Effets de viscosité en régime dynamique pour les liquides newtoniens et non newtoniens

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Submitted on 1 Jan 1966

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Effets de viscosité en régime dynamique pour les liquides newtoniens et non newtoniens

U. Bernini, A. Carrelli, F. Porreca

To cite this version:

U. Bernini, A. Carrelli, F. Porreca. Effets de viscosité en régime dynamique pour les liq- uides newtoniens et non newtoniens. Journal de Physique, 1966, 27 (7-8), pp.489-494.

�10.1051/jphys:01966002707-8048900�. �jpa-00206433�

EFFETS DE

VISCOSITÉ

EN

RÉGIME DYNAMIQUE

POUR LES

LIQUIDES

NEWTONIENS ET NON NEWTONIENS Par U.

BERNINI,

A. CARRELLI et F.

PORRECA,

Istituto di Fisica

Sperimentale

dell’Università di

Napoli

Résumé. ²⁰¹⁴ Dans cet article nous avons calculé

l’impédance mécanique

^d’un

système

mobile dans un

liquide

^en condition de

résonance,

^et nous avons trouvé d’utiles relations pour ^mesurer les

grandeurs viscoélastiques

^des

liquides

newtoniens ou non.

Nous décrivons en

plus

^le

dispositif expérimental

réalisé pour le contrôle des différentes conclusions

qui dépendent

^du comportement ^{newtonien ou non des}

liquides

^examinés.

L’accord raisonnable entre nos

prévisions

^et

l’expérience

^nous donne confiance dans ce

dispo-

sitif

simple

^et sensible de mesure des coefficients

viscoélastiques,

^en

régime dynamique,

pour différentes

fréquences,

pour différentes

températures

^et pour différents

gradients

de vitesse.

Abstract. ²⁰¹⁴ In this paper ^we détermine the mechanical

impedance

^{of a device}

moving

ⁱⁿ

a

liquid

^at résonance, and the relations

by

^{which we are able to measure the} viscoelastic parameters of newtonian and non newtonian

liquids

^at different kinetic conditions.

The mechanical device used in order to

verify

^some

particular

conclusions

depending

^{on the}

newtonian or non-behaviour of the

liquids

^{is described.}

On the

ground

^{of the}

good

agreement ^{found we think we have at our}

disposal

^a

simple

^and

sensitive device for

measuring

viscoelastic coefficients in

dynamic

conditions versus the

frequency

^{and the}

velocity gradient

^{as well as}

temperature.

PHYSIQUE 27,

Introduction.

^- Dans cet

article,

^{on donne les}

premiers

résultats d’une étude du

comportement

viscoélastique

^de substances

liquides,

^en

régime dynamique,

^{au moyen} d’un viscosimètre à lame

vibrante, perfectionné

^par

rapport

^{à celui utilisé} dans des

précédents

^travaux

[1]

^et

[2] :

^on

^peut

^faire

des mesures à différentes

fréquences

^en

plus

^de

mesures à différentes

températures

^{et à différents}

gradients

de vitesse. Ce

dispositif

fonctionne à la résonance avec une amélioration notable de la sensibilité et

peut permettre

^la détermination des

composantes

^{réelles et}

imaginaires

^du coefficient de viscosité.

Le raisonnement suivant est fondé essentiellement

sur les conclusions

qui

^se

dégagent

^de

l’application

de

l’équation

^de Navier-Stokes aux

liquides

^incom-

pressibles,

^{à la}

place

^d’une

description plus

^diffuse

donnée par

l’équation

^des vibrations

élastiques

transversales.

A la

plus grande simplicité

^{de notre}

^façon

^{de pro-}

céder, s’ajoute

^{l’accord entre les}

prévisions

^{et les}

résultats

expérimentaux

^{obtenus avec des subs-}

tances de

comportement viscoélastique déjà

^connu.

1.

