Sur quelques problèmes de lubrification par des fluides newtoniens non isothermes avec des conditions aux bords non linéaires. Etude mathématique et numérique

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Sur quelques problèmes de lubrification par des fluides

newtoniens non isothermes avec des conditions aux

bords non linéaires. Etude mathématique et numérique

Fouad Saidi

To cite this version:

(2)

présentée pourobtenir le titre de

DOCTEUR DE l'UNIVERSITÉ JEAN MONNET

SAINT-ÉTIENNE

Spé ialité :

Mathématiques Appliquéeset Appli ations des Mathématiques

Sur quelques problèmes de lubri ation par des

uides newtoniens non isothermes et

in ompressibles ave des onditions aux bords non

linéaires. Étude mathématique et numérique

par

Fouad SAIDI

soutenue le 26 novembre 2004 devant le jury omposé de :

Rapporteurs : Grzegorz ukaszewi z Professeur, IAMM, Varsovie

Guy Bayada Professeur, INSA, Lyon

Examinateurs : You ef Amirat Professeur, LMA, Clermont-Ferrand

Mir ea Sofonea Professeur, LTS, Perpignan

Grigory Panasenko Professeur, EAN, Saint-Etienne

(3)

Introdu tion générale 3

Bibliographie . . . 6

1 Modélisationdel'é oulementnon isothermedesuidesnewtoniens 10 1.1 Équationsgénérales de lamé anique des milieux ontinus . . . 10

1.2 Cas des uides newtoniens . . . 12

2 Existen e et uni ité des solutions faibles 18 2.1 Introdu tion . . . 18

2.2 Des riptiondu problème . . . 19

2.3 Formulationvariationnelle du problème . . . 23

2.4 Étude du problème en vitessepression . . . 27

2.5 Régularitéde u " etp " . . . 33

2.6 Étude du problème en température . . . 49

2.7 Existen e et uni ité des solutions du problème ouplé en vitesse-pression-température . . . 56

2.8 Remarque omplémentaire . . . 62

3 Analyse asymptotique du problème variationnel ouplé 68 3.1 Introdu tion . . . 68

3.2 Changement du domainede référen e . . . 68

3.3 Formulationvariationnelle dans . . . 70

3.4 Estimations . . . 71

3.4.1 Lemmes utiles . . . 71

3.4.2 Premières estimations sur la vitesse et lapression . . . 74

3.4.3 Deuxièmes estimations sur la vitesse etla pression . . . 80

3.4.4 Estimations sur la température . . . 81

3.5 Théorème de onvergen e . . . 84

3.6 Problèmelimite etl'équation généraliséede Reynolds . . . 87

3.7 Uni ité des solutionsdu problème limite . . . 99

4 Approximation du problème limite par une méthode d'éléments nis 109 4.1 Introdu tion . . . 109

(4)

4.2.2 Théorème de onvergen e et résultatde tra e . . . 112

4.3 Approximation du problème limite . . . 116

4.3.1 Dis rétisation des espa es . . . 116

4.3.2 Approximationde lafon tionnelle j . . . 117

4.3.3 Résolutiondu problème dis ret . . . 118

4.4 Convergen e des solutionsappro hées . . . 119

4.5 Estimations de l'erreur d'approximationen fon tionde h . . . 127

5 Problème de l'é oulement non isotherme ave la loi de Coulomb 137 5.1 Introdu tion . . . 137

5.2 Formulationforteet faibledu problème . . . 137

5.3 Théorème d'existen e etd'uni ité des solutionsfaibles . . . 140

5.3.1 L'étudedu problème 5.2.2 . . . 140

5.3.2 L'étudedu problème 5.2.3 . . . 143

5.3.3 Lepointxe global . . . 144

5.4 Étude asymptotique du problème 5.2.1 . . . 150

5.4.1 Estimations a prioriet théorème de onvergen e . . . 150

5.4.2 Problèmelimite etl'équation généralisée de Reynolds . . . 152

5.4.3 Uni ité des solutionsdu problème limite . . . 153

(5)

Lorsque deux surfa es solides en onta t glissent l'une par rapport à l'autre, le frottement (produit par la résistan e des surfa es au mouvement) et l'usure (des-tru tiondu matériaurésultant du frottement)seproduisent.Ces deux phénomènes sont nuisibles pour la majorité des mé anismes soumis au glissement (paliers en parti ulier),ilspeuventêtre presqueentièrementéliminéssil'onempê he le onta t des surfa es en mouvement. Interposé entre deux surfa es frottantes, le lubriant permet de réduire le oe ient de frottement et don l'eort à produire. C'est le domainede lalubri ationdontundes hampsprin ipauxd'appli ationsestl'étude des mé anismes tournants :paliers, joints etengrenages.

L'histoire nous a montré que le développement de la lubri ationest très forte-mentlié à elui des paliers(Fig. 0.1).

Fig. 1 Palier graissé (1970).

(6)

arbre tournant

coussinet

Fig. 2 Palier poreux.

Ces paliers poreux, servent à maintenir l'axe de rotation des petits moteurs, utilisés en parti ulier par lesindustries mé aniques etéle tromé aniques, telles que l'éle troménageretl'automobile(essuiegla e,ventilation,démarreur,lèvevitre,...).

L'étude des problèmes de lubri ation hydrodynamique remonte au élèbre tra-vailde Reynolds[34℄publié en 1886.Il avaitétudié,d'une façon pluttheuristique, l'é oulementen lmmin e sansqu'ildonnelarelationentre sonmodèle etles équa-tions de Navier-Stokes. Cette relation a été donnée formellement par H. G. Elrod [22℄, G.Capriz [17℄ et G.H. Wannier[41℄.

La justi ation mathématique rigoureuse de l'équation de Reynolds pour un é oulement newtonien et appro hant le système de Stokes, a été étudié par G. Bayada etM. Chambat [5℄et G.Cimatti[18℄.Pour leséquations de Navier-Stokes, e problème a été abordé par beau oup de her heurs itons par exemple S. A. Nazarov [31℄; A. Assemien [2℄; A. Assemien, G. Bayada et M. Chambat [3℄; A. Duvnjak et E.Maru²i¢-Paloka[20℄. Cependant, une appro he plus réaliste prenant en ompte quelques propriétés du ara tère non-newtonien du uide a été étudié sous un point de vue mé anique par G. M. Troianiello[40℄; K. Zaheeruddin et M. Isa[42℄etmathématiquepar G.Bayada etG.ukaszewi z[6℄;M.Boukrou he [13℄; M.S.Mostefaï [30℄; F.BoughanimetR.Tapiéro [11℄;A. Mikeli¢etR.Tapiéro [29℄ et A.Duvnjak [21℄.

(7)

Tous es travaux pré édement ités on ernent les modèles stationnaires de Stokes ou de Navier-Stokes dans lesquels l'épaisseur du domaine de l'é oulement et les onditions aux limites ne dépendent pas du temps. Pour le problème insta-tionnaire de Navier-Stokes, l'étude du omportement asymptotique a été faite par G.Bayada,M.ChambatetI.Ciuper a[9℄pourdes onditionsauxlimitesenvitesse et un nombre de Reynolds modéré. Cet étude a été étendue par K. Amedodji, G. Bayada et M. Chambat [1℄ pour des onditions aux limites portant à la fois sur la vitesse et lapression.

Le omportement asymptotique d'un problème oùl'équation de mouvement est oupléeave une équationde typeConve tionDiusion etoùla vis osité du uide est donnée par laloide puissan e oulaloid'Arrhenius,aété étudiépar F. Bougha-nim[12℄.

Pour résoudreleséquations de Stokesoude Navier-Stokes, ilest en général pos-tuléquelavitesseduuideauvoisinagedelaparoisolideestnulle.C'estla ondition lassique de non glissement à la paroi. Cette hypothèse repose sur de nombreuses éviden es expérimentales onduites sur des é oulements à l'é helle ma ros opique, maisellen'estpasréellementappuyéesurdesargumentsphysiquesfortsauxé helles mi ros opiques.Cettesituationaétéàl'originedetrèsnombreusesre her hessurles relationsentreadhésionetfrottementdemolé ulesdeliquideàlasurfa ed'unsolide, depuis letravail de pionnierde Coulomb.Celui- i,à partird'expérien es ayant une faiblerésolution en distan e depuis la paroisolide, avait on lu que la ondition de nonglissementàlaparoidevaitêtrevraie, mêmeauniveaumi ros opique.Plusieurs indi ations, tant expérimentales que déduites des simulations de dynamique molé- ulaire suggèrent ependant la possibilité de glissement à la paroi pour un liquide simple sur une surfa e faiblementattra tive.Connaître et éventuellement ontrler ette ondition aux limites est de toute première importan epratique dans toutes les situationsoù un lm n de uide est isaillé entre deux solides,en lubri ation et parti ulièrement en laminageà froid.

D'autres résultatsen mé aniquedes uides,voirpar exemple[27,28,37,38, 39℄, indiquent que la ondition aux limites d'adhéren e de la vitesse sur lasurfa e laté-rale de l'arbre tournant d'un palier poreux (voir Fig. 0.2) n'est plus respé tée dès que letaux de isaillementdevient assez important10

7 s

1

(8)

la lubri ation, l'équation de Reynolds en lm min e tenant ompte d'un tel phé-nomène de glissemnt semble ne pas avoir été étudiée dans un aspe t quelque peu mathématique jusqu'à ré emment dans [4, 14, 15, 16℄, où l'eet de la température était négligé.

Le but de ette thèse est l'étude du as d'un uide newtonien en lm min e et milieux poreux en présen e de onditions non linéaires de types Tres a, Coulomb sur une partie du bord du domaine, en tenant omptede l'eet thermique.

Dans le hapitre 1, nous rappelons les prin ipes de base de la mé anique des milieux ontinusàpartirdesquelsnousdéduisonsleséquationsquimodélisent l'é ou-lement non isotherme d'un uide newtonien in ompressibleen régime stationnaire dans un domaine ouvert de R

3 .

