AL3 – Matrices - Cours -

AL3 – Matrices

- Cours -

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1 DÉFINITIONS 3

1.1 MATRICE DE DIMENSION (N, P) 3

1.2 MATRICES CARRÉES ET VECTEURS 3

1.3 MATRICES CARRÉES PARTICULIÈRES 3

1.4 MATRICE TRANSPOSÉE 4

2 OPÉRATIONS SUR LES MATRICES 4

2.1 MULTIPLICATION D’UNE MATRICE PAR UN SCALAIRE 4

2.2 ADDITION MATRICIELLE 4

2.3 PRODUIT MATRICIEL 6

2.4 DÉTERMINANT D’UNE MATRICE CARRÉE 9

2.5 MATRICE INVERSE 13

3 EXEMPLES 16

3.1 RÉSOLUTION D’UN SYSTÈME D’ÉQUATIONS 16

3.2 CHANGEMENTS DE BASE 19

4 APPLICATIONS LINÉAIRES 22

4.1 DÉFINITION 22

4.2 CHANGEMENT DE BASE 22

4.3 VALEURS PROPRES, VECTEURS PROPRES 23

4.4 DIAGONALISATION D’UNE MATRICE CARRÉE 26

1 Définitions

1.1 Matrice de dimension (n, p)

Une matrice (n, p) est simplement un tableau de scalaires composé de n lignes

( )

Lⁱ _{1≤ ≤}i n et de p colonnes

( )

C^j j p

≤ ≤

1 . Ces scalaires sont par exemple des nombres réels (mais pas forcément !). Ainsi la matrice Anp contient n×p éléments aij rangés comme suit (par convention d’indices) :

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

j p

j p

np

i i ij ip

n n nj np

 

 

 

 

= 

 

 

 

 

 

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a

Une matrice se note principalement entre parenthèses (parfois entre crochets : Anp = [aij]).

Deux matrices sont égales si elles sont identiques. Ainsi, elles sont nécessairement de même dimension (n, p) et de sorte que : A= ⇔ ∀B

( )

i j^, ∈

[ ] [ ]

1^,n × 1^,p ^,aij =bij

1.2 Matrices carrées et vecteurs

Lorsque p et n sont égaux , la matrice est dite carrée de dimension (n, n) ou plus simplement de dimension n. Pour une telle matrice, on nomme diagonale principale la liste

( )

^aii 1≤ ≤i n.

Exemple :

−

 

 

= 

− 

 

1 3 1

3 4 5

2 0 2

A

Lorsque p = 1, on parle de matrice à une colonne, ou encore de vecteur.

Exemple (dimension 3) :

 

 

= 

− 

 

1 5 3 V

Nous travaillerons plus principalement sur ces deux types d’objets, en dimension 2 ou 3.

1.3 Matrices carrées particulières

1.3.1 Matrices carrées symétriques

Une matrice carrée est symétrique lorsque l’on a :

[ ]

, , _{ij ji}

i j n

∀ ∈ 1 a =a Ex :

−

 

 

= − 

− 

 

1 3 1

3 2 5

1 5 4

A

1.3.2 Matrices carrées triangulaires

Une matrice carrée est triangulaire lorsque tous les éléments situés soit en dessous soit en dessous de sa diagonale sont nuls :

ij ij

j< ⇔i a =0 ou j> ⇔i a =0

Exemple :

−

   

   

=  = − 

   

   

1 1 4 1 0 0

0 2 8 ou 6 2 0

0 0 3 5 0 4

A A

triangulaire supérieure / inférieure

a ij _j

= N° de colonne

i

= N° de ligne L2

Cj

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1.3.3 Matrices carrées diagonales

Une matrice carrée est diagonale lorsque tous les éléments situés en dehors de sa diagonale principale sont nuls : i≠ ⇔j a_ij =0

Exemple :

 

 

= − 

 

 

1 0 0

0 2 0

0 0 4

A

déf : matrice Identité : matrice diagonale dont les termes valent 1. Ici en dimension 3 :

Toute matrice multiple de la matrice identité est dite matrice scalaire.

 

 

= 

 

 

3

1 0 0 0 1 0 0 0 1 I

1.4 Matrice transposée

La matrice transposée d’une matrice A , notée ^TA, est obtenue à partir de A en échangeant lignes et colonnes. Si A est de dimension (n, p), alors ^TA est de dimension (p, n).

Donc pour une matrice carrée de dimension n : pas de changement de dimension. Il suffit d’opérer une symétrie par rapport à la diagonale principale. Enfin, les éléments aii situés sur cette diagonale ne « bougent » pas.

Remarque : toute matrice symétrique est sa propre transposée.