Description

^du

dispositif expérimental

^et

méthode de mesure. ^- Le

système oscillant,

^consis-

tant

1)

^{en une lame}

cylindrique (a)

^montée

rigidement

^{au milieu d’un}

support

^tubulaire

(b)

^de

cuivre

jaune,

^{est fixé au centre d’une}

petite

^barre

parallélépipédique (c)

d’aluminium ou autre maté- riau

élastique qui,

^{excité de}

façon convenable, peut

être mis en vibration forcée car il est fixé

rigidement

aux deux extrémités de deux barres verticales

qui

font

partie

^du

dispositif

^{de soutien de} l’ensemble du

montage.

FIG. 1.

La

fréquence

de résonance

dépend

essentiellement des dimensions de la

petite

^{barre : dans notre cas,}

elle

peut

avoir des valeurs

comprises

^{entre 30 et}

150 Hz. A chacune des deux extrémités du

support

tubulaire

(b)

^{est fixé une bobine coaxiale soumise à}

un

champ

d’induction

magnétique radial,

^constant

et

uniforme, perpendiculaire

^aux

spires

^{et à l’axe x}

de la bobine.

Dans l’une d’elles on fait circuler un courant

d’intensité variable ^et de

fréquence

^connue

qui

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002707-8048900

490

imprime

^au

système

^{une force}

périodique

^suivant

l’axe des x et de la forme :

m étant la

pulsation.

^{Par suite le mouvement du}

système produit

dans l’autre bobine une force élec- tromotrice mesurable en intensité et

phase

^sur

l’écran d’un

oscilloscope

^{et avec un voltmètre élec-}

tronique.

L’effet d’induction mutuelle entre les deux bobines ^est

négligeable,

^d’une

part

^{à cause de la} distance

qui

^les

sépare,

^d’autre

part

^{à cause de leur} faible coefficients d’induction.

Le

liquide

est contenu dans deux

cylindres

^de

hauteur h = 5 cm situés à une distance radiale 21 ⁼ 2 cm : la lame

cylindrique vibrante,

^dont

l’épaisseur

^est de l’ordre de 10-2 cm, ^{met en} vibra- tion la couche

cylindrique liquide

^{médiane à une}

distance 1 == 1 ^cm des

parois

^du

récipient.

Dans les conditions de résonance du

système, quand

^{la lame est mise en vibration} par ^une force extérieure

périodique,

il faut aussi tenir

compte

^du fait _que, sur le

système vibrant, agit

^{une force}

amortie

.F’L dépendant

^des

propriétés

^{de viscosité du}

milieu dans

lequel

^{la lame est}

immergée.

^{Si on}

appelle

^{S la} surface de la lame et si on suppose

qu’elle

^{vibre dans une direction x,}

parallèle

^{à son}

axe, ^{avec une}

pulsation

^{lù, au centre d’une couronne}

cylindrique

^et

coaxiale, d’épaisseur

^{21 contenant un}

liquide

^{de densité} p, la force F est donnée par

(3) :

où i est la vitesse du

système rigide

^{oscillant à}

l’instant t considéré et

ZL l’impédance mécanique

par unité de surface de la lame ^en contact direct

avec le

liquide ;

^{elle sera}

généralement complexe

^et

de la forme :

Pour décrire le

comportement physique

^du

liquide

en

expérience

^{avec la}

plus grande généralité,

^{on con-}

sidère que le coefficient de

viscosité y

^est

complexe, soit y

⁼

(LI - i(L2

avec (L2 =

G’Icü [4],

^{G’ étant la}

rigidité

^{du milieu. On}

rappelle

que, ^en

posant

@

l’expression complexe

^de

^ZL,

trouvée dans un travail

précédent [1]

^comme

appli-

cation de

l’équation

^de Navier-Stokes est donnée par :

Par

conséquent

^{on trouve, avec les conditions}

posées,

^à

partir

^de

l’équation caractéristique

^des

oscillations forcées du

système

^{soumis à une force}

extérieure

périodique,

que la vitesse x du

système vibrant,

^{avec la lame}

immergée

^{dans le}

liquide,

^est

donné _{par :}

m étant la masse, oei la

pulsation

propre ^et

Z l’impédance

^du

système quand

^{il oscille à l’air. La}

relation

(3)

^{est valable dans}

l’hypothèse

^{de couches}

très minces et de forces

faibles,

^on

peut négliger

ainsi les effets de turbulence du

liquide

^{dus aux}

mouvements de bord.