Dans le hapitre 2, ons'intéresseàmontrerun résultatd'existen e etd'uni ité de lavitesse, de lapressionetde latempératuresolutionsdu problème variationnel ouplé issu du problème modélisé dans le hapitre 1 en présen e d'une ondition non linéaire de type Tres a sur une partie de la frontière du domainemin e

" . La démonstrationde erésultatest baséesurlethéorèmedupointxede Bana h.Pour ela on onsidère deux problèmes auxiliaires.Lepremierest uneinégalité variation-nelle elliptique du se ond espè e en vitesse et pression dont leur existen e et leur uni ité s'obtiennent omme dans [4℄. La régularité de la vitesse dans (H

2 ( " )) 3 et de lapressiondans H 1 ( "

)est obtenue ommedans [35,36℄,ladiéren eest quela vis ositédu uiden'est plus onstante;mais elledépend de latempératurequidoit être dans C

0;1 (

"

).Le deuxième problème est une équationvariationnelleelliptique nonlinéairedontl'in onnueest latempérature.L'existen e, l'uni itéetlarégularité de ette température se démontrent par l'utilisation du théorème du point xe de Bana h en passant par la résolution du problème linéarisé asso ié.

Le hapitre 3est onsa réàl'analyseasymptotiquede eproblème variationnel dénisur

"

.Parlate hniquede hangementd'é helle,onseramèneàun problème variationnel déni sur le domaine xe dont le petit paramètre " apparaît dans les opérateurs. On établit des estimations a priori sur les solutions de e problème et on montre que es solutions admettent des limites fortes. Celles- i vérient e qu'on appelleleproblèmelimite. Onobtientensuiteuneéquationde Reynolds géné-raliséeetonnipardémontrerlerésultatd'uni itédessolutionsduproblèmelimite.

Dans le hapitre 4, l'étudenumérique du problème limite né essite l'introdu -tiond'unélémentniparti ulieradoptépourlesopérateursdénissurV

y

.Ondénit le problème dis ret eton montre sa onvergen e vers le problème limite. On s'inté-resse ensuiteà her her lesestimationsde l'erreurd'approximationsur lessolutions en fon tion du petit pas de dis rétisation.

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[1℄ K.Amedodji,G.Bayada,M.Chambat,On theunsteady Navier-Stokesequations in a time-moving domain with velo ity-pressure boundary onditions. Nonlinear Analysis, vol. 49, no. 4, Ser. A : Theory Methods, pp. 565587,2002.

[2℄ A. Assemien, Comportement asymptotique des équations de Navier-Stokes pour des é oulements de faible épaisseur. Thèse, Université ClaudeBernard, Lyon 1, 1993.

[3℄ A.Assemien,G.Bayada,M.Chambat,Inertialee tsintheasymptoti behavior of a thin lmow. Asymptoti Analysis, vol.9, no. 3,pp. 177208,1994.

[4℄ G. Bayada, M. Boukrou he, On a free boundary problem for Reynolds equation derivedfrom the Stokes system with Tres a boundary onditions. Journal of Ma-themati al Analysisand Appli ations, vol. 282, pp. 212231,2003.

[5℄ G. Bayada, M. Chambat, The transition between the Stokes equation and the Reynolds equation : a mathemati al proof. Journalof Applied Mathemati sand Optimization,vol. 4,pp. 7393, 1986.

[6℄ G.Bayada,G.ukaszewi z,On mi ropolaruidsin thetheoryof lubri ation. Ri-gorousderivationof an analogueof theReynolds equation. InternationalJournal of Engineering S ien e, vol. 34, no. 13, pp. 14771490,1996.

[7℄ G. Bayada, N. Benhabou ha, M. Chambat, Modeling of a thin lm passing a thin porous medium.Asymptoti Analysis, vol.37, no. 3-4, pp. 227256,2004.

[8℄ G. Bayada, N. Benhabou ha, M.Chambat, New models in mi ropolar uid and appli ation to lubri ation. Prépubli ationde laboratoireMAPLY, 2003.

[9℄ G. Bayada, M. Chambat, I. Ciuper a, Asymptoti Navier-Stokes equations in a thin movingboundary domain.Asymptoti Analysis, vol.21,no. 2,pp.117132, 1999.

[10℄ N. Benhabou ha, Quelques problèmes mathématiques relatifs à la modélisation des onditionsaux limitesuide solide pour des é oulements de faible épaisseur. Thèse, UniversitéClaude Bernard, Lyon 1, 2003.

[11℄ F. Boughanim, R. Tapiéro,Derivation of the two-dimensionalCarreau law for a quasi-Newtonian uid ow through a thin slab. Appli able Analysis, vol. 57, no. 3-4, pp. 243269,1995.

[12℄ F. Boughanim,Étude des é oulements isothermesetnon isothermesdesuides nonnewtoniens.Loide arreau,loidepuissan e.Thèse,UniversitéJeanMonnet, Saint-Etienne, 1996.

(10)

Dekker, New York, 2002.

[14℄ M.Boukrou he,G.ukaszewi z,Asymptoti analysisof solutionsof a thinlm lubri ation problem withCoulombuid-solid interfa e law.InternationalJournal of Engineering S ien e, vol. 41, pp. 521537,2003.

[15℄ M. Boukrou he, G. ukaszewi z, On a lubri ation problem with Fourier and

Tres a boundary onditions. Mathemati al Models and Methods in Applied

S ien es, Vol. 14, No. 6,pp. 913941,2004.

[16℄ M. Boukrou he, R. El Mir, Asymptoti analysis of a nonNewtonian uid in a thin domainwith Tres a law.NonlinearAnalysis,Theory Methodsand Appli a-tions, Vol.59, Issues 1-2, pp. 85105,2004.

[17℄ G. Capriz,On the vibrations of shaft rotating on lubri ated bearings.Annali di Matemati a Pura ed Appli ata.Series IV, vol. 50, pp. 223248,1960.

[18℄ G.Cimatti,A rigorousjusti ation of the Reynolds equation. Quarterlyof Ap-plied Mathemati s , vol.44, no. 4,pp. 627644, 1987.

[19℄ G.Duvaut, Équilibre d'un solide élastique ave onta t unilatéral et frottement de Coulomb.Comptes Rendus des Séan es de l'A adémiedes S ien es, Séries A et B, Paris. vol. 290, no. 5, pp. 263265,1980.

[20℄ A. Duvnjak, E. Maru²i¢-Paloka,Derivation of the Reynolds equation for lubri- ationof arotating shaft.Ar hivum Mathemati um(BRNO),vol.36, no.4,pp. 239253, 2000.

[21℄ A. Duvnjak, Derivation of non-linear Reynolds-type problem for lubri ation of a rotatingshaft. ZAMMZeits hriftfürAngewandte MathematikundMe hanik, vol.82, no. 5, pp. 317333,2002.

[22℄ H. G. Elrod A derivation of the basi equations for hydrodynami lubri ation with a uid having onstant properties. Quarterly of Applied Mathemati s, vol. 17, pp. 349359,1960.

[23℄ H. Fujita, A mathemati al analysis of motions of vis ous in ompressible uid under leak or slip boundary onditions. Mathemati al uid me hani s and mo-deling (Kyoto, 1994), S urikaisekikenky usho K oky uroku, vol. 888, pp. 199216, 1994.

[24℄ H. Fujita, H. Kawarada, Variational inequalities for the Stokes equation with boundary onditions of fri tion type. Re ent developments in domain de om-positionmethodsand ow problems (Kyoto, 1996;Ana apri, 1996). GAKUTO InternationalSeries.Mathemati alS ien es andAppli ations,vol.11,pp.1533, 1998.

[25℄ H.Fujita,RemarksontheStokesowunderslipandleakboundary onditionsof fri tion type. Topi s inmathemati aluid me hani s,Quaderni di Matemati a, Dept. Math., Se onda Univ. Napoli,Caserta, vol. 10, pp. 7394, 2002.

[26℄ H. Fujita, A oherent analysis of Stokes ows under boundary onditions of fri tion type. Journalof Computationaland Applied Mathemati s, vol.149, no. 1, pp. 5769, 2002.

(11)

tribology onferen e, London,pp. 291298, 1997.

[29℄ A. Mikeli¢, R. Tapiéro, Mathemati al derivation of the power law des ribing polymerowthrough athinslab.RAIROModélisationMathématiqueetAnalyse Numérique, vol.29, no. 1,pp. 321, 1995.

[30℄ M. S. Mostefaï, Dédu tion rigoureuse de l'équation de Reynolds à partir d'un système modélisant l'é oulement à faible épaisseur d'un uide mi ropolaire, et étude de deux problèmes à frontière libre. Hele-Shawgénéralisé et Stefan à deux phases pour un uide non newtonien. Thèse, Université Jean Monnet de Saint-Etienne, 1997.

[31℄ S.A.Nazarov,Asymptoti solution of theNavier-Stokes problem onthe ow of a thin layer of uid. SiberianMathemati alJournal,vol.31, no. 2,pp.296307, 1990.

[32℄ R.Pit,Mesurelo aledelavitesseàl'interfa esolideliquidesimple:Glissement et rle des intera tions. Thèse Physique,Université Paris XI, 1999.

[33℄ R.Pit,H.Hervet, L.Léger,Mise enéviden e dire ted'é oulements ave glisse-ment à la paroi à diverses interfa es hexadé ane - solide. Revue de Métallurgie-CIT, S ien e et Géniedes Matériaux,pp. 169174,Février 2001.

[34℄ O. Reynolds, On the theory of lubri ation and its appli ation to Beau hamp Tower's experiments. Phil. Trans. Royal So iety, London, A 117, pp. 157234, 1886.

[35℄ N. Saito,H.Fujita,Regularity of solutions tothe Stokes equationsunder a er-tain nonlinear boundary ondition.The Navier-Stokes Equations,Le tureNotes inPureandAppliedMathemati s,Mar elDekker,NewYork,vol.223,pp.7386, 2001.

[36℄ N. Saito,On the Stokes equations with theleak and slip boundary onditions of fri tion type : regularity solutions. Publi ationsof Resear hInstitutefor Mathe-mati al S ien es. Kyoto University,vol. 40, pp. 345383,2004.

[37℄ J.Serrin,Mathemati al prin iplesof lassi aluidme hani s.InHandbu hder Physik, vol. 8,no. 1,pp. 125263,1959.

[38℄ J. Shieh,B. J .Hamro k, Film ollapse in ehl andmi ro-ehl.Journalof T ribo-logy,vol.113, pp. 372377,1991.

[39℄ J.L.Tevaarwerk,Theshear ofhydrodynami oillms.PhdThesis:Cambridge, England, 1976.

[40℄ G. M. Troianiello, Ellipti dierential equations and obsta le problems. The University Series inMathemati s. Plenum Press, New York, 1987.

[41℄ G. H. Wannier, A ontribution to the hydrodynami s of lubri ation. Quarterly of Applied Mathemati s, pp. 132, 1950.