Exemple :

 

 

=

 

 

 

 

 

=

 

 

 

T

1 4 7 2 5 8 3 6 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

A

2 Opérations sur les matrices

2.1 Multiplication d’une matrice par un scalaire

Multiplier une matrice par un scalaire λ, c’est multiplier chacun de ses termes par λ ^:

( ) ^{i j ,} [ ] [ ] ^{, n , p ,}

^{ij ij}

λ λ

= ⇔ ∀ ∈ 1 × 1 =

B A b a

2.2 Addition matricielle

L’addition de deux matrices est définie à condition qu’elles soient de même dimension.

Le résultat est une matrice de même dimension.

Soient A et B deux matrices de dimension (n, p), la matrice somme C est de même dimension et obtenue en additionnant les éléments de même position :

C = + ⇔ A B c

_ij

= a

_ij

+ b

_ij

Élément neutre de l’addition

Une dimension (n, p) choisie, l’élément neutre de l’addition est la matrice nulle O = [0] telle que

A + O = A. Tous les éléments de cette matrice sont égaux à zéro.

L’addition est une opération bilinéaire

Soient A et B deux matrices de même dimension (n, p) et la matrice C, combinaison linéaire de A et B.

Alors les éléments de C sont obtenus par la même combinaison linéaire des éléments de A et B de même emplacement :

C = λ

a

A + λ

b

B ⇔ c

_ij

= λ

a

a

_ij

+ λ

b

b

_ij

1.

. . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

. . . . . . . . .

. . . .

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

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2.3 Produit matriciel 2.3.1 Cas général

Pour pourvoir multiplier une matrice A de dimension (n, p) par une matrice B , il faut et il suffit que B ait autant de lignes que A a de colonnes : que B soit de dimension (p, r).

À ce moment-là :

• La matrice produit AB a le même nombre de lignes que A, soit n

• La matrice produit AB a le même nombre de colonnes que B, soit r

A(n,p)

que multiplie

B(p,r)

donne

AB(n,r)

(on entrevoit que le produit AB ne vaut sans doute pas BA, si toutefois ce dernier existe !) Ainsi dans le cas courant des matrices carrées, celles-ci doivent être de même dimension.

Méthodologie :

(on note C la matrice produit AB)

Attention :

1. La multiplication matricielle n’est pas commutative (sauf cas particuliers) : en général, AB ≠

BA

2. AB = O peut être obtenu avec deux matrices A et B non nulles

Un exemple pour l'illustrer, dans l'espace des matrices carrées de dimension 2 : posons A² - 3A + 2I = O.

On peut être tenté d'identifier cette équation à x² - 3x + 2 = 0, calculer son discriminant, égal à 1, et citer ses solutions, 1 et 2, pour conclure que A = I ou A = 2I. En effet, ces deux matrices sont solutions de l'équation A² - 3A + 2I = O, et d'ailleurs A² - 3A + 2I = (A – I)(A – 2I). Mais il y a d'autres solutions pour A : ce polynôme matriciel est nul avec A =

1 0

0 2

 

 

 

, par exemple. (sauriez-vous trouver toutes les matrices A, 2x2, solutions ?)

* S'il existe un entier k tel que A^k = O, alors la matrice A est dite nilpotente. Si A et B commutent (AB = BA), alors A+B et AB sont deux matrices nilpotentes ;

* Si A et B sont diagonales (resp. scalaires), alors AB l'est aussi (constituée des produits deux à deux des termes diagonaux de A et de B) ; si A et B sont triangulaires supérieures (resp. inférieures), alors AB l'est aussi.

. .

. .

. . . . . .

. . . . . .

. .

. . . . . .

. . . . . .

. .

b b b b

b b b b

b b b b

b b b b

k r

k r

j j jk jr

p p pk pr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

. .

. .

. . . .

. .

. . . .

. .

c c c c

c c c c

c c c c

c c c c

k r

k r

i i ik ir

n n nk nr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

Ligne i de A avec colonne k de B

donnent

c

ik

c a b

q p

ik iq qk

q

=

=

= ∑

1

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

a a a a

a a a a

a a a a

a a a a

j p

j p

i i ij ip

n n nj np

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

3.

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2.3.2 Multiplication d’une matrice par un vecteur

Un cas particulier de ce qu’on vient de voir :

Soit un vecteur Vde dimension p. Nous pouvons le multiplier à gauche par une matrice A de dimension (n, p). Il en résultera un vecteur Wde dimension n. On écrit :

A V . = W

La méthode de calcul est la même que celle employée pour le produit de deux matrices. Il suffit de considérer le vecteur

V

comme une matrice de dimension (p, 1) :

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

j p

j p

i i ij ip j i

n n nj np n

p

 

 

     

     

     

     

=

     

     

     

     

 

 

   

 

 

1

11 12 1 1 2 1

21 22 2 2 2

1 1

1 2

v

a a a a v w

a a a a w

a a a a v w

a a a a w

v

q p

i iq q

q

=

=

= ∑

1

w a v

Cas particulier important : Si on multiplie une matrice carrée de dimension n par un vecteur de dimension n, le résultat est un nouveau vecteur de dimension n.

