MODÈLES D'UNIVERS NEWTONIENS

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MODÈLES D’UNIVERS NEWTONIENS

J. Petit

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JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque Cl, supplément au n° 5, Tome 39, Mai 1978, page Cl-197

MODÈLES D'UNIVERS NEWTONIENS

J. P. PETIT (*)

Observatoire de Marseille, 2, Place Le Verrier, 13 Marseille, France

Résumé. — L'auteur reconstruit les modèles classiques d'Univers newtoniens (Milne et Me Créa 1934 ; Heckman et Sûcking, 1958) à partir de l'équation de Vlasov. On montre que ces modèles reposent sur l'hypothèse unique d'équilibre thermodynamique local du fluide cosmologique. La méthode est étendue à un Univers tournant newtonien avec charges + q et — q. La grandeur caractéristique Rit) obéit alors à l'équation :

J?2 R + | — - ^ ( / ? i + PRUM) = 0

où BR est la constante épicyclique et 6M le paramètre de Hall.

Abstract. — Classical newtonian world models (Milne and Mc Crea, 1934; Heckman and

Sucking, 1958) are derived from the Vlasov equation, with the only hypothesis of local thermo-dynamic equilibrium. The method is extended to a rotating newtonian system with charges + q, — q. The characteristic lenght R(t~) is found to obey the following equation :

i ?2£ + | — ~(fl + PR0M) = 0

where PR is the epicyclic constant and (SM the Hall parameter.

1. Introduction. — Les modèles d'Univers

instation-naires, en expansion uniforme ou cycliques, avec ou sans constante cosmologique, sont nés dans le creuset de la relativité généralisée. En 1934 Milne et Mac Créa [1] montrèrent qu'on pouvait retrouver les grandes lignes de ces théories en utilisant une approche newtonienne, basée sur la résolution de l'équation de Poisson et des équations de la mécanique des fluides classiques décrivant le fluide cosmologique. L'espace est alors euclidien et la force de gravitation newtonienne est censée agir instantanément en tout point. A l'hypothèse cosmologique habituelle (uni-formité du milieu) il est nécessaire d'adjoindre la loi de Hubble. Dans ces conditions, si n est le nombre de densité du milieu et R = ( « )_ 1 / 3 la dimension caractéristique, on obtient l'équation :

R2 R + | = 0 . (1)

On retrouve l'équation obtenue par Friedman. Cette approche newtonienne peut être considérée comme une approche à la fois tangente (euclidien tangent) et asymptotique (vitesse de la lumière tendant vers l'infini) vis-à-vis de l'approche R. G.

En 1958 Heckman et Sucking [2] étendirent cette approche à l'étude des systèmes en rotation, initiée dans le contexte relativiste par Gôedel. R(t) obéit alors à ce que l'on appelle une pseudo-équation de Friedman :

(*) Chargé de Recherche au C. N. R. S.

R2R + \ - ~ f â = 0 (2)

où pR est la constante épicyclique du milieu. La

solu-tion est assez voisine de la classique solusolu-tion de Friedman, à la différence près qu'il n'y a plus d'état hyperdense.

Dans les travaux [3] et [4] l'auteur a réédité cette démarche en partant cette fois du couple constitué par l'équation de Boltzmann et l'équation de Poisson (attachée au potentiel gravitationnel i//). Le résultat est identique et il ne faut pas s'en étonner car l'équa-tion de Boltzmann contient a priori les équal'équa-tions de la mécanique des fluides qui n'en sont que les moments d'ordre zéro, un et deux.

L'aspect intéressant de cette étude est peut-être l'hypothèse qui sert de point de départ, et qui concerne la forme de la fonction de distribution de la vitesse, qui est prise maxwellienne. A partir de cette hypothèse locale et unique, on retrouve l'ensemble des aspects des solutions (1) et (2). Résumant ce travail on pour-rait dire : si le fluide cosmologique est en équilibre thermodynamique local, alors il est homogène (on démontre l'inexistence des solutions non homogènes), et son faciès cinématique correspond à une super-position d'un champ de vitesse de Hubble (vitesse radiale proportionnelle à la distance à l'observateur) et d'une rotation instationnaire en corps solide. De plus R{t) doit obéir à l'équation (2).

2. Introduction de l'électromagnétisme. — On con-naît les difficultés rencontrées en relativité générale

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dès que l'on tente d'introduire des champs électriques et magnétiques. On peut alors se demander si Sappro- che newtonienne, si simple dans son mécanisme,

ne pourrait pas fournir quelques renseignements utiles dans ce chemin difficile qui mène vers une

théorie unitaire. Dans une note récente [5] Sauteur formule le problème dans les termes suivants : on assimile le fluide cosmologique à un mélange binaire de particules chargées, les éléments des deux populations ayant même masse m et des charges opposées

+

q et

-

q. Chaque population doit donc obéir à une équation du type :

On suppose que ce système est non collisionnel. Le couplage des deux solutions apparaît au niveau des forces F, et F,, qui contiennent les effets gravi- tationnels et électromagnétiques.

Le système doit satisfaire d'une part aux équations de Maxwell, d'autre part à l'équation de Poisson du potentiel gravitationnel. S'inspirant du travail pré- cédent on reconduit ici encore l'hypothèse de l'équi- libre thermodynamique local. Donnons quelques indications, évidemment succinctes, sur la technique de calcul. L'introduction, dans l'équation de conti- nuité de Boltzmann, d'une solution maxwellienne (sphérique) conduit à un polynôme de degré trois en u, v, w, composantes de la vitesse de l'élément. Ces quantités étant des variables indépendantes on peut alors identifier terme à terme, sur les différentes puissances. C'est la classique méthode de Chandra- sekhar. Les dix équations à l'ordre trois (termes en u3, v3, w3, uZ v, etc ...) sont satisfaites pour aTi/ar = 0.