(12)

Modélisation de l'é oulement non

isotherme des uides newtoniens

Nous rappelons i i lesrésultats essentiels de lathéorie des milieux ontinus. Ce rappel portera sur les lois de onservation lo ales. Pour les référen es bibliogra-phiques, nous avons onsulté [1,2, 3,5℄.

À partir de es lois nous her herons les équations aux dérivées partielles mo-délisant l'é oulement non isotherme d'un uide newtonien in ompressible dans un domaineouvertbornéde R

3

pendant unintervallede temps[0;T f

℄.Ensuite,nous donnons le modèle stationnaire de et é oulement qui sera le point de départ de ette thèse.

1.1 Équations générales de la mé anique des

mi-lieux ontinus

Les problèmes en mé anique des milieux ontinus se modélisent d'une part par lestrois loisde onservation de la masse,de la quantité de mouvement etde l'éner-gie, qui forment les prin ipes de base et d'autre part par les lois de omportement spé iques à haque type de milieu ontinu.

Considérons un milieu ontinu qui o upe un domaine ouvert de R 3

pendant un intervallede temps [0;T

f ℄.

i)Laloi de onservationdela masse.Soit v(x;t) le hampdes ve teurs vitesse à l'instant t2[0;T f ℄ des pointsx=(x 1 ;x 2 ;x 3

)2 du milieu ontinu en mouvement par rapport au repère Ox.La formelo ale de la onservation de lamasse est

d

dt

+ div(v)=0; (1.1.1)

où=(x;t) est ladensité du milieu ontinuaupointx2à l'instant t2[0;T f

℄.

La dérivée parti ulaire oula dérivée totale d dt

est donnée par

(13)

oùr est leve teur gradientde omposantes x

i

(i=1;2;3).

Ave larelation (1.1.2)l'équation (1.1.1)devient

t

+v:r+ div(v)=0: (1.1.3)

ii) La loi de onservation de la quantité de mouvement. Elle est déduite du prin ipe fondamentalde ladynamique

dv dt

=div()+f; (1.1.4)

où le ve teur f, de omposantes f i

(i = 1;2;3), représente une distribution volu-mique de for esextérieures. Letenseur ,apour omposantes

ij

(i;j =1;2;3),est le tenseur des ontraintes.

On remarque que l'équation (1.1.4) ontient un terme non linéaire par rap-port aux omposantes de la vitesse. Leséquations (1.1.4)sont onnues sous le nom d'équationsdu mouvement.S'ils'agit d'un problème de statique le premiermembre des équations (1.1.4) est identiquement nul et on les appelle équations d'équilibre; ellessontalorslinéaires parrapportaux omposantes

ij

du tenseurdes ontraintes.

En utilisant larelation (1.1.2)l'équation (1.1.4)s'é rit

v t +v:rv =div()+f: (1.1.5)

iii) La loi de onservation de l'énergie. Elle est déduite du premier prin ipe de lathermodynamique.Elleest de la formesuivante :

de

dt

=:D(v) div(q)+r; (1.1.6)

où

e est un s alairequi désignel'énergie interne spé ique du milieu ontinu; r est un s alaire représentant l'apport d'énergie par unité de masse et de

temps;

q, de omposantes q i

, est le ve teur transport d'énergie; D(v) est le tenseur des taux de déformation, de omposantes

d ij (v)= 1 2 v i x j + v j x i ; 1i;j 3 ; (1.1.7)

(14)

e t +v:re =:D(v) div(q)+r: (1.1.8) Ré apitulation

L'ensemble des loisde onservation nous afournitrois équationss alaireset ve to-rielle :

1. L'équationde ontinuité

t

+v:r+ div(v)=0: (1.1.9)

2. Les équations du mouvement

v t +v:rv =div()+f: (1.1.10) 3. L'équationde l'énergie e t +v:re =:D(v) div(q)+r: (1.1.11)

Remarque 1.1.1. Le tenseur des ontraintes est symétrique.

Remarque 1.1.2. Les équations (1.1.9)(1.1.11) sont déduites des lois de onser-vation sous des hypothèses de ontinuité.

Remarque 1.1.3. Les équations(1.1.9)(1.1.11) onstituent autotal inq relations s alaires. Les fon tions in onnues sont au nombre de quatorze :

les six omposantes ij

du tenseur des ontraintes (symétrique); les trois omposantes v

i

de la vitesse;

ladensité ,l'énergieinternee,les omposantesq i

duve teurtransport d'éner-gie.

Il est don évident, du point de vue mathématique et physique, qu'il est improbable qu'ave inq équations on puisse déterminer quatorze fon tions in onnues. Les lois de onservation sont don insusantes à dé rire les mouvements des milieux onti-nus; elles doivent être omplétées par d'autres relations que l'on appelle des loisde omportement.

1.2 Cas des uides newtoniens

Les équations fondamentales de la mé anique des uides newtoniens sont elles de la mé anique des milieux ontinus, ave une loi de omportement de uide li-néaire isotrope.

(15)

=2D(v)+ TrD(v) p I; (1.2.1) où

D(v) est le tenseur des taux de déformation; est lavis osité dynamique du uide; est un se ond oe ient de vis osité; p est un réel appelé pressiondu uide; I est la matri eidentité de rang 3;

TrD(v) désignela tra e de D(v) déniepar

TrD(v)= 3 X i=1 d ii (v):

Si le uide est in ompressible, 'est à dire son tauxde dilatation volumique est nul, alors letenseur des taux de déformationD(v) est soumis àla liaison interne

TrD(v)=0; (1.2.2)

e qui est équivalent à la ondition sur lesvitesses

div(v)=0: (1.2.3)

La loide omportement(1.2.1) devient

=2D(v) pI: (1.2.4)

Ilest intéressantde remarquerqu'un uidenewtonienin ompressiblen'aqu'unseul oe ient de vis osité.

Comme le uide est onsidéré non isotherme sa vis osité dynamique est une fon tion de la température T

=(T): (1.2.5)

La loi de omportement d'un uide newtonien non isotherme in ompressible est don (voir par exemple [2,4, 6℄)

=2(T)D(v) pI: (1.2.6)

Il est à noterque l'équation de la onservation de la masse (1.1.3)implique que pour un uide in ompressibleona

d dt = t + 3 X i=1 v i x i =0: (1.2.7)

Par onséquent, la masse volumique d'une parti ule de uide in ompressible reste onstanteau ours del'é oulement;elleest don de plusindépendantedes variables d'espa e si elle l'est à un instant parti ulier, e que nous supposerons. Dans es onditions nous avons

= 0

(16)

0

mentà hoisir l'unité de masse volumique.

En utilisant la loi de omportement (1.2.6) l'équation de mouvement (1.1.4) devient dv dt =f+div 2(T)D(v) pI =f +div 2(T)D(v) div(pI): (1.2.9) On a don dv dt =f+div 2(T)D(v) rp: (1.2.10)

Le terme :D dans (1.1.6),parfois appeléfon tion de dissipation,est dénipar

:D(v)=

2(T)D(v) pI

:D(v)=2(T)D(v):D(v) pTrD(v): (1.2.11)

Commele uide est in ompressible(TrD(v)=0)

:D(v)=2(T)D(v):D(v); (1.2.12)

et l'équationde l'énergie (1.1.6)devient

de

dt

=2(T)D(v):D(v) div(q)+r: (1.2.13)

On suppose que

l'énergieinterne du uide est donnée par la loi

de dt =C v (T) dT dt ; (1.2.14) oùC v

(T)désigne la haleurspé ique àvolume onstant;

l'apportd'énergie par unitéde masse etde tempsr dépend de latempérature T

r =r(T) ; (1.2.15)

leve teur transport d'énergie q est donné par la loide Fourier

q= K(T)rT: (1.2.16)

Elleest non linéaire du faitque la ondu tivité thermique K est une fon tion de la température T.

Dans es onditions l'équationde l'énergie(1.1.6) s'é rit

C v (T) dT dt =2(T)D(v):D(v)+div K(T)rT +r(T): (1.2.17)

Finalement, les équations générales de l'é oulement non isotherme d'un uide newtonien in ompressiblesont données par le système

(17)

8 > > > > > > > < > > > > > > > : v t =f +div 2(T)D(v) rp; div(v)=0; C v (T) T t =2(T)D(v):D(v)+div K(T)rT +r(T):

(18)

[1℄ G. Duvaut, J. L. Lions, Les inéquations en mé anique et en physique. Dunod, Paris, 1972.

[2℄ U. Eisele, Introdu tion to polymer physi s. Springer-Verlag, 1990.

[3℄ J. Garriques, Mé anique des milieux ontinus. ours sur le web :

http ://esm2.imt-mrs.fr/gar/mm html/mm .html.Mars2002.

[4℄ R. P. Gilbert, P. Shi, Nonisothermal, NonNewtonian Hele-Shaw ows,Part II: Asymptoti s and existen e of weak solutions. Nonlinear Analysis, Theory, Me-thods and Appli ations, vol. 27, No. 5,pp. 539-559,1996.

[5℄ L.Landau,E.Lif hitz,Physique théorique etmé aniquedesuides.vol.6,2ème edition, 1989.

(19)

(20)

Existen e et uni ité des solutions

faibles

2.1 Introdu tion

Ce hapitre est onsa ré à l'étude du problème de l'é oulement non isotherme d'unuidenewtonienin ompressibleen régimestationnairedansun domainemin e

"

ave la ondition non linéaire de Tres a sur une partie du bord.

Nous présentons d'abord dans la se tion 2.2 les équations gouvernées par et é oulement et les onditions aux limites.

Danslase tion2.3nousdonnonslaformulationfaibledu problème.Ceproblème variationnel dont les in onnues sont le hamp de vitesse, la pression etla tempéra-ture du uide est fortement ouplé en vitesse et température. Pour son étude nous onsidérons deux problèmes intermédiaires, lepremier ave une inégalité variation-nelle en vitessepression tandis que le deuxième ave une équation variationnelle non linéaire en température.

Dans la se tion 2.4 nous étudions le problème en vitessepression. Nous mon-trons tout d'abord l'existen e et l'uni ité de la vitesse dans un onvexe approprié en utilisantla théorieusuelle des inégalitésvariationnelles de 2

ème

espè e. Ensuite nous montronsl'existen e etl'uni ité(àune onstante additive près) de lapression en utilisantles résultatsde l'analyseen optimisation onvexe.