2.3.3 Élément neutre de la multiplication

L’élément neutre de la multiplication est, dans une certaine dimension et s’il existe,

une matrice I telle que A.I = A. (I ne peut être qu’une matrice carrée, dont la dimension est le nombre de colonnes de A). On admet que : I est la matrice identité telle que définie en 1.3.3

Dans le corps des matrices carrées de dimension n, on a en outre la commutativité :

A.I = I.A = A

Dans un espace vectoriel de dimension n, I est l’élément neutre par multiplication à droite

seulement :

I.V = V

4.

2.4 Déterminant d’une matrice carrée

Le déterminant d’une matrice carrée A est un scalaire issu d’un calcul sur ses termes a_ij, que l’on peut noter de trois manières différentes, comme suit :

( ) ( )

. .

. . . .

. . . .

. . . .

n n

n nn n nn

 

 

 

∆ = = =

 

 

 

11 12 1 11 12 1

21 22 21 22

1 1

où

a a a a a a

a a a a

A det A A

a a a a

2.4.1 Déterminant d’une matrice (1, 1)

Le déterminant d’une matrice (1, 1) est tout simplement égal à son unique élément ! 5.

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2.4.2 Déterminant d’une matrice (2, 2)

 

=

 

 

11 12

21 22

a a

A a a ^{: det}

( )

A ⁼a a11 22⁻a a21 12 (différence des produits en croix)

2.4.3 Déterminant d’une matrice (3, 3)

Pour calculer le déterminant d’une telle matrice, il est commode d’utiliser la « règle de Sarrus » : 1. Répéter les DEUX PREMIERES colonnes à la suite de la dernière.

2. Effectuer les produits en diagonale « principale » (trait plein) et les cumuler (total1) 3. Effectuer les produits en diagonale « secondaire » (pointillés) et les cumuler (total2) 4. Déterminant = total1 – total2.

( )

;

 

 

=   =

 

 

11 12 13 11 12 13 11 12

21 22 23 21 22 23 21 22

31 32 33 31 32 33 31 32

a a a a a a a a

A a a a det A a a a a a

a a a a a a a a

( )

⁼ 11 22 33⁺ 12 23 31⁺ 13 21 32⁻ 31 22 13⁻ 32 23 11⁻ 33 21 12

det A a a a a a a a a a a a a a a a a a a 6.

2.4.4 Méthode des cofacteurs

La méthode générale de calcul d’un déterminant est celle des cofacteurs, quelle que soit la dimension.

Ici, le calcul d’un déterminant (n, n) revient au calcul de n déterminants (n-1, n-1), et ainsi de suite (c’est une procédure récursive)…

Pour

 

 

= 

 

 

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

et en développant suivant la première ligne, on obtient :

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

det

det det det

= − +

= − − − + −

= − − + + −

= + +

22 23 21 23 21 22

11 12 13

32 33 31 33 31 32

11 22 33 32 23 12 21 33 31 23 13 21 32 31 22

11 22 33 11 32 23 12 21 33 12 31 23 13 21 32 13 31 22 11 22 33 12 23 31 13

a a a a a a

A a a a

a a a a a a

A a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a A a a a a a a a a21 32a −a a a31 22 13−a a a32 23 11−a a a33 21 12

(et on retrouve Sarrus, valable en dimension 3 uniquement)

On vérifie que l’on obtient le même résultat en développant selon la première colonne :

( )

det = 11 ^{22 23} − 21 ^{12 13} + 31 ^{12 13}

32 33 32 33 22 23

a a a a a a

A a a a

a a a a a a

Diverses propriétés du déterminant :

Les déterminants de A et de sa transposée ^TA sont égaux. ^{det A}

( )

^=det

( )

^TA

Les déterminants de A et de son inverse A^-1 sont inverses. ^{det A}

( )

^{−1 =det A}

^{( )}

^−1

( )

⁼

( )

^×

( )

det AB det A det B

Si on multiplie tous les éléments d’une même ligne ou d’une même colonne par un nombre, le déterminant est multiplié par ce même nombre.

On en déduit que si une ligne (ou colonne) est nulle, det(A) aussi ; Également : ^det

( ) ^λ

^{A =}

^λ

^{ndet A}

( )

_pour A de dimension (n, n).

Les déterminants de deux matrices carrées ne différant que par l’échange de deux lignes (ou de deux colonnes) sont opposés.

Si deux lignes (ou deux colonnes) sont identiques, le déterminant est nul. Il en est de même si deux lignes (ou colonnes) sont proportionnelles et plus généralement si une ligne (ou colonne) est une combinaison linéaire de deux ou plusieurs autres.

