe du tube.

B. Ecoulement périphérique-Profils de vi- tesses

La migration axiale des particules impli- que une inhomogénéité de la concentration dans une section droite du tube. Dans l'écoulement, il se forme globalement un noyau central de con- centration élevée en particules et un manchon périphérique qui en est pratiquement dépourvu.

L'écoulement d'ensemble se fait donc endeux'zo- nes distinctes avec un profil de vitesses apla- ti dans la région centrale du tube. L'importan- ce de la zone d'aplatissement dépend essentiel- lement de trois paramètres : la concentration, le débit et le rapport des dimensions des par- ticules et du tube. Le profil des vitesses est d'autant plus plat que la taille des particules ou la concentration augmente. Cet aplatissement est relativement moins important pour des gout- tes déformables par rapport aux particules ri- gides de même taille.

D'un point de vue purement rhéologique des modélisations fines ont été proposées à partir des théories sur les fluides micropolaires qui ont l'avantage de tenir compte, non seulement de l'écoulement d'ensemble, mais aussi des mi- crorotations des particules. Malgré cela, il subsiste un certain nombre de questions sans réponse nette; ainsi, de nouveaux paramètres peuvent intervenir tels que le rayon de gira- tion des particules ou les paramètres de visco- sité de translation ou de rotation qui, wême s'ils sont connus, ont des influences respecti- ves difficiles à caractériser. Des lois rhéolo- giques fines associées à des modèles diphasi- ques pourraient également être mises à profit pour modéliser les écoulements en canaux fins;

elles pourraient ensuite être utilisées pour déterminer les propriétés d'écoulements au ni- veau des échanges membranaires où la microcir- culation joue un rôle capital.

CONCLUSION

Le panorama qui vient d'être présenté per- met de ranger les milieux continus à l'aide de leur réponse et de leur comportement rhéologi- ques. Mais les comportements réels ne sont en fait que le résultat de la superposition et de l'imbrication des comportements de base, les uns prenant vis à vis des autres des places prépondérantes.

Ce phénomène, conséquence directe de la na-- ture des fluides, dépend également nettement des sollicitations appliquées. Ainsi, les con- clusions, bien que parfois complexes auxquel- les on aboutit, restent souvent très subjecti- ves. Mais n'en est-il pas de même toutes les fois que l'on cherche à schématiser les proces-' sus physiques et à modéliser, grâce à la Mathé- matiQue,les lois de la Nature?

M. APTELsignale que le«tubular pinch effet)} est utilisé dans la modélisation des transferts en microfiltration.

M. BARN/ER rappelle que trois problèmes se posent en rhéo- logie pour les membranes:

les milieux en présence sont multiples . la couche limite

. le milieu rhéologique de la couche limite

et qu'il faut essayer d'inclure ces données dans la construction de modèles même si ce sont des problèmes fort complexes.

M. BELLETdonne l'exemple du sang, liquide hétérogène, qui ne se comporte pas de la même façon suivant le conduit dans lequel il circule. Pour un fluide industriel classique, l'importance de la rhéologie est capitale dans le cadre de la filtration. Et M.

APTELcite alors le cas du blanc d'œuf.

La discussion s'achève par une question de M. AUDINOS sur la part de l'enseignement de la rhéologie dans le secondaire et M.

BELLETdéplore que d'une façon générale, la mécanique trouve une place réduite dans les programmes du secondaire.