La relation

(3)

^montre que : 1° x ^est

déphasé

par

rapport

^{à la force}

appliquée

^{et 2°}

l’amplitude xo

^est

donnée _{par :}

De

l’équation (4),

^{on tire} que

l’amplitude

^maxi-

mum

possède

^{une valeur Mr de 6)} pour

laquelle

et son

expression

^est la suivante :

Par

suite,

^la détermination

expérimentale

^de

(xo)

^et

des

pulsations

^de résonance mi

(lame

^dans

l’air)

et CÜr

(lame

^{dans le}

liquide)

^et la connaissance des autres

paramètres

^du

système,

c’est-à-dire

Zo,

^S

et

,F’o, permet

de calculer

Z~

^et

Z~

^à

partir desquels

on

peut tirer,

^au moyen de la relation

(2),

^{les deux}

quantités

~,1 ^et fL2.

En

posant

^_

l’amplitude

^{de la}

vitesse

qu’acquiert

^{la lame}

lorsqu’elle

vibre dans

l’air,

^{dans les} conditions de

résonance,

^{on obtient}

facilement les

expressions

^suivantes pour

Z~

^et

Z~

1/k

^{étant le} coefficient de

proportionnalité

^entre

l’amplitude

de la vitesse et celle de la f. e. m.,

d Vo

^{induite dans la bobine}

réceptrice.

^{En tenant}

compte

maintenant de

l’expression (2)

^de

ZL,

^{il est}

intéressant de considérer deux cas

particuliers :

Dans le cas

a),

^{on a coth}

(1 ⁺ i) ^1,

^d’où

ZL

⁼

(1 + 1)>p,

^ce

qui

^donne facilement les relations suivantes

qui expriment

{LI ^et fonction de

Z[

et de Z"L :

Dans le cas d’un

liquide

^newtonien

(~2

⁼

0),

^la

relation

(7)

permet d’obtenir :

et le coefficients

dynamique

^{de viscosité ~,1 est donné}

par : ^{O O}

En outre, ^des

équations (8)

^et

(6),

^il doit résulter tô, > c’est-à-dire _que l’on

peut prévoir

pour les

liquides

newtoniens : 14 une diminution de

l’ampli-

tude de la

vitesse ;

^{2~ une} diminution de la fré- quence de résonance d’autant

plus

^forte que le

liquide

^est

plus visqueux.

En ce

qui

^{concerne les}

liquides viscoélastiques (~,2 0)

^{il doit résulter}

(pour

^la

signification phy- sique

^{de et en} conservant

ZL

>

0)

de la pre- mière des

équations (7) : ZI

> 0. Ce résultat entraîne deux

conséquences :

^{la variation}

de la

fréquence

^du

système

^{doit être}

négative,

voir

(6),

et, ^en outre, ^si l’on considère

l’expression

de

Z~ :

Z"L sera

^fonction croissante de

fkl et

décroissante de _tL2.

En d’autres termes, la variation de

fréquence (en

^valeur

absolue)

^doit

augmenter

^{avec la viscosité}

dynamique

^{et diminuer}

lorsque

^{fk2 croît.}

Dans le cas

b),

^de

pl)

^«

^1,

il résulte :

et

(5’)

^et

(6)

donneront :

c’est-à-dire _{que ~1} et ~2 ^sont directement _propor- tionnels ^aux

parties

^{réelles et}

imaginaires

^de

l’impé-

dance du

système

^oscillant.

En outre, pour ^un

liquide

^newtonien

^(f.L2

⁼

0), on

doit

avoir,

y dans ces

conditions,

^une

^variation

^nulle

de la

fréquence

de résonance.