Mais pour étudierleproblème nonlinéaireen températurenous sommesobligés dans la se tion 2.5 de her her la régularité (H

2 (

" ))

3

de la vitesse. Pour ela on suppose d'abord que la températureest donnée dans C

0;1 (

"

) pour pouvoir utiliser laméthode des translationsde L. Nirenberg [31℄, etterégularité de la température sera établie dans lelemme 2.6.1.

(21)

lase tion2.7 un résultatd'existen e et d'uni itédes solutionsde la formulation va-riationnelle du problème ouplé.

Enn, dans la se tion 2.8 nous faisons une remarque on ernant un résultat d'existen e établi par L. Consiglieriet J. F. Rodrigues dans [9℄. Nous itons aussi d'autres travauxqui traitent des problèmes similaires.

2.2 Des ription du problème

Soit ! un domainebornéde R 3

d'équation x 3

=0. Onsuppose que! représente la surfa e inférieure du domaine o upé par le uide. La surfa e supérieure

" 1

est dénie par l'équationx

3

="h(x 0

), où

" est un petit paramètre destiné àtendre vers zéro (0<" <1); h est une fon tion dénie sur ! telle que

0<h h(x 0 )h ; 8(x 0 ;0)=(x 1 ;x 2 ;0)2! :

On étudie l'é oulement non isotherme d'un uide newtonien in ompressible en régimestationnaire etsans termes onve tifsdans ledomainemin e(voirFig. 2.1)

" = (x 0 ;x 3 )2R 3 : (x 0 ;0)2! et 0<x 3 <"h(x 0 ) de frontière " =![ " 1 [ " L ,où " L

est la surfa e latéralede " . x 3 x 2 x 1 ? " L "h ? " 1 ! " 0

Fig. 2.1 Domaine de l'é oulement.

On note par u " =(u " 1 ;u " 2 ;u " 3 )lavitesse du uideet "

letenseur des ontraintes dont les omposantes

" ij

(1 i;j 3) sont données par la loi de omportement suivante(voirpar exemple [12℄,[17℄, [23℄ et[36℄)

(22)

oùp est lapressionthermodynamique du uide,T est latempératuredu uideet

"

est sa vis osité. Æ ij

désigne lesymbolede Kröne ker

Æ ij = 1 si i=j; 0 si i6=j:

La loi de omportement (2.2.1) relie le tenseur des ontraintes " au tenseur sphé-rique p " I, de omposantes p " Æ ij

(1 i;j 3) et au tenseur des taux de déformationD " (u " ) de omposantes d ij (u " )= 1 2 u " i x j + u " j x i ; i;j =1;2;3:

Lanormaleextérieure unitairesur " est notéen =(n 1 ;n 2 ;n 3 ).Lanormale uni-taire sur ! est le ve teur (0;0; 1).

La onvention d'Einstein, qui onsisteà ee tuer lasomme sur les indi es répé-tés, sera utilisée sauf mention ontraire.

On dénitles omposantes normaleset tangentielles u " n et u " t =(u " t1 ;u " t2 ;u " t3 ) de lavitesse u " par u " n =u " :n =u " i n i ; u " t i =u " i u " n n i : (2.2.2)

Pour les omposantes normaleset tangentielles " n et " t =( " t 1 ; " t 2 ; " t 3 ) du tenseur des ontraintes la dénition est la suivante

" n =( " :n):n= " ij n i n j ; " t i = " ij n j " n n i : (2.2.3)

D'après le hapitre1,leséquationsquitraduisent l'é oulementnonisothermeen régimestationnaired'unuidenewtonienin ompressibledans

"

sontlessuivantes: l'équationde onservation de la quantité du mouvement

" ij x j +f " i =0; i=1;2;3; (2.2.4) oùf " =(f " 1 ;f " 2 ;f " 3

) représente une densité massique des for es extérieures; la ondition d'in ompressibilité

div(u "

)=0 ; (2.2.5)

l'équationde onservation de l'énergie

x i K " T " x i =2 " (T " )d 2 ij (u " )+r " (T " ); (2.2.6) où K " = K " (x 0 ;x 3

) est la ondu tivité thermique du uide, r " = r " (T " ) est l'apport d'énergie alorique.

Les fon tions " , f " , K " et r "

sont onnues. Contrairement au hapitre 1, la fon tion K

"

ne dépend pas de latempératureT "

(23)

Pour les onditions aux limites, soitg =(g 1 ;g 2 ;g 3 )2 H 1 2 ( " ) 3 telle que Z " g:nd =0; g 3 =0sur " L ; g =0 sur " 1 et g:n=0sur !: (2.2.7)

D'après[18℄(lemme2.2,page24), ette onditionimpliquel'existen ed'unefon tion G " =(G " 1 ;G " 2 ;G " 3 )2 H 1 ( " ) 3 telle que div(G " )=0dans " et G " =g sur " : (2.2.8)

Cette fon tion s'appellele relèvement de g sur "

.

Pour la vitesse, on suppose que:

u " =g sur " L ; (2.2.9) u " =0 sur " 1 ; (2.2.10) u " :n=0 sur !: (2.2.11)

La onditiond'imperméabilité(2.2.11)signiequ'ilyauneorttangentielexer é par la surfa e ! sur le uide. Cet eort tangentielne peut pas dépasser un ertain seuil. La loide Tres a suppose que e seuil est xe et onnu

j " t jk " sur !; (2.2.12) où k "

est une fon tion positive donnée appelée oe ient de frottement et j " t

j est le modulede la ontraintetangentielle dénie sur ! par (2.2.3).

Tant que la ontraintetangentielle " t

n'a pas atteint le seuil k "

, le uide se dé-pla eave lavitessedonnées,quiestlavitessedelasurfa einférieure!(adhéren e). Lorsque leseuil est atteint,leuide etla surfa ese dépla ent tangentiellement l'un par rapport à l'autre et il y a glissement proportionnel. Ce qui peut se résumer omme suit [10℄ j " t j<k " )u " t =s; j " t j=k " )9 0tel queu " t =s " t : sur !; (2.2.13)

oùle réel positif est in onnu.On suppose en outre que

s=g sur !:

Pour la température, onsuppose que

T " =0 sur " L [ " 1 : (2.2.14) K " T " n =K " rT " :n= " (T " ) sur !; (2.2.15) où "

est une fon tion donnée sur R. Selon le signe de la fon tion "

(24)

si la fon tion est stri tement négative, le gradient de la température est orientévers la zone uide,d'où l'é hauement;

si lafon tion "

est égale à zéro, pas d'é hange de haleur àtravers !; si la fon tion

"

est stri tement positive, le gradient de la température est orientéà l'extérieurde la zone uide.

Remarque 2.2.1. Sur ! la troisième omposante de la vitesse est nulle :

u " 3

=0 sur !: (2.2.16)

En eet, d'après la ondition (2.2.11) on a

u " :n=u " 1 n 1 +u " 2 n 2 +u " 3 n 3 =0 sur !; où n=(n 1 ;n 2 ;n 3

)=(0;0; 1)est le ve teur normal unitaire extérieur à !. Don

u " 3

=0 sur !:

Le problème omplet onsistedon à trouver le hamp de vitesse u "

, la pressionp "

et latempératureT "

vériant leséquations etles onditionsaux limites suivantes :

(P " 0 ) 8 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > < > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > : x j 2 " (T " )d ij (u " ) + p " x i =f " i ; i=1;2;3 dans " ; div(u " )=0 dans " ; x i K " T " x i =2 " (T " )d 2 ij (u " )+r " (T " ) dans " ; u " =g sur " L ; u " =g =0 sur " 1 ; u " :n=0 sur !; j " t j<k " )u " t =s; j " t j=k " )90tel queu " t =s " t : sur !; T " =0 sur " L [ " 1 ; K " rT " :n = " (T " ) sur !:

Pour la formulation variationnelle du problème (P " 0

), on aura besoin du lemme suivant:

Lemme2.2.1. La ondition(2.2.13)estéquivalente àlarelations alairesuivante:

(25)

Si j " t j < k " alors u " t = s, d'où (2.2.17). Si j " t j = k "

alors il existe 0 tel que u " t =s " t , d'où (u " t s): " t +k " ju " t sj= j " t j 2 +j " t j 2 =0:

Inversement, onsuppose que (2.2.17)ait lieu.

Sij " t j=k " ,alors (u " t s): " t = ju " t sj j " t j;

don il existe 0 telque

u " t s= " t : Sij " T j<k " , alors (u " t s): " t +k " ju " t sj=0 ju " t sj j " t j+k " ju " t sj = ju " t sj(k " j " t j) | {z } >0 don ju " t sj=0; soit u " t =s: D'où lerésultat. Remarque 2.2.2. Sur !, on a u " :n=0; don d'après (2.2.2) u " t =u " :

Par onséquent, la relation s alaire (2.2.17)s'é rit

(u " s): " t +k " ju " sj=0 sur !: (2.2.18)

C'est ette relation que nous utiliserons pour formuler le problème variationnel de (P

" 0 ).

2.3 Formulation variationnelle du problème

On introduit le adre fon tionnelsuivant :

(26)

qui sontdes onvexes fermés non vide de (H 1 ( " )) . V 0 ( " )= n '2 H 1 ( " ) 3 : '=0 sur " L [ " 1 ; ':n=0 sur ! o : V 0;div ( " )=f'2V 0 ( " ) : div(')=0 dans " g

qui sontdes sous espa es ve toriels de (H 1 ( " )) 3 . On note par L 2 0 ( "

) le sous espa e ve toriel de fon tions de L 2 ( " ) à moyenne nulle: L 2 0 ( " )= q2L 2 ( " ) : Z " qdx 0 dx 3 =0; oùdx 0 =dx 1 dx 2 ; et par H 1 " L [ " 1 ( "

) lesous espa e ve torielde H 1 ( " ) : H 1 " L [ " 1 ( " )= 2H 1 ( " ) : =0 sur " L [ " 1 :

On introduitégalement lesnotations suivantes :

a " (T;u;v) = 3 X i;j=1 Z " 2 " (T)d ij (u) v i x j dx 0 dx 3 = 3 X i;j=1 Z " 2 " (T)d ij (u)d ij (v)dx 0 dx 3 ; (q;div(v))= Z " qdiv(v)dx 0 dx 3 = 3 X i=1 Z " q v i x i dx 0 dx 3 ; j " (v)= Z ! k " jv sjdx 0 ; (f " ;v)= Z " f " vdx 0 dx 3 = 3 X i=1 Z " f " i v i dx 0 dx 3 ; b " (T;Q)= Z " K " rTrQdx 0 dx 3 = 3 X i=1 Z " K " T x i Q x i dx 0 dx 3 ; " (u;T;Q)= 3 X i;j=1 Z " 2 " (T)d 2 ij (u)Qdx 0 dx 3 + Z " r " (T)Qdx 0 dx 3 + Z ! " (T)Qdx 0 :

Nousétablissonsdelaformulationforte(P " 0

)laformulationfaible(2.3.1)(2.3.2) quiseralabasedenotreétudethéorique.Notonsquelepremiermembrede

"

(u;T;Q) est bien dénipour u2V(

(27)

Proposition 2.3.1. Si u , p et T sont des solutions régulières du problème (P 0

) alors elles vérient leproblème variationnel :

Trouver u " dans V div ( " )\ H 2 ( " ) 3 , p " dans L 2 0 ( " )\H 1 ( " ) et T " dans H 1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( " ) tels que a " (T " ;u " ;' u " ) p " ;div(') +j " (') j " (u " ) (f " ;' u " ); 8' 2V( " ); (2.3.1) b " (T " ; )= " (u " ;T " ; ); 8 2H 1 " L [ " 1 ( " ): (2.3.2) Preuve.