Si une ligne (ou une colonne) est additionnée d’une combinaison linéaire des autres, le déterminant est inchangé.

Une matrice de déterminant nul est dite singulière.

Page 12 sur 27 7.

2.5 Matrice inverse

2.5.1 Définition et propriétés

Soit une matrice carré A. Cette matrice est dite inversible s’il existe une matrice carrée de même dimension, A^-1 , appelée inverse de A, telle que :

AA

⁻¹

= I

* Propriété d’existence :

A est inversible ^⇔ det A ( ) ^≠ 0

* Commutativité : dans ce cas,

AA

⁻¹

= A A

⁻¹

= I

. Autres propriétés :

* l'inverse de A^-1 est A * I est inversible et est sa propre inverse

* [AC = BC (resp. CA = CB) et C inversible] ⇒ A = B

* si A et B sont inversibles, alors AB l'est aussi, et (AB)^-1 = B^-1A^-1

* si A ≠ O, B ≠ O et AB = O, alors A et B ne sont pas inversibles

2.5.2 Méthode des cofacteurs

Pour illustrer cette procédure, prenons l’exemple d’une matrice A de dimension (3, 3) : 1. Calculer le déterminant de la matrice : det(A), s’assurer qu’il est non nul.

2. Établir la comatrice de A, Com(A) : matrice de ses cofacteurs.

Le cofacteur de l’élément aij d’une matrice carrée A de dimension n est le déterminant de la matrice de dimension n - 1 obtenue en supprimant la colonne n°i et la ligne n°j de A, multiplié par –1 si la somme i + j est impaire, donc par (-1)^i+j.

par exemple en dimension 3 :

( )

 

−

 

 

 

 

= − − 

 

 

 − 

 

22 23 21 23 21 22

32 33 31 33 31 32

12 13 11 13 11 12

32 33 31 33 31 32

12 13 11 13 11 12

22 23 21 23 21 22

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

Com A

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a

3. On a alors :

^A

⁻¹

^{= 1} ( )

^T

^{Com A} ( )

det A

exemple : déterminer la matrice inverse de A =

−

 

 

 

− 

 

3 2 1

1 4 3

2 1 2

1. On vérifie que det(A) = -10

2. ^{Cof A}

( )

 

+ − +

 

− −

 

−

 



− −

  

 

= −

 

+ − −−

  

= −

 

− −

  

− −



+ − +



 

 

4 3 1 3 1 4

1 2 2 2 2 1

5 8 9

2 1 3 1 3 2

5 4 7

1 2 2 2 2 1

10 10 10

2 1 3 1 3 2

4 3 1 3 1 4

8.

Page 14 sur 27 3. ^{Cof A}

( )

⁻

 

 

= −



−





−



 

T

5 5 10 8 4 10 9 7 10

, donc

( )

, ,

, ,

, ,

A⁻ Cof A

− −

 

 

=− =

  

− − −

  

1 T

0 5 0 5 1

1 0 8 0 4 1

10 0 9 0 7 1

2.5.3 Méthode de Gauss

Cette méthode est basée sur la constatation AA^-1 = I.

Elle correspond à la résolution de systèmes linéaires de n équations à n inconnues telle qu’on pourrait la mettre en œuvre par combinaison linéaire des équations, opérations valides ne modifiant pas la nature du système et menant à sa solution (si elle est unique), consistant en une série d’éliminations systématiques des inconnues, rendant le système triangulaire.

Ici, nous irons plus loin : par des opérations similaires, nous rendrons la matrice diagonale, puis unitaire (pivot de Gauss « prolongé »).

Sur la matrice que l’on est en train de traiter, les opérations « valides », que nous sommes en droit d’effectuer, sont soit des échanges de deux lignes (ou de deux colonnes), soit le remplacement d’une ligne Li (ou une colonne Cj) par une combinaison linéaire faisant impérativement intervenir Li (ou Cj), donc, pour le cas de Li, une forme a1L1 + a2L2 + … + anLn, où les coefficients a1, a2, …, an seront

« bien choisis » et où ai sera différent de zéro.

Entre les échanges et les combinaisons linéaires, s’offrent à nous une infinité de possibilités.

La méthode de Gauss consiste à transformer pas à pas la matrice A en la matrice identité I.

En parallèle, si nous appliquons à I les mêmes transformations dans le même ordre, nous obtenons A^-1 ! Attention : * ces transformations doivent se faire uniquement sur les lignes (ou uniquement sur les

colonnes, il faut faire un choix au début) !