Le milieu est donc homogène en température (ce qui complète l'hypothèse de l'équilibre thermodynamique). Les six équations à l'ordre deux fournissent des renseignements sur le champ de vitesse macros- copique. On retrouve ici encore une superposition du champ de Hubble et des rotations en corps solide. Ces rotations doivent avoir un axe commun et s'effec- tuer en sens inverse. De cette manière on obtient un champ magnétique et un vecteur densité de courant non nuls. La vingtième équation (termes d'ordre zéro) traduit l'isentropie ; n

-

T ~Les couplages n'inter- ~ ~ .

viennent qu'au niveau des équations d'ordre unité, que nous allons écrire :

Ces équations ne sont autres que le classique F = my,

écrit pour chaque espèce.

A ce stade il faut d'une part que les équations de Maxwell soient satisfaites, puis, qu'il y ait dégéné- rescence des deux équations d'ordre un (ci-dessus). Enfin l'équation de Poisson gravitationnelle fournit la solution R(t) sous forme d.'une équation différen-

tielle. On suppose tout d'abord que le milieu est homogène en densité, c'est-à-dire que le champ électrique E, y est nul et que ce plasma est neutre. Nous donnons à B la forme B(t) k, où k est un vecteur fixe de l'espace (précisément celui autour duquel s'effectuent les rotations en corps solide des deux populations). D'après les équations de Maxwell le champ électrique Et, dû à la variation de B dans le temps, vaut :

tandis que le courant électrique J est :

Ceci est, notons-le au passage, compatible avec cette double rotation en corps solide des espèces chargées autour du vecteur k. Introduisons ceci dans les équations (4) et (5). La compatibilité est alors obtenue sous deux conditions. La température du milieu varie comme la vitesse angulaire (mais ceci est aussi une propriété des solutions maxwelliennes purement gravitationnelles). D'autre part le champ magnétique B doit varier comme l'inverse du carré de la grandeur

R. Cette dernière condition a une signification phy-

sique évidente. Notre plasma est complètement ionisé et non collisionnel. 11 a donc une conductivité élec- trique infinie. Par conséquent un nombre de Reynolds magnétique également infini. Cette relation entre B

et R ne fait que traduire le couplage intime entre les

lignes de champ B et le plasma (champ frozen in). L'introduction de l'équation de Poisson mène à l'équation en R(t). L'équation trouvée est originale, quoique très voisine de l'équation de Heckman et Sücking. On y voit intervenir un paramètre de Hall

PM

qui est le produit de la gyrofréquence caractéris-

1

- * + Y ( E + E ~ +

< v > ,

X B ) =

ar m tique du système et du temps de Jeans.

- - -

a+

~ ( E + E ~ + < V > , X B ) =

dr m Comme

PR

et

DM

sont toutes les deux des constantes,

D z < V > , l'équation (9) ne diffère pas formellement de l'équa-

-

Dt (5) tion (2).

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s'effectuent les rotations en corps solide, et en dehors duquel le vecteur densité de courant J n'est plus nul. Il y a donc perte du caractère cosmologique. Lors- qu'une population, considérée isolément, tourne en corps solide, ceci a un caractère cosmologique. En effet il y a une direction de rotation, mais pas d'axe fixe. Cet univers présente la même apparence pour tout observateur lié au fluide. C'est une propriété remarquable de ce champ de vitesse en corps solide. Mais lorsqu'on considère deux populations tournant en sens inverse, la propriété n'est plus vraie, et la perception de la vitesse des deux populations dépend de la position de l'observateur. On pourrait remédier à cette carence en proposant le modèle suivant :

deux populations sont dans des espaces El et E, différents mais évoluent suivant un temps commun t. A l'instant on peut dans chaque espace calculer les champs gravitationnel, électrique, magnétique, créés

par les éléments qui s'y trouvent. Nous pouvons supposer que chaque point Pl de l'espace E, peut

être associé à un point correspondant

P,

de l'espace E,. ,Puisque l'élément 1 situé dans E, est sensible, non seulement aux champs créés par les autres élé- ments de la population 1, mais aussi aux champs créés, en Pz, par les éléments de la population 2. Et vice versa. On obtient ainsi un modèle d'Univers Jumeaux dialoguant par l'intermédiaire de leurs champs, grandeurs macroscopiques. Dans ces conditions un élément 1 ne peut plus percevoir la vitesse des éléments de 2, puisqu'ils ne sont plus dans le même espace, et le modèle retrouve son aspect cosmologique. Formellement cette double solution newtonienne s'identifie à la solution présentée plus haut. En particulier on obtient la même équation en R(t). Ce système n'est pas sans évoquer la dualité matière anti-matière.

Bibliographie

[l] MAC CREA, W. H. et MILNE, E. A., Q. J, Meeh. Appl. 141 PETIT, J. P. et MONNET, G., Entropie maximale et univers

Math. (1934) 73. tournants, C. R. Aead. Sei., Ser. B Paris 280 (1975)

121 HECKMAN, O. et SÜCKING, E., Worlds models SEU (1958) 733.

148. [5] PETIT, J. P. et MONNET, G., Esquisse d'une théorie newto-

[3] PETIT, J.-P. et MONNET, G., Entropie maximale et cosmologie nienne des champs unifiés, C. R. Acad. Sei. Paris de Friedman, C. R. Acad. Sei., Ser. A Paris 280 (1975) 283 (1976) 1057