On multiplie l'équation(2.2.4) par ' i u " i où'2V( " ),onintègresur " eton utilise laformule de Green. On obtient :

Z " " ij x j (' i u " i )dx 0 dx 3 Z " " ij n j (' i u " i )d = Z " f " i (' i u " i )dx 0 dx 3 : (2.3.3)

D'après les onditions auxlimites (2.2.9)et (2.2.10)on a Z " " ij n j (' i u " i )d = Z ! " ij n j (' i u " i )dx 0 ; ord'après (2.2.3) ona " ij n j = " ti + " n n i et don Z " " ij n j (' i u " i )d= Z ! " t i (' i u " i )dx 0 + Z ! " n (' i u " i )n i dx 0 : Comme(' i u " i )n i =0 sur ! alors Z " " ij n j (' i u " i )d = Z ! " t :(' u " )dx 0 : En revenant à (2.3.3)on obtient Z " " ij x j (' i u " i )dx 0 dx 3 Z ! " t :(' u " )dx 0 = Z " f " i (' i u " i )dx 0 dx 3 : (2.3.4)

(28)

A= Z ! " t :(' s)+k " j' sj dx 0 :

Il faut remarquer que

" t :(' s) j " t j:j' sj k " j' sj sur !; don A0:

On a alors l'inéquationsuivante Z " " ij x j (' i u " i )dx 0 dx 3 + Z ! k " (j' sj ju " sj) dx 0 Z " f " i (' i u " i )dx 0 dx 3 : On rempla e " ij

par son expression (2.2.1) eton trouve Z " h 2 " (T " )d ij (u " ) p " Æ ij i x j (' i u " i )dx 0 dx 3 + Z ! k " (j' sj ju " sj) dx 0 Z " f " i (' i u " i )dx 0 dx 3 ; soiten ore Z " 2 " (T " )d ij (u " ) x j (' i u " i )dx 0 dx 3 Z ! " p " x i (' i u " i )dx 0 dx 3 + + Z ! k " (j' sj ju " sj) dx 0 Z " f " i (' i u " i )dx 0 dx 3 ; 'est à dire a " (T " ;u " ;' u " ) p " ;div(' u " ) +j " (') j " (u " )(f " ;' u " ); 8'2V( " ): Commediv(u " )=0 dans " , alors p " ;div(u " ) = Z " p " div(u " )dx 0 dx 3 =0; d'où a " (T " ;u " ;' u " ) p " ;div(') +j " (') j " (u " )(f " ;' u " ); 8'2V( " ):

On multiplie l'équation (2.2.6) par 2 H 1 " L [ " 1 ( " ), on intègre sur " , on utilise laformule de Green et les onditions aux limites(2.2.14) et(2.2.15).On obtient :

(29)

intermédiaires suivants:

Problème en vitessepression :

Pour une température donnée T dans H

1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( " ), trouver le hamp de vitesseu " dansV div ( " )\ H 2 ( " ) 3 et la pressionp " dans L 2 0 ( " )\H 1 ( " )telsque a " (T;u " ;' u " ) p " ;div(') +j " (') j " (u " ) (f " ;' u " ); 8'2V( " ): (2.3.5) Problème en température :

Pourun hampde vitessedonnéudansV div ( " )\ H 2 ( " ) 3 ,trouverlatempérature T " dans H 1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( " ) telle que b " (T " ; )= " (u;T " ; ); 8 2H 1 " L [ " 1 ( " ): (2.3.6)

2.4 Étude du problème en vitessepression

Pourrésoudreleproblèmeenvitessepression,nousmontronstoutd'abord l'exis-ten eetl'uni itédelavitesse u

" dansle onvexeV div ( " )vériantl'inégalité(2.4.1) en utilisantlathéorieusuelledes inéquations variationnellesdu 2

ème

espè e [4,19℄. Ensuite,nousmontronsl'existen e delapressionp

" dansl'espa eL 2 0 ( " )enutilisant lesrésultatsde l'analyseen optimisation onvexe[11℄. Larégularité de (u

" ;p " ) dans H 2 ( " ) 3 H 1 ( "

)sera établi dans la se tion2.5.

Si nous prenons les fon tions test de l'inéquation variationnelle (2.3.5) dans V

div (

"

),onobtientle problème suivant :

Problème en vitesse :

Pour une température donnée T dans H

1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( " ), trouver le hamp de vitesse u " dans V div ( " )\ H 2 ( " ) 3 tel que a " (T;u " ;' u " )+j " (') j " (u " )(f " ;' u " ); 8' 2V div ( " ): (2.4.1)

Nousrappelonsunthéorèmeabstraitd'existen eetd'uni itépourlesinéquations variationnelles de 2

ème

espè e que nous appliquerons pour étudier le problème en vitesse (2.4.1).

Théorème 2.4.1. Soit A un onvexe fermé non vide d'un espa e de Hilbert V

muni de la norme k:k V

et soit a(:;:) une forme bilinéaire oer ive de AA dans R, 'està dire telle que

(30)

9 1 >0; ja(u;v)j 1 kuk V kvk V 8u;v 2A:

Soit j une fon tionnelle de A dans R onvexe, semi- ontinue inférieurement et propre, 'està dire telle que

1<j(v)+1; pourtout v 2A et j non identique à+1:

AlorspourtouteformelinéaireLdéniesurV,ilexisteununiqueudansAsolution de l'inéquationvariationnelle

a(u;v u)+j(v) j(u)L(v u); 8v 2A:

Preuve. Voir par exemple [4℄et[19℄.

Pour leproblème en vitesse (2.4.1) ona lerésultat suivant:

Lemme2.4.1. Supposonsquef

" 2 L 2 ( " ) 3 , k " 2L 1 (!), k " 0presquepartout sur ! et qu'il existe deux onstantes stri tement positives

et telles que 0< (a) ; 8a2R: (2.4.2)

Alors,il existeunet un seulu "

dans V div

( "

)satisfaisant l'inéquationvariationnelle (2.4.1). Preuve. Posons v " =u " G " 2V 0;div ( " ):

Alorsde l'inéquation(2.4.1)on obtient

a " (T;v " ;v v " )+j " 0 (v) j " 0 (v " ) (f " ;v v " ) a " (T;G " ;v v " ); 8v 2V 0;div ( " ); (2.4.3) où j " 0 (v)= Z ! k " jvjdx 0 : La forme bilinéaire a "

(T;:;:) est oer ive sur V 0;div ( " )V 0;div ( " ).En eet, soit v un élémentde V 0;div ( "

).Enutilisantl'hypothèse (2.4.2)etl'inégalitéde Korn on obtient a " (T;v;v)2 3 X i;j=1 kd ij (v)k 2 0; " 2 C K kvk 2 1; " ; oùC K

>0est la onstante de Korn.

Laformebilinéairea "

(T;:;:)est ontinue surV 0;div ( " )V 0;div ( " ).Eneet,soient u et v deux éléments de V 0;div ( "

(31)

Lafon tionnellej 0

est onvexe,propreetsemi- ontinueinférieurementsurV 0;div

( ). En eet, soientu et v deux éléments de V

0;div ( " ).Puisque G " =g =s sur !, ona jj " 0 (u) j " 0 (v)j= Z ! k " (juj jvj) dx 0 Z ! jk " jju vjdx 0 j!j 1 2 kk " k 1;! ku vk 0;! ;

oùj!j désignela mesurede !.

Comme l'appli ation tra e sur ! dénie sur H 1

( "

) dans L 2

(!) est ontinue, alors il existe une onstante positive C(

" )telle que jj " 0 (u) j " 0 (v)jj!j 1 2 C( " )kk " k 1;! ku vk 1; " : Ainsi,j " 0

estlips hitziennedon afortiorisemi- ontinueinférieurementsurV 0;div ( " ). La forme linéaire (f " ;:) a " (T;G "

;:) est ontinue sur V 0;div ( " ). En eet, soit v un élément de V 0;div ( "

). D'après l'inégalité de Cau hy-S hwarz et la ontinuité de a " (T;::)sur V 0;div ( " )V 0;div ( " ), ona (f " ;v) a " (T;G " ;v) kf " k 0; " +2 kG " k 1; " kvk 1; " :

Enappliquantlethéorème2.4.1,onobtientalorsl'existen eetl'uni itéd'unélément v " dans V 0;div ( "

) satisfaisant l'inéquation variationnelle (2.4.3), et par onséquent l'existen e et l'uni itéde u " dans V div ( " )satisfaisant(2.4.1).

Théorème2.4.2. Sousleshypothèsesdulemme2.4.1,ilexisteunefon tionu " dans V div ( "

),etuneseule,etune fon tionp " dansL 2 0 ( "

),déterminéedemanièreunique à une onstante additive près, satisfaisant l'inéquation variationnelle en vitesse pression (2.3.5).

Preuve. Lelemme2.4.1donnel'existen eetl'uni itédelavitesseu " dansV div ( " ). Il reste don à montrer l'existen e de la pression p

" dans L 2 0 ( " ). Pour ela, on utiliselesrésultatsdedualitédel'optimisationen onvexe[11℄.Nousformulonspour ela l'inéquationvariationnelle(2.4.3) en utilisantla fon tion indi atri e

V 0 ( " ) du onvexe V 0 ( " ),dénie par V 0 ( " ) : L 2 ( " ) 3 ! R ' 7 ! V0( " ) (')= 0 si '2V 0 ( " ); +1 si '62V 0 ( " ):

On dénit aussi la fon tionnelleH par

H (q): L 2 ( " ) ! R q 7 ! H (q)= 0 si q=0; +1 si q6=0:

Alorsl'inéquation (2.4.3)équivaut à :

(32)

Onnote que V 0 ( " )

est onvexe,propreetsemi- ontinue inférieurement.j 0 + V 0 ( " ) l'est aussi.