Dans le cas d’un milieu

viscoélastique ^{(~,~ ~} 0),

il résulte de

(13)

^{une variation}

positive

^{Du de la}

fréquence

^de

résonance, dépendant exclusivement

de la valeur ou, si _{V’ 2} ⁼ d’autant

plus

élevée _que la

rigidité

^{du milieu en}

expérience

^est

plus

^élevée.

L’ensemble des résultats obtenus est en accord

avec ceux obtenus _par d’autres

[5]

attribuant au

milieu les

propriétés

^d’un solide sollicité _par des vibrations transversales et caractérisé _par un module de

rigidité complexe :

En leur

appliquant l’équation générale

^{des ondes :}

selon les valeurs de G* on a des variations corres-

pondantes

^{de la}

fréquence

^{de résonance du}

système.

2. Résultats

expérimentaux

^et conclusions. ^- Dans ce

paragraphe

^on

présente

^les

principaux

résultats

expérimentaux qui

vérifient la théorie

pré-

cédente. Ils se

rapportent

^{à une}

fréquence

^d’environ

50 Hz et à une seule valeur de la force extérieure donc de

l’amplitude

^{de la} vitesse. On se réserve d’étendre les résultats actuels ^en fonction de la fré- quence ^et du

gradient

de vitesse dans des articles ultérieurs.

Pour la vérification

expérimentale

^{dans le cas des}

liquides newtoniens,

^nous donnons les résultats obte-

nus avec une solution _aqueuse de saccharose

(C. Erba), quasi

^{saturée : c = 65}

%

^{à 20}

’OC,

^subs-

tance de

comportement

^{newtonien connu et}

généra-

lement utilisée _pour

l’étalonnage

^des viscosimètres.

Pour l’étude du

comportement viscoélastique,

nous avons

pris

^une solution de

polystyrène

^de

poids

FIG. 2.

492

moléculaire ⁼ 520 000 dans la

diméthylf ormamide,

solution

déjà

^{très utilisée} par

beaucoup

^{de cher-}

cheurs,

^ainsi que des

dispersion

^{en solution aqueuse}

de saccharose de fibres

élastiques

de cellulose de conifères dans du bisulfite

(de

^{l’Ente Natio-}

nal

Cellulose,

^transmise par le pr

Segre)

dont la lon- gueur ^est du même ordre de

grandeur

que les dimen- sions transversales du

récipient (cliché

^au

microscope

de la

figure 2, agrandissement 50) .

Nos recherches ont

porté

essentiellement sur la validité de la relation

(5)

^et donc de la relation

(1),

c’est-à-dire sur la non

dépendance

^de

ZL

^avec

Fo,

nous avons trouvé que

(1)

^{est valable} pour des valeurs suffisamment

petites

^de

Fo.

L’amplitude

de la f. ^{e. m.}

induite AV0 (ocxo),

mesurée dans des conditions de

résonance,

^{en fonc-} tion de l’intensité du

courant io (oaFo)

^circulant

dans la bobine

primaire,

^{est montrée}

( fig. 3 ;

FIG. 3.

courbe

a)

l’allure linéaire dans le cas du mouvement

de la lame dans l’air et courbes

b)

^et

c) respecti-

vement celles relatives au mouvement dans l’eau et dans la solution de saccharose _pour une même super- ficie de la lame

immergée.

Pour les solutions de

saccharose,

^{la condition}

pl)

^{» 1 est} bien vérifiée dans ^nos

conditions,

pour

un

large

intervalle

thermique (10

^{- 30}

OC)

^comme

on peut le calculer sur la base des valeurs du coeffi- cient de viscosité connu. En mesurant les

impé-

dances dans de telles conditions nous avons obtenu les valeurs

reportées

dans le tableau

I,

elles vérifient

assez bien la relation

ZL

⁼

Z~ (8)

^du

précédent paragraphe).

En outre, les variations de

fréquence

de résonance en fonction du coefficient de viscosité

( fig. 4)

s’accordent avec la diminution

prévue

^{et les}

valeurs de obtenues à

partir

^{de la relation}

(9)

FIG. 4.

coïncident,

aux erreurs

près,

^avec celles du coeffi- cient de

viscosité -1

^{mesuré au} viscosimètre d’Ostwald

(tableau 1).