* la transformée d’une ligne doit utiliser cette même ligne 8 (suite).

exemple :

/ / /

−

 

 

=

 

← −



−



← +

 

− ← −

 

 

 

 

← −

 

− ← −

 

 

← +

 



−



 

←

 

 

←

 



−



← −

 

 

 

=

 

 

 

2 2 1

3 3 1

1 1 2

3 3 2

1 1 3

2 2 3

1 1

2 2

3 3

3 2 1

1 4 3 3

2 1 2 3 2

3 2 1 5

0 10 10

0 7 4 10 7

15 0 15 2

0 10 10 3

0 0 30

30 0 0 30

0 30 0 30

0 0 30 30

1 0 0 0 1 0 0 0 1

A L L L

L L L

L L L

L L L

L L L

L L L

L L

L L

L L

I

/ / /

, ,

, ,

,

I L L L

L L L

L L L

L L L

L L L

L L L

L L

L L

L L

 

 

=

 

← −

 

← +

 

← −

 

 



−



 

← −

 

− ← −

 

 

− ← +

 



−



 

− − ←

 



−



←

 



−



← −

 

− −

−

−

2 2 1

3 3 1

1 1 2

3 3 2

1 1 3

2 2 3

1 1

2 2

3 3

1 0 0

0 1 0 3

0 0 1 3 2

1 0 0 5

1 3 0

2 0 3 10 7

6 3 0 2

1 3 0 3

27 21 30

15 15 30 30

24 12 30 30

27 21 30 30

0 5 0 5 1 0 8 0 4 1

0

,

A⁻

 

 

=

 



−



 

1

9 0 7 1

On s’est attaché, à partir de A, à faire apparaître des zéros par combinaisons successives sur certaines lignes (dans l’ordre : zéros dans colonne 1 puis 2 puis 3) ; enfin, il ne restait qu’à diviser (ou multiplier) les lignes de la matrice diagonale obtenue pour la transformer en la matrice identité.

En seconde partie (à droite), on a réédité les mêmes combinaisons à partir de la matrice identité et donc obtenu la matrice inverse de A.

9.

Page 16 sur 27

3 Exemples

3.1 Résolution d’un système d’équations

Le calcul des déterminants permet de résoudre un système linéaire de n équations à n inconnues (appelé système de Cramer lorsqu'il admet une unique n-liste solution).

3.1.1 Généralités

Soit le système linéaire

...

...

: : : : : : :

...

n n n n

n n nn n n

x x x

x x x

x x x

+ + + =

 + + + =



 =

 + + + =



11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

a a a b

a a a b

a a a b

.

* On appelle matrice du système la matrice A composée des coefficients aij.

* Si on nomme X le vecteur inconnu :

n

x x

x

 

 

 

 

 

 

1

2 et B le vecteur :

n

b b

b

 

 

 

 

 

 

1 2 ,

alors le système revient à écrire :

A X . = B

Si

det(A) ≠ 0

, alors le système admet un unique vecteur solution.

Si det(A) = 0, on se trouve dans les cas particuliers où le système admet soit aucune solution, soit une infinité. Cela se produit si toutes les équations ne sont pas indépendantes, c’est à dire si le membre de gauche de l’une est multiple du membre de gauche d’une autre ou s’il est une combinaison linéaire des membres de gauche d’au moins deux autres.

10.

3.1.2 Méthode de Cramer (des déterminants)

A tout i compris entre 1 et n on peut associer la construction d’une matrice Ai formée à partir de la matrice A dans laquelle la colonne n°i a été remplacée par le vecteur B.

On peut calculer alors directement la valeur de chaque inconnue :

( ) ( )

ⁱ

x

i

= det A det A

3.1.3 Méthode par l’inversion de A

On a vu que le système revient à poser A X. =B.

On suppose que A^-1 existe, c’est à dire que det(A) est non nul.

Multiplions à gauche les deux membres de cette égalité par la matrice inverse de A :

−¹ = −¹ ⇔ = −¹ ⇔

=

−¹

A AX A B IX A B

X A B

Nous obtenons le vecteur X dont les coordonnées sont les inconnues du système.

n n

x x

x

−

   

   

 =  

   

   

   

1 1

2 1 2

… …

b A b

b Remarque : la méthode du pivot de Gauss s’applique bien entendu à la résolution de ces systèmes.

Plutôt que de rendre diagonal ce système, ce qui peut être long, il suffit de générer des combinaisons linéaires qui le rendent triangulaire (la première équation contiendra toutes les inconnues, la seconde équation toutes sauf la première inconnue, la troisième équation toutes sauf les deux premières, …, la dernière équation ne contient que la dernière inconnue dont on a donc la valeur, et on remonte dans les équations pour trouver une à une les valeurs des autres inconnues).

11.

Page 18 sur 27 12.

11 (suite).