D'après le théorème 2.4.1, le problème (2.4.4) admet une unique solution v " dans V 0;div ( "

). Commeil est bien onnu, leproblème (2.4.4) est équivalentau problème de minimisation inf '2V0( " ) 1 2 a " (T;';') (f " ;')+a " (T;G " ;')+j " 0 (')+H div(') + V0( " ) (')

que l'on é rit sous la forme

inf '2V 0 ( " ) n F(')+G (') o ; (2.4.5) où F : V 0 ( " ) ! R ' 7 ! F(')= 1 2 a " (T;';') (f " ;')+a " (T;G " ;'); : V 0 ( " ) ! Y =L 2 (!)L 2 ( " )V 0 ( " ) ' 7 ! (')=( 1 '; 2 '; 3 ')= ' j! ;div(');' G : Y ! R q 7 ! G(q)=j " 0 (q 1 )+H (q 2 )+ V0( " ) (q 3 ):

Le problème dual asso iéauproblème primal (2.4.5)est donné par :

Trouver p ? 2Y ? =L 2 (!)L 2 ( " )V 0 ( " ) ? solution de sup q ? 2Y ? n F ? ( ? q ? ) G ? ( q ? ) o ; (2.4.6) où F ? ( ? q ? ) = sup '2V0( " ) n < ? q ? ;'> F(') o = sup '2V0( " ) n < ? 1 q ? 1 ;'>+< ? 2 q ? 2 ;'>+< ? 3 q ? 3 ;'> F(') o et G ? ( q ? ) = sup l 2Y n < q ? ;l> G(l) o = sup l12L 2 (!) n < q ? 1 ;l 1 > j " 0 (l 1 ) o + sup l22L 2 ( " ) n < q ? 2 ;l 2 > H (l 2 ) o + + sup l32V0( " ) n < q ? 3 ;l 3 > V 0 ( " ) (l 3 ) o :

(33)

Lafon tionG est ontinue surY ,leshypothèsesduthéorème4.1, hapitreIIIdans [11℄ sont don satisfaites. D'où l'existen e de p

? 2 Y ? solution de (2.4.6), vériant larelation d'extrémalité : n F(v " )+G( (v " )) o + n F ? ( ? p ? )+G ? ( p ? ) o =0;

qui s'é rit en oresous la formesuivante : n F(v " )+j " 0 ( 1 v " )+H ( 2 v " )+ V 0 ( " ) ( 3 v " ) o + n F ? ( ? p ? )+G ? ( p ? ) o =0:

D'une part, d'après ladénition de F ? ona F ? ( ? p ? ) < ? 1 p ? 1 ;'>+< ? 2 p ? 2 ;'>+< ? 3 p ? 3 ;'> F('); 8' 2V 0 ( " ) ++ F('); 8' 2V 0 ( " ): D'autre part, G ? ( p ? ) j " (l 1 )+ V 0 ( " ) (l 3 ); 8l 1 2L 2 ();l 3 2V 0 ( " ):

Don pour tout l = ';'2V 0 ( " ) ona F ? ( ? p ? )+G ? ( p ? ) j " 0 ( 1 ') V 0 ( " ) ( 3 ') F('):

En revenant à larelation d'extrémalité onobtient

(34)

a " (T;';v " ') (f " ;v " ')+a " (T;G " ;v " ')+j " 0 (v " ) j " 0 (')+ + V0( " ) ( 3 v " ) V0( " ) ( 3 ') < ? 2 p ? 2 ;v " '> 0; 8'2V 0 ( " ); soiten ore a " (T;';' v " )+j " 0 (') j " 0 (v " )+ V 0 ( " ) ( 3 ') V 0 ( " ) ( 3 v " ) < ? 2 p ? 2 ;v " '> (f " ;' v " ) a " (T;G " ;' v " ); 8' 2V 0 ( " ): (2.4.7)

En utilisant le lemme de Minty [11℄, l'inéquation(2.4.7) est équivalente à l'inéqua-tion : a " (T;v " ;' v " )+j " 0 (') j " 0 (v " )+ V 0 ( " ) ( 3 ') V 0 ( " ) ( 3 v " ) < ? 2 p ? 2 ;v " '> (f " ;' v " ) a " (T;G " ;' v " ); 8' 2V 0 ( " ): (2.4.8)

Dans (2.4.8),si onprend 'dans V( " )on obtient a " (T;u " ;' u " )+j " (') j " (u " ) (f " ;' u " ); 8' 2V( " ): (2.4.9) On hoisitdans (2.4.9) '=u " , où 2 H 1 0 ( " ) 3 . On trouve : a " (T;u " ;) =(f " ;); 82 H 1 0 ( " ) 3 ;

en utilisantla formule de Green,on obtient

p ? 2 x i = x j 2 " (T)d ij (u " ) +f " i

presquepartout sur "

;

et ommeu

"

est uniquedans V( "

)onen déduitl'uni ité(àune onstanteadditive près) de p ? 2 dans L 2 ( " ).

Le lemme suivant donne une estimation a priori de (u " ;p " ) dans H 1 ( " ) 3 L 2 ( " ).

Lemme 2.4.2. Sous les hypothèses du lemme 2.4.1,on a

ku " k 1; " +kp " k 0; " C kf " k 0; " +kG " k 1; " ; (2.4.10)

où C est une onstantepositivequidépend dela onstantede KornC K ,du domaine " , de et de .

(35)

En utilisant la oer ivité de la forme bilinéairea (T;:;:) sur V 0;div

( )V

0;div

( )

et la ontinuité de la formelinéaire (f " ;:) a " (T;G " ;:)sur V 0;div ( " ), onobtient : 2 C K kv " k 2 1; " (kf " k 0; " +2 kG " k 1; " )kv " k 1; " ; soiten ore kv " k 1; " 1 2 C K kf " k 0; " + C K kG " k 1; " : Par onséquent, ku " k 1; " kv " k 1; " +kG " k 1; " 1 2 C K kf " k 0; " + 1+ C K kG " k 1; " ; d'où ku " k 1; " C 0 kf " k 0; " +kG " k 1; " ; (2.4.11) ave C 0 =max 1 2 C K ;1+ C K : Prenons dans (2.3.5)'=u " , où 2 H 1 0 ( " ) 3 on obtient p " ;div() =a " (T;u " ;) (f " ;); 82 H 1 0 ( " ) 3 : (2.4.12) Commep " 2L 2 0 ( " ), ilexiste 2(H 1 0 ( " )) 3 telque [18℄ : div()=p " et kk 1; " C 0 kp " k 0; " ; oùC 0

est une onstantepositivequi dépend du domaine "

.

On prend = dans (2.4.12),on obtient

kp " k 2 0; " = p " ;div() =a " (T;u " ;) (f " ;) 2 ku " k 1; " +kf " k 0; " kk 1; " C 0 2 ku " k 1; " +kf " k 0; " kp " k 0; " d'où kp " k 0; " C 0 2 ku " k 1; " +kf " k 0; " ; et en utilisant (2.4.11)ontrouve kp " k 0; " C 0 2 C 0 kf " k 0; "+2 C 0 kG " k 1; " +kf " k 0; " : Par suite kp " k 0; " C 1 kf " k 0; " +kG " k 1; " ; (2.4.13) oùC 1 = 2 C 0 +1 C 0

est une onstante positive.

De (2.4.11)et (2.4.13),on en déduit (2.4.10)ave C =C 0 +C 1 . 2.5 Régularité de u " et p "

And'étudier leproblème entempérature(2.3.6)nous avonsbesoind'établirun résultat de régularité sur (u

" ;p

"

(36)

Étant donnée une température T dans H 1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( "

), on her he le hamp

de vitesse v " dans V 0 ( " )\ H 2 ( " ) 3 et la pression p " dans L 2 0 ( " )\H 1 ( " ) tels que a " (T;v " ;v v " ) p " ;div(v v " ) +j " 0 (v) j " 0 (v " ) (f " ;v v " ) a " (T;G " ;v v " ); 8v 2V 0 ( " ); (2.5.1) q;div(v " ) =0; 8q 2L 2 0 ( " ); (2.5.2) où j " 0 (v)= Z ! k " jvjdx 0 ; 8v 2 H 1 2 (!) 3 : (2.5.3)

Dans la suite de ette se tion, on va étudier la régularité des solutions v "

et p "

du problème (2.5.1)(2.5.2). L'étude de ette régularité est basée sur la méthode de H. Brézis [6℄, qui onsiste à appro her la solution (v

" ;p " ) de l'inéquation(2.5.1) par (v " Æ ;p " Æ

) solution d'une équationobtenue en remplaçantj " 0

par une fon tionnelle régulièrej

" Æ

dans(2.5.1).Lerésultatd'existen e etd'uni itéde (v " Æ

;p " Æ

)est donnépar le lemme 2.5.1. On étudie ensuite dans la proposition 2.5.2 la régularité de (v

" Æ ;p " Æ ) dans H 2 ( " ) 3 H 1 ( "

). Le lemme 2.5.4 donne l'ordrede onvergen e de (v " Æ ;p " Æ ) vers (v " ;p " ) dans H 1 ( " ) 3 L 2 0 ( " ).

Soit Æ >0 un paramètre de régularisationsupposé petit, on introduit

j " Æ (v)= Z ! k " Æ (v)dx 0 ; 8v 2 H 1 2 (!) 3 ; où Æ

désigne larégularisationYosida de (z)=jzj :

Æ (z)= jzj Æ=2 si jzj>Æ; jzj 2 =(2Æ) si jzjÆ:

On a lespropriétés suivantes :

j " Æ (v) j " 0 (v) Æ 2 kk " k L 1 (!) ; 8v 2(H 1 2 (!)) 3 ; (2.5.4) lim t!0 1 t h j " Æ (v+tw) j " Æ (v) i = Z ! k " Æ (v):wdx 0 ; 8v;w2(H 1 2 (!)) 3 ; (2.5.5) où Æ

est lesous diérentielde Æ donné par Æ (v)= Æ (v)= z=jzj si jzj>Æ; z=Æ si jzjÆ:

Le problème régularisé asso iéà (2.5.1)(2.5.2)est le suivant:

(37)

vitessev " Æ dans V 0 ( " )\ H 2 ( " ) 3 etla pressionp " Æ dansL 2 0 ( " )\H 1 ( " ) solutions de a " (T;v " Æ ;v v " Æ ) p " Æ ;div(v v " Æ ) +j " Æ (v) j " Æ (v " Æ ) (f " ;v v " Æ ) a " (T;G " ;v v " Æ ); 8v 2V 0 ( " ); (2.5.6) q;div(v " Æ ) =0; 8q 2L 2 0 ( " ): (2.5.7)

Lelemmesuivantdonnel'existen e, l'uni itéetl'estimationaprioride (v " Æ ;p " Æ )dans V 0 ( " )L 2 0 ( " ).