TABLEAU 1

Pour satisfaire à la condition «

1,

^sans

changer l,

nous avons abaissé la

température jusqu’à

- 10

OC, température

pour

laquelle

^{elle est}

large-

ment satisfaite et, ^{dans ces}

conditions,

^{on vérifie}

parfaitement

^{la relation Lw = 0 comme cela est}

montré

(fig. 5)

^{où l’on}

porte

^les valeurs de Av en

FIG. 5. ^- La courbe

supérieure

^{est la courbe e.}

fonction de la

fréquence

^{aux environs de 52 Hz. La}

courbe

e)

^{est relative au}

système

^{oscillant dans l’air}

pt les courbes

f )

^et

g)

^{à une lame oscillant dans le}

liquide

^{à une}

profondeur

^{de 5 et 20 mm}

respecti-

vement.

Il faut remarquer, ^{en ce}

qui

^{concerne la vérifi-}

cation des effets

prévus

^{pour les}

liquides

^viscoélas-

tiques, qu’il

^n’est pas

possible

^de

calculer,

^a

priori,

la valeur de

~l,

^{la valeur de [J.2 n’étant} pas connue, à la différence des

liquides

newtoniens _pour

lesquels

[J.2 ⁼ 0 et p., coïncide avec le

coefficient 1)

^{de visco-}

sité mesurable au viscosimètre d’Ostwald. Ainsi donc il n’est _pas

possible

^{de connaître} exactement les limites de validité des cas

a)

^et

b)

^du

paragraphe précédent.

Toutefois _pour des valeurs élevées de la _compo-

sante

complexe

[J.2 de la

viscosité,

^{ou de la}

rigidité G’,

il est à

prévoir

^{une variation}

positive caractéristique

de la

fréquence

^{de résonance en fonction} de celle du

système

^{libre mais} pour des valeurs suffisamment

petites

^{de 03BC2, des} variations

négatives

^de

^Av

^telles

que

ZL

>

Z~.

Ce

comportement caractéristique

de substance

viscoélastiques

pour des variations de leurs condi- tions

physiques

^a été trouvé aussi bien _pour une

solution de

polystyrène

^{dans la}

diméthylformamide

à 20 °C à diverses concentrations

( fig. 6)

que pour

FIG. 6.

une

dispersion

de cellulose de conifère en solution acqueuse de

saccharose,

^{à diverses}

concentrations,

à 10 oC et 24 OC

( fig. 7).

Un

comportement analogue

^{a lieu aussi} pour la

glycérine (produit ^Merk) qui,

^à très basse

tempé-

~

F i c.. 7.

rature, ^{a un}

comportement viscoélastique

^net

8).

^{Il faut noter que, si elle obéissait à un com-}

portement newtonien,

la courbe devrait _{passer par} les

points marqués

^{de croix}

( X

^X

X ) qui

^{ont été}

calculés sur la base des valeurs des

coefficients Y)

^de

viscosité mesurés au viscosimètre d’Ostwald.

FIG. 8.

494

En

conclusion,

il semble

qu’un

^accord raisonnable existe entre l’ensemble des résultats déduits de l’étude des

propriétés

de viscosité des fluides en

régime dynamique

^{et ceux vérifiés}

expérimenta-

lement avec

quelques liquides qui

peuvent ^être considérés comme

liquides types.

Cet accord autorise

l’application

^{de notre méthode}

expérimentale

^à la détermination du coefficient de

viscosité en

régime dynamique

^et les recherches ulté- rieures tendront à établir la

dépendance

^{des coef-}

ficients de viscosité _~1 ^et _~2 ^avec la

fréquence,

^la

température

^{et le}

gradient

de vitesse dans le but de

comprendre

les facteurs structuraux

qui

^influent

sur le

comportement

^{newtonien ou non des}

systèmes

naturels fluides.

Manuscrit _reçu le 24 Février 1966.

BIBLIOGRAPHIE

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^{sont très} utilisées dans la

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