3.2 Changements de base

3.2.1 Composantes d’un vecteur dans une base.

Nous avons vu dans un espace à deux dimensions que nous pouvions décrire un vecteur V par ses coordonnées (x, y) dans une base

( )

^{i j,} comme suit :

. .

ij

ij ij ij

x x x

x i y j i j

y y y

      

 

= + =

 

=

   

=

  

      

1 0

V

0 1

La notation matricielle fait apparaître la multiplication d’une matrice (2,2) par un vecteur.

L’indication ij en indice a pour objet de rappeler que x et y sont les coordonnées (ou composantes) du vecteur dans la base

( )

^{i j, .}

Dans l’espace à trois dimensions muni d’une base

(

^{i j k, ,}

)

^:

. . .

ijk

ijk ijk ijk

x x x

x i y j z k y i j k y y

z z z

      

        

= + + =

 

=

   

=

  

      

      

1 0 0 0 1 0 0 0 1

V

3.2.2 Changement de base en 2 dimensions, dans le plan

Introduction :

Soit un plan défini par deux vecteurs i et j .

( )

^{i j,} est donc une base de ce plan. Soit deux vecteurs u et v non colinéaires, dans ce plan.

( )

^{u v,} est donc une autre base de ce plan. Nous considérons un vecteur M dans ce même plan. Les figures ci-dessous montrent le même vecteur, associé aux deux bases :

Les coordonnées d’un même objet sont dépendantes de la base choisie.

Nous souhaitons être en mesure d’exprimer ses coordonnées dans une base sachant qu’on les connaît dans l’autre, ce qui nécessitera que la base « d’arrivée » soit définie par rapport à la base

« de départ ».

Démarche :

* Les coordonnées de M seront notées mi et mj dans

( )

^{i j, et mu et mv dans}

^{( )}

^{u v, :}

* Les vecteurs u et v eux-mêmes s’expriment comme suit dans la base

( )

^{i j, :}

 

= ⋅ + ⋅ = 

 

i

i j

j ij

u u i u j u

u ^;

 

= ⋅ + ⋅ =

 

 

i

i j

j ij

v v i v j v v

Considérons que mu et mv sont connues et que nous cherchons mi et mj. Nous avons :

( ) ( ) ^{( )} ( )

. . . .

u u vv u u ii u jj v v ii v jj uui v iv i uuj vvj j

= + = + + + = + + +

M m m m m m m m m

Ainsi nous obtenons les coordonnées dans

( )

^{i j,} à partir de celles connues dans

( )

^{u v, :}

= + = +

m_i m_uu_i m_{v i}v m_j m_uu_j m_vv_j

Page 20 sur 27

Nous pouvons alors employer une écriture matricielle de ces résultats :

. ; .

i i i u

ij uv

j j j v

m u v m

M P M

m u v m

     

= =

     

 

   

où P est dénommée matrice de passage de la base

( )

^{u v,} vers la base

( )

^{i j,} , notée également

[ ]

u v ij, qui exprime les coordonnées des vecteurs u et v dans la base

( )

^{i j, .}

Il est pratique de mémoriser :

M

^ij

= [ ] u v

ij

^. M

^uv

Obtention de mu et mv à partir de mi et mj :

Multiplions l’égalité obtenue au-dessus par P^-1 à gauche. (P^-1 existe ssi u et v ne sont pas colinéaires, ce qui est le cas) :

P

⁻¹

. M

^ij

= P

⁻¹

. . P M

^uv

= M

^uv. Or ce qui a été fait au-dessus serait également vrai si on échangeait les notations « ij » et « uv ».

La matrice de passage « dans le sens contraire », celle de

( )

^{i j, vers}

^{( )}

^{u v,} , exprimant les coordonnées de i et j dans la base

( )

^{u v, est donc}

^P

^{-1 :}

( ) ^{i j , [ ]}

^ij

^{( ) u v ,}

et

M

_uv

= P

⁻¹

. M

_ij

uv

u v

i j

−

=

 

=  

P P

¹

13.

14.

15.

16.

Travail personnel : Etablir les matrices de changement de base d’une base orthonormée vers une autre par rotation d’angle θ et vérifier que leur produit est bien égal à la matrice identité :

3.2.3 Changement de base à 3 dimensions, dans l’espace

Le raisonnement que nous avons conduit dans le plan s’étend dans l’espace physique à trois dimensions (ou dans tout espace de dimension supérieure). Les coordonnées de M dans chacune des deux bases sont mi, mj, mk et mu, mv, mw.

Nous pouvons écrire la relation entre ces deux expressions comme suit, en construisant la matrice de passage P de

(

^{u v w, ,}

)

^vers

(

^{i j k, ,}

)

^:

; .

i i i i u

j j j j v ijk uvw

k k k k w

     

 

=

 

⋅

 

=

     

     

     

m u v w m

m u v w m M P M

m u v w m

Ainsi nous avons :

M

_ijk

= P M .