Lemme 2.5.1. Sous les hypothèses du lemme 2.4.1, le problème (2.5.6)(2.5.7) admet une unique solution (v

" ;p " )2V 0 ( " )L 2 0 ( " ) ara térisée par a " (T;v " Æ ;v) p " Æ ;div(v) + Z ! k " Æ (v " Æ ):vdx 0 = =(f " ;v) a " (T;G " ;v); 8v 2V 0 ( " ); (2.5.8) q;div(v " Æ ) =0; 8q2L 2 0 ( " ): (2.5.9)

De plus, il existe une onstante positive C qui ne dépend que de , , de la onstante de Korn C K et du domaine " telle que kv " Æ k 1; " +kp " Æ k 0; " C kf " k 0; " +kk " k 1;! +kG " k 1; " : (2.5.10) Preuve. Lafon tionnellej " Æ

est onvexe,semi- ontinue inférieurementetpropre;d'aprèsla théorie standard de l'analyse onvexe (voirpar exemple [19℄), le problème de mini-misation:

Étant donnée une température T dans H 1 " L [ " 1 ( " )\C 0;1 ( "

), on her he le hamp de vitesse v " Æ dans V 0;div ( " ) solution de J Æ (v " Æ )= min v2V 0;div ( " ) J Æ (v); J Æ (v)= 1 2 a " (T;v;v) (f " ;v)+a " (T;G " ;v)+j " Æ (v)

a une unique solutionv " Æ ara tériséepar a " (T;v " Æ ;v v " Æ )+j " Æ (v) j " Æ (v " Æ ) (f " ;v v " Æ ) a " (T;G " ;v v " Æ ); 8v 2V 0;div ( " ): (2.5.11)

Commedans[35℄,pourmontrerl'existen ede lafon tions alairep " Æ telleque(v " Æ ;p " Æ ) est solution de (2.5.6)(2.5.7)on prend v =v

" Æ

t dans (2.5.11) ave arbitraire dans V

0;div (

"

), t>0 eton faittendre t vers 0 onobtient

(38)

On introduitla fon tionnelle linéairedénie sur V 0 ( )par F( ) = a " (T;v " Æ ; )+ Z ! k " Æ (v " Æ ): dx 0 (f " ; )+a " (T;G " ; ); 8 2V 0 ( " ): (2.5.13)

Elleestbornée.Eneet,parl'utilisationde(2.4.2),del'inégalitédeCau hy-S hwarz, de la ontinuité de l'appli ation tra e sur ! dénie de H

1 ( " ) 3 dans L 2 (!) 3 et du fait que j Æ (v " Æ

)j1 onobtient, pour tout dans V 0 ( " ), F( ) 2 kv " Æ k 1; " +j!j 1 2 C( " )kk " k 1;! +kf " k 0; "+2 kG " k 1; " k k 1; " C 0 kv " Æ k 1; " +kk " k 1;! +kf " k 0; " +kG " k 1; " k k 1; " ave C 0 = max 1;2 ;j!j 1 2 C( " ) , où C( "

) est une onstante dénie dans la

preuve du lemme 2.4.1et j!jdésigne lamesure de !.

On dénit un opérateur linéaireB de L 2 0 ( " ) dans V 0 ( " ) par : Bq;v 1 = Bq;v (H 1 ( " )) 3 = q;div(v) ; 8q 2L 2 0 ( " ); 8v 2V 0 ( " ):

On a lesdeux propriétés suivantes on ernant et opérateur[32, 33℄ : L'image R (B) de B est un sous espa e fermé de V

0 ( " ); V 0 ( " )=R (B)V 0;div ( " ).

La deuxième propriété qui est la dé omposition orthogonale de V 0

( "

) est due es-sentiellementà V. A. Solonnikovet V. E. £adilov [35℄.

En appliquant lethéorème de représentation de Riesz à F sur le sous espa efermé R (B),onen déduit l'existen e et l'uni itéde w2R (B)tel que

F(v)=(w;v) 1

; 8v 2R (B):

Enoutre,d'aprèsladénitiondeB,dé oulel'existen eetl'uni itédep " Æ dansL 2 0 ( " ) satisfaisant F(v)= p " Æ ;div(v) ; 8v 2R (B): Soit 2 V 0 ( "

). En utilisant la dé omposition orthogonale de V 0 ( " ), on é rit =v+, où v 2R (B) et 2V 0;div ( " ). En vertu de (2.5.12) et de (2.5.13) on a F()=0,d'où F( )=F(v)+F()=F(v)= p " Æ ;div(v) = p " Æ ;div( ) ; 'est à dire (2.5.8).

(39)

a " (T;v " Æ ;v " Æ )+ Z ! k " Æ (v " Æ ):v " Æ dx 0 =(f " ;v " Æ ) a " (T;G " ;v " Æ ); puisque p " Æ ;div(v " Æ ) =0.D'où 2 C K kv " Æ k 2 1; " j!j 1 2 C( " )kk " k 1;! kv " Æ k 1; " kf " k 0; "kv " Æ k 1; "+2 kG " k 1; "kv " Æ k 1; " par onséquent kv " Æ k 1; " C 1 (kk " k 1;! +kf " k 0; "+kG " k 1; "); (2.5.14) oùC 1 = C 0 2 C K . Puisque p " Æ est dans L 2 0 ( "

), ilexiste un élément w dans V 0 ( " ) tel que[33℄ div(w)=p " Æ et kwk 1; " C 0 kp " Æ k 0; "; oùC 0

estune onstantepositivequidépenddu domaine " .Enprenantv =w dans (2.5.8) onobtient kp " Æ k 2 0; " = a " (T;v " Æ ;w)+ Z ! k " Æ (v " Æ ):wdx 0 (f " ;w)+a " (T;G " ;w) 2 kv " Æ k 1; " +j!j 1 2 C( " )kk " k 1;! +kf " k 0; " +2 kG " k 1; " kwk 1; " C 0 C 0 kv " Æ k 1; " +kk " k 1;! +kf " k 0; " +kG " k 1; " kp " Æ k 0; " ; en utilisant(2.5.14) ona kp " Æ k 0; " C 2 (kk " k 1;! +kf " k 0; " +kG " k 1; " ); (2.5.15) oùC 2 =C 0 C 0 1+C 1 . De (2.5.14)et (2.5.15)on en déduit (2.5.10)ave C=C 1 +C 2 .

Remarque 2.5.1. Les deux problèmes (2.5.6)(2.5.7) et (2.5.8)(2.5.9) sont équi-valents. En eet, si (v " Æ ;p " Æ

) est solution de (2.5.6)(2.5.7) alors d'après le lemme 2.5.1 (v " Æ ;p " Æ ) est solution de (2.5.8)(2.5.9).

Inversement, d'après (2.5.5) et la onvexité de la fon tionnelle j " Æ on a Z ! k " Æ (v " Æ ):(v v " Æ )dx 0 j " Æ (v) j " Æ (v " Æ ); 8v 2 H 1 ( " ) 3 ; d'où (v " Æ ;p " Æ ) est solution de (2.5.6)(2.5.7).

Nous allons don travailler dans la suite ave le problème (2.5.8)(2.5.9).

Pour établir la régularité de v " Æ

et p " Æ

(40)

Dénition 2.5.1. Soit A un domaine borné de R de frontière A lips hitzienne. La distan e de z

0

2A à A le long de A est notée par d=dist(z 0 ). Alors H 1 2 00 (A)= n v 2H 1 2 (A) : d 1 2 v 2L 2 (A) o

est un espa e de Hilbert pour la norme

kvk 00;A = kvk 2 1 2 ;A + Z A jv(z 0 )j 2 dist(z 0 ) dz 0 1 2 :

Proposition 2.5.1. Soit Q=A(0;R ) un ylindre de R 3 ave R>0. On pose E(Q)= u2H 1 (Q) : u=0 sur QnA : Soient v 2H 1 2 00

(A) et w son prolongement harmoniquefaible sur Q déni par w=0 dans Q; w j A =v:

Alors, on a les équivalen es

kvk 00;A inf kuk 1;Q : u2E(Q);u j A =v krwk 0;Q :

Preuve. Pour plus de détail,voir [26, 34℄. Siu2E(Q) alors

v =u j A 2H 1 2 00 (A) et kvk 00;A Ckuk 1;Q :

Ré iproquement, haque fon tion v 2 H

1 2 00

(A) admet un prolongement u 2 E(Q)

telle que u j A =v et kuk 1;Q Ckvk 00;A :

Ce qui a hève la preuve de laproposition2.5.1.

Lemme 2.5.2. Soient A et A

1

deux domaines bornés de R 2

de frontières

lips hit-ziennes et supposons que dist(A;A 1 )> 0. Soient l un élément de H 1 2 00 (A 1 ) et ^ l son

prolongement par 0 dans A. Alors, ^ l est un élément de H 1 2 00 (A) et ^ l z i 2H 1 2 (A) H 1 2 00 (A) 0 ; ^ l z i H 1 2 (A) C(A;A 1 )klk 00;A 1 pour i=1;2:

Preuve. Il est évident que si l est un élément de H 1 2 00

(A 1

) alors son prolongement ^

l par 0dans A est un élémentde H 1 2 00 (A). Posons Q 1 = A 1 (0;R 1 ), où R 1

2 (0;R ) et prenons une fon tion régulière w déniesur Q

1

telle quew=0sur Q 1

nA.Soit w^ leprolongement de wpar 0 dans

Q. Don

w^

z j

(j = 1;2;3) sont aussi régulières sur Q et valent 0 sur QnA. Par

(41)

Z A w^ z 1 '(z 0 ;0)dz 0 = Z Q ' z 1 w^ z 3 ' z 3 w^ z 1 dz: (2.5.16)

Par argumentde densitél'égalité (2.5.16)est valable pour tout

w2E(Q 1 )= v 2H 1 (Q 1 ): v =0sur Q 1 nA 1 :

A e stade, on suppose que w est le prolongement harmonique faible de l sur Q.