_uvw

^et M

_uvw

= P

⁻¹

. M

_ijk

i

j

v u ^θ

[ ]

ijk uvw

u v w

i j k

−

=

 

=

 

P P ¹

(

^{i j k, ,}

) ⁽

^{u v w, ,}

⁾

Page 22 sur 27

4 Applications linéaires

4.1 Définition

Nous travaillerons ici sur des applications linéaires vectorielles, en dimension 2 ou 3.

Il s’agit d’une fonction f définie, dans une base choisie, par une matrice F qui fait correspondre à un vecteur X un vecteur Y , image de X par f :

^{X ֏}

^f

^{Y = f} ( ) ^{X = F X .}

^.

Linéarité : on constate facilement que ^{f a X}

(

^{. 1+X2}

)

^{=a f X.}

( ) ( )

^{1 + f X2 .}

4.2 Changement de base

L’application est définie dans une base

(

^{i j k, ,}

)

, dans laquelle nous notons sa matrice

F

_ijk. Dans une autre base,

(

^{u v w, ,}

)

, sa matrice, éventuellement différente, se notera

F

_uvw. P désigne la matrice de passage de

(

^{u v w, ,}

)

^vers

(

^{i j k, ,}

)

^{: P =}

^[

^{u v w}

^]

^ijk

( )

ijk ijk ijk uvw ijk uvw uvw ijk uvw

uvw ijk uvw

Y F X PY F PX P PY P F PX

Y P F P X

− −

−

= ⇔ = ⇔ =

⇔ =

1 1

1

Or l’expression de f dans la base

(

^{u v w, ,}

)

^{est : Yuvw =FuvwXuvw} , donc :

uvw ijk

F = P F P ^{− 1}

définition : Soit A une matrice carrée. On appelle trace de A le nombre

( )

ⁿ ii i=

=

∑

Tr A a

1

.

définition : on appelle trace de la matrice A le nombre Tr(A), somme de ses valeurs propres (voir 4.3.).

propriété : Tr(A) est également la somme de ses termes diagonaux.

définition : Soit A et B deux matrices carrées.

S’il existe une matrice P inversible telle que B = P^-1.A.P, alors A et B sont dites semblables.

Propriété : Si A et B sont semblables, alors Tr(A) = Tr(B) et det(A) = det(B)

Conséquence : Par changement de base, la trace et le déterminant d’une matrice se conservent.

17.

4.3 Valeurs propres, vecteurs propres 4.3.1 Définition

Un vecteur V non nul est un vecteur propre d’une matrice carrée F s’il existe un scalaire λ ^appelé alors valeur propre tel que :

F V . = λ V

Les vecteurs propres d’une matrice (donc de l’application linéaire correspondante) sont donc les vecteurs qui sont colinéaires à leurs images par cette application.

4.3.2 Existence de valeurs et vecteurs propres

( )

. =

λ

⇔ . =

λ

. ⇔ −

λ

. =

F V V F V I V F I V

0

.

Notons C= −F

λ

I, d’où : C V. =0. Si la matrice C était inversible, alors on pourrait écrire :

. .

− = − = ⇒ = ⇒ =

C C V¹ C ¹0 0 I V 0 V 0.

Mais par définition, le vecteur nul n’est pas un vecteur propre. Ainsi on en voit bien, par contraposée, que si V est un vecteur propre (donc non nul), alors C n’est pas inversible.

D’où l’énoncé de la condition d’existence de vecteurs propres pour la matrice F :

( )

det F − λ I = 0

18.

19.

Page 24 sur 27

4.3.3 Calcul des valeurs et vecteurs propres

Valeurs propres

Pour calculer toutes les valeurs propres d’une matrice carrée F, on admettra qu’il suffit de résoudre l’équation que nous venons d’établir : ^{det F}

(

^−λI

)

^=0.

Soit par exemple une matrice carrée de dimension 3 :

 

 

= 

 

 

a a a

F a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

.

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )

11 12 13

11 22 33 12 23 31 13 21 32

21 22 23

31 22 13 32 23 11 33 21 12

31 32 33

λ λ λ λ λ

λ λ

λ λ λ

λ

−

 

− = − − − + +

 

− = − −  − − − − − −

a a a

det F I a a a a a a a a a

F I a a a

a a a a a a a a a

a a a

Ainsi l’équation ^{det F}

(

^−λI

)

⁼⁰ nous donnera à chercher les racines d’un polynôme du troisième degré. F pourra avoir jusqu’à 3 valeurs propres réelles, si ce polynôme admet 3 racines réelles, qui mèneront à trois recherches de vecteurs propres.

Pour une matrice carrée de dimension n, ce déterminant donnera une équation polynomiale de degré n et d’inconnue λ , qui aura au plus n racines réelles.

Donc une matrice carrée de dimension n peut avoir jusqu’à n valeurs propres réelles (pas forcément distinctes) et leurs groupes de vecteurs propres associés.

* Le polynôme ^{det F}

(

^−λI

)

est appelé polynôme caractéristique de F.

Son terme de degré n est

( )

⁻

¹

ⁿ

^λ

ⁿ et son terme de degré zéro est det(F).

* L'ensemble des valeurs propres de F est appelé spectre de F et est noté σ^(F).

Propriété : deux matrices semblables ont même spectre.

* Si F est triangulaire, alors ses éléments diagonaux sont ses valeurs propres.

* Dans ℝ, dans le cas de valeurs propres uniquement réelles :

La trace d'une matrice carrée est la somme de ses valeurs propres : ^{Tr F}

( )

^=∑λi

Le déterminant d'une matrice carrée est le produit de ses valeurs propres : det F

( )

= ∏^λi Vecteurs propres

Connaissant la valeur propre n° k, nous pouvons chercher le(s) vecteur(s) propre(s) associé(s). Il suffit de résoudre l’équation suivante :

( F − λ

k

I V ) ^.

k

= 0

. (cf. définition)

Dans le cas de l’espace à trois dimensions, ceci donne :

k

k

k

x y z

λ

λ

λ

−

    

    

− =

    



−

   

    

a a a

a a a

a a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0 0 0

Or nous avons vu que le déterminant de la matrice de ce système est nul, ce qui signifie que les trois lignes de cette matrices ne sont pas linéairement indépendantes et, le membre de droite étant nul, les trois équations du système sont liées de la même manière. Il n’y a donc pas pour ce type de système un unique triplet solution (x, y, z).

Il y a ici pour V_k une infinité de solutions, toutes colinéaires entre elles, que l’on citera comme les multiples (facteur réel quelconque, fixé, non nul) d’un vecteur propre cité en référence.

Par exemple en dimension 2, on dira : pour la valeur propre λ1 = 5, les vecteurs propres sont α^{− }

=  

 

V₁ 1

3 , α ∈ ℝ^*. 20.

Page 26 sur 27

4.4 Diagonalisation d’une matrice carrée 4.4.1 Base propre

Dans la base de référence, considérons le cas relativement particulier où la matrice F carrée de dimension n possède n valeurs propres réelles distinctes (λ^1, λ^{2, … ,} λn) et n groupes de vecteurs propres associés

( {

^{α1 1V,α1∈ℝ*}

} {

^{, α2V2,α2∈ℝ*}

} {

^{,..., αnVn,αn∈ℝ*}

} )

. Colinéaires entre eux dans chaque groupe, on en choisit un représentant par groupe, formant ainsi la liste

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

^.

Deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres différentes ne peuvent être colinéaires entre eux. Trois de ces vecteurs ne peuvent non plus être coplanaires, et ainsi de suite. On admettra donc que

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

forme une nouvelle base de l’espace.

Remarque : une valeur propre réelle peut être une racine double, voire multiple. Dans ce cas, l'espace des vecteurs propres correspondants pourrait posséder autant de dimensions que l'ordre de multiplicité de la valeur propre, et la base propre

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

pourrait tout aussi bien exister.

Nous allons considérer un changement de base, de notre base de référence dans laquelle F est définie, vers la base de vecteurs propres

(

^{V V1, 2,...,Vn}

)

dénommée « base propre » et que nous noterons Vp.

4.4.2 Écriture dans la base propre

Soit P la matrice de passage de Vp vers la base de référence. P =

, ,..., _n ...

ijk

 

V V_{1 2} V  Le résultat du paragraphe 4.2 montre que :

. .

Vp

F = P

⁻¹

F P

Écrivons maintenant la propriété définissant valeurs propres et vecteurs propres associés, mais cette fois dans la base propre : _p. _k =

λ

_{k k}

p p

V V V

F V V . En détails :

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

k n k

k n k

k

k k kk kn kk

n n nk nn nk

λ

′ ′ ′ ′ ′

      



′ ′ ′ ′

     

′

      

      

= ⇔

      

′ ′ ′ ′ ′

      

      

          



′ ′ ′ ′

     

′

  

a a a a a

a a a a a

a a a a a

a a a a a

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 1

1 2

0 0

0 0

1 1

0 0

.

.

ik

kk k

k

i k

λ

λ

  

  

  

   

′ = ≠

= ⇔

   



′ =

  

  

    

  



a a

0

0

0 pour et

0

Comme on le voit, les seuls termes non nuls de

Vp

F sont ses termes diagonaux, qui sont de plus les valeurs propres de l’application f.

La matrice F

V_p

_{= P}

^-1

.F.P est diagonale et composée de ses valeurs propres.

‘’L’expression matricielle de f dans sa base propre est la plus simple possible.’’

21.