Le prolongement par 0 de l dans A est noté par ^

l. De plus, pour tout u 2 H 1 2 00

(A) arbitraire,soit'2E(Q)sonprolongementharmoniquefaibledansQ.Don (2.5.16) implique Z A ^ l z 1 udz 0 = Z Q ' z 1 w^ z 3 ' z 3 w^ z 1 dz: Maintenant, ondénit ^ l z 1 2H 1 2

(A)par ette égalitéet onobtient alors

Z A ^ l z 1 udz 0 krwk 0;Q kr'k 0;Q ; 8u2H 1 2 00 (A):

Le as de i=2 sefait de la mêmemanière.

Notation. Nous rappelons la notationdu quotient des diéren es nies. Soient 2R et fe 1 ;e 2 ;e 3 g labase anonique de R 3 , onpose s i v(z)=v(z+e i ) et D i v(z)= 1 jj s i v(z) v(z) : Posons Q 2 =A 2 (0;R 2 ), oùA 2

est un domaineborné de R 2 de frontière lips hit-zienne etR 2 =R ave =(R R 1 )=2.

Il est bien onnu (voir par exemple [5℄) que, pour i;j = 1;2 et susamment petit, on a D i (uv)=u D i v + D i u s i v ; u;v 2E(Q j ); Z Q u:D i vdz = Z Q D i u :vdz; u;v 2E(Q j ); kD i uk 0;Q kruk 0;Q ; u2E(Q j ):

Lemme 2.5.3. Soient 0< < et i=1;2. Supposons que l 2H 1 2 00 (A 1 ), alors Z A D i l ' C(R )klk 00;A1 kr'k 0;Q ; 8' 2E(Q 2 ): (2.5.17)

(42)

1

désigner le prolongement par zéro de w dans Q. Ené rivant

D w(z)= 1 Z 0 s i t w z i (z)dt;

onobtient,pour tout '2E(Q 2 ), Z A (D l)'(z 0 ;0)dz 0 = 1 Z 0 Z A s i t w z i (z 0 ;0) '(z 0 ;0)dz 0 = 1 Z 0 Z A w z i (z 0 ;0) s i t '(z 0 ;0)dz 0 : Puisque s i t '(z 0 ;0)2H 1 2 00

(A)on utilise lelemme 2.5.2, ona

Z A (D l)'(z 0 ;0) dz 0 1 Z 0 Z A l z i (z 0 ;0) s i t '(z 0 ;0) dz 0 1 Z 0 l z i H 1 2 (A) ks i t 'k 00;A C(R )klk 00;A kr'k 00;A :

Ce qui a hève la preuve du lemme2.5.3.

Proposition 2.5.2. Supposons que f

" 2 L 2 ( " ) 3 , k " 2 H 1 2 (!), k " 0 presque partout sur !, g 2 H 3 2 ( " ) 3 , la fon tion "

estlips hitzienne surR derapport C

" et qu'ellevérie l'hypothèse (2.4.2),

" L et " 1 sont de lasseC 2 et! estde lasse C 3 . Alors la solution du problème (2.5.8)(2.5.9) vérie

v " Æ 2V 0;div ( " )\ H 2 ( " ) 3 ; p " Æ 2L 2 0 ( " )\H 1 ( " ):

De plus, il existe une onstante positive C qui ne dépend que de , , C ", de la onstante de Korn C K , du domaine " et de kTk C 0;1 ( " ) telle que kv " Æ k 2; " +kp " Æ k 1; " C kf " k 0; " +kk " k1 2 ;! +kG " k 2; " : (2.5.18)

Preuve. Noustraitons larégularitéà l'intérieurde " , auvoisinage de " 1 ,au voi-sinage de " L , auvoisinagede " 1 \ " L ,au voisinage de !\ " L et auvoisinagede !. La régularité à l'intérieur de " , au voisinage de " 1 et au voisinage de " L est bien onnue; voir par exemple [7℄ et [21℄. Plus pré isément, si O est un ouvert de

"

tel que

1. dist(O; "

) >0,où est onstante; ou

(43)

La régularité au voisinagede 1 \ L et auvoisinage de !\ L s'obtient omme dans [28, 29℄, puisque les angles sont de mesureinférieure ouégale à 90degrés.

Larégularité au voisinage de !. Soit x 0 2 ! et U 0 R 3 un voisinage de x 0 . Soit 2 C 1 (R 3 ) une fon tion de tron ature telle que

0 1; supp U 0 ; supp \ R 3 n " 6=;: Dans (2.5.8) et(2.5.9) on hoisit v = 2 et q = 2 , où 2 V 0 ( " ) et 2L 2 0 ( " ), onobtient a " (T;v " Æ ; 2 ) p " Æ ;div( 2 ) + Z ! ( 2 k " ) Æ (v " Æ ):dx 0 = =( 2 f " ;) a " (T;G " ; 2 ); 82 V 0 ( " ); (2.5.19) 2 ;div(v " Æ ) =0; 82L 2 0 ( " ): (2.5.20) Soit en ore a " (T; 2 v " Æ ;) 2 p " Æ ;div() + Z ! ( 2 k " ) (v " Æ ):dx 0 = =( 2 f " ;) a " (T; 2 G " ;)+F (); 8 2V 0 ( " ); (2.5.21) ;div( 2 v " Æ ) =G (); 82L 2 0 ( " ); (2.5.22) où F () = Z " " (T) 2 x j v " Æi + 2 x i v " Æj d ij ()dx 0 dx 3 Z " " (T) 2 x j i + 2 x i j d ij (v " Æ )dx 0 dx 3 Z " " (T) 2 x j i + 2 x i j d ij (G " )dx 0 dx 3 + + Z " " (T) 2 x j G " i + 2 x i G " j d ij ()dx 0 dx 3 + Z " p " Æ i 2 x i dx 0 dx 3 ; G () = Z " v " Æ i 2 x i dx 0 dx 3 :

Soient R un réelstri tementpositif,U un ouvert in lusdans U 0 et=( 1 ; 2 ; 3 ) une appli ationde U dans

~

U R

3

vériant lespropriétéssuivantes (voir[32,33℄ et aussi [37℄) :

(44)

4. (U \!)=S R fz =(z;z 3 ) : jzj<R etz 3 =0g; 5. 3 x j = j x 3 =0et 3 x 3 = 1 sur U \! (j=1,2); 6. :n(x) 7!n (z)~ (0;0; 1)pour x2U \! . On introduit E(Q R )= 2(H 1 (Q R )) 3 : (z)=0 pour jz 0 j=R ;z 3 =R ; E 0 (Q R )=f 2V(Q R ) : 3 =0sur S R g : On é rit z = (x) = ( 1 (x); 2 (x); 3 (x)), on transporte 2 v " Æ et 2 p " Æ sur Q R ; en posant ~ v " Æ (z)=( 2 v " Æ )(x) et p~ " Æ (z)=( 2 p " Æ )(x):

Pour lesdonnées, onpose

~ T(z)=T(x); ~ f " (z)= 2 f " (x); ~ k " (z 0 )= 2 k " (x 0 ); ~ G " (z)=G " (x): Pour tout ~ 2E 0 (Q R

) lafon tion dénie sur " par (x)= ~ (z) si z 2Q R 0 sinon est dans V 0 ( "

).Par onséquent, on obtientpar (2.5.21)et (2.5.22)

~ a " ( ~ T;v~ " Æ ; ~ ) ~ b ( ~ ;p~ " Æ )+ Z S R ~ k " (~v " Æ ): ~ dz 0 = = Z Q R ~ f " ~ Ja dz ~a " ( ~ G " ; ~ )+ ~ F( ~ ); 8 ~ 2V 0 (Q R ); (2.5.23) ~ b (~v " Æ ;)~ = ~ G();~ 8~2L 2 0 (Q R ); (2.5.24)

ave lesnotations suivantes :

(45)

oùa ijk , a ijk , a ij , a i et a i

sont des fon tions de lasse C 1 (Q R )qui ne dépendent que de etr. Soient R 1 2 (0;R ) et R 2 = R , où = (R R 1

)=2. Pour simplier les é ri-tures onpose Q i =Q R i ; S i =S R i (i=1;2); Q=Q R ; S =S R :

En re hoisissant la fon tion de tron ature si né essaire, onpeut supposer que

~ v " Æ 2E 0 (Q 1 ); ~ k " 2H 1 2 00 (S 1 );

A e stade, nous mentionnonsque

~ k " 2H 1 2 00 (S); k ~ k " k 00;S kkk1 2 ;! :

Dans la suite de lapreuve, on désigne par C k

(k 0), toute onstante positive qui

dépend de k x k j .

Soit 0< <. On xe i 2 f1;2g et on é rit D =D i . Alors D ~ v " 2 E 0 (Q 2 ) et par suite D D ~ v " Æ 2E 0 (Q 1 ). En hoisissant ~ =D D ~ v " Æ dans (2.5.23)onobtient ~ a " ~ T;v~ " Æ ;D D ~ v " Æ ~ b D D ~ v " Æ ;p~ " Æ + Z S R ~ k " (~v " Æ ):D D ~ v " Æ dz 0 = = Z Q R ~ f " D D ~ v " Æ Ja dz ~a " ~ G " ;D D ~ v " Æ + ~ F D D ~ v " Æ ; (2.5.25)

Expli itant haque terme de (2.5.25).

On a ~ a " ~ T;v~ " Æ ;D D ~ v " Æ )= Z Q 2 " ( ~ T) ~ d ij (~v " Æ ) ~ d ij (D D ~ v " Æ )dz = = Z Q 2D " ( ~ T) ~ d ij (~v " Æ ) ~ d ij (D ~ v " Æ )dz =~a " ~ T;D ~ v " Æ ;D ~ v " Æ )+K 1 ; (2.5.26) où K 1 = Z Q 2D " ( ~ T) ~ d ij (s ~ v " Æ ) ~ d ij (D ~ v " Æ )dz: En remplaçant D " ( ~ T)

par son expression onobtient

K 1 = Z Q 2 jj h " ( ~ T(z+)) " ( ~ T(z)) i ~ d ij (s ~ v " Æ ) ~ d ij (D ~ v " Æ )dz omme "