5. L’inversion de Lagrange non commutative 5.1. Les fonctions sym´etriques non commutatives. Leur d´efinition est tr`es simple : on remplace les fonctions compl`etes h

5. L’inversion de Lagrange non commutative

5.1. Les fonctions sym´etriques non commutatives. Leur d´efinition est tr`es simple : on remplace les fonctions compl`etesh_npar des ind´etermin´ees non-commutatives Sn (de degr´en), et on garde la formule du coproduit.

On en a facilement une r´ealisation avec des variables : on part d’un ensemble totalement ordonn´ede variables non commutatives A= {a_i|i≥1}, et on pose

(183) σt(A) =

Y→ i≥1

(1−tai)⁻¹=X

n≥0

Sn(A)tⁿ (→ hn)

(184) λt(A) =

Y← 1≤i

(1 +tai) =X

n≥0

Λn(A)tⁿ (→en)

Le coproduit est d´efini par ∆F = F(A+B) (somme ordinale, A commute avec B) On a une interpr´etation ´evidente avec un groupe multiplicatif de s´eries `a coefficients dans une alg`ebre non commutative.

Unedescente deσ ∈S_n : un i t.q. σ(i)> σ(i+ 1)

σ= 52416837−→

5 2 4

1 6 8 3 7

L’ensemble de descentes est not´e Des(σ) ={1,3,6}. Il est encod´e par la composition de descentes C(σ) =I= (1,2,3,2). On d´efinit auss Des(I) ={1,3,6}

Les sommes

(185) DI = X

C(σ)=I

σ

sont la base d’une sous-alg`ebre Σn of❩S<sub>n</sub>, l’ Alg`ebre des descentes de S_n (Solomon, 1976) On a l’identification

(186) M

n≥0

Σn ≃Sym

Une base de Symest form´ee desS^I =Si₁· · ·Sir o`u I parcourt les compositions.

On peut d´efinir une application lin´eaire α: Sym_n → Σ_n

(187) α(S^I) = X

Des(σ)⊆Des(I)

σ

Le produit int´erieur∗d´efini surSym_nparα(antiisomorphisme) redonne le produit int´erieur de Sym (correspondant au produit des caract`eres du groupe sym´etrique) par image commutative (S_n 7→h_n)

Les descentes d’un motw =w₁· · ·w_n sont lesitels que w_i > w_i+1. On reprend les notations Des(w), C(w), etc. Avec la r´ealisation polynomiale,

(188) S^I(A) = X

Des(w)⊆Des(I)

w Par inclusion-exclusion,

(189) RI =α⁻¹(DI) =X

J≤I

(−1)^{ℓ(I)−ℓ(J)}S^J = X

Des(w)=Des(I)

w

Les R_I sont appel´es (fonctions de Schur) rubans et jouent le rˆole des fonctions de Schur. Ils ont deux interpr´etations

(1) Comme somme de permutations RI ≃P

C(σ)=Iσ (2) Comme somme de motsRI =P

C(w)=Iw

Peut-on les r´econcilier ? (permutations comme sommes de mots ?)

5.2. Alg`ebres de Hopf de permutations. La standardisation d’un mot est la permutation ayant les mˆemes inversions.

mot de longueur n 7−→ permutation de S_n w =a₁a₂. . . an 7−→ σ= std(w)

Elle caract´erise les mots sur lesquels le tri par bulles effectue les mˆemes transpositions.

Pouri < j on demande σ(i)> σ(j) ssi ai > aj. Par exemple : std(abcadbcaa) = 157296834

a b c a d b c a a

a₁ b₅ c₇ a₂ d₉ b₆ c₈ a₃ a₄

1 5 7 2 9 6 8 3 4

Evidemment, Des(std(w)) = Des(w).

L’alg`ebreFQSym(Free Quasi-Symmetric Functions) des fonctions quasi-sym´etrique libres est le sous-espace de KhAiengendr´e par les sommes

(190) G_σ(A) := X

std(w)=σ

w . C’est une sous-alg`ebre. Pour α∈S_m,β ∈S_n,

(191) GαGβ = X

γ=u·v std(u)=α, std(v)=β

Gγ.

(192) G₂₁G₂₁₃ =G₅₄₂₁₃+G₅₃₂₁₄+G₄₃₂₁₅+G₅₂₃₁₄+G₄₂₃₁₅+G₃₂₄₁₅

+G₅₁₃₂₄+G₄₁₃₂₅+G₃₁₄₂₅+G₂₁₄₃₅ On a clairement

(193) R_I(A) = X

C(σ)=I

G_σ

De plus, la composition des permutations induit un produit ∗

(194) G_σ∗G_τ =G_τ◦σ

(renversement de l’ordre) qui induit lui-mˆeme le produit int´erieur de Sym.

Pour d´efinir le standardis´e, on n’a besoin que d’un alphabet totalement ordonn´e.

On peut donc encore d´efinir

(195) ∆Gσ :=G_σ(A+B)

avec A+B somme ordinale de deux alphabets A et B qui commutent. Ceci d´efinit un coproduit sur FQSymqui induit celui de Sym

FQSymest donc une alg`ebre de Hopf contenant Sym. Elle est autoduale pour le produit scalaire

(196) hGσ,Fτi=δσ,τ, Fτ :=G_τ⁻¹ Si on fait commuter les variables (ai 7→xi), l’image de Fσ

(197) F_σ(A)7→F_I(X)

ne d´epend que de I= C(σ).

LesFI sont la base d’une alg`ebre de Hopf commutative,QSym, les fonctions quasi- sym´etriques, et les FI sont les fonctions Fondamentales de Gessel.

On obtient donc gratuitement la d´efinition QSym, ses r`egles de produit et de coproduit, et le fait que Symet QSym soient duales l’une de l’autre.

La formule de Cauchy non commutative

(198) X

I

RI(A)FI(X) = Y→

i≥1

Y→ j≥1

(1−xiaj)⁻¹ est obtenue en posant B=X dans P

σG_σ(A)F_σ(B) =IdFQSym.

Consid´erons un❈-espace vectorielV de dimensionN. Les endomorphismes deV^⊗n qui commutent `a l’action de GL(V) sont les combinaisons lin´eaires de permutations v₁⊗v₂⊗ · · · ⊗v_n 7→v_σ(1)⊗ · · · ⊗v_σ(n)

(199) End^gr_GL(V)V^⊗n ≃❈S_n

si n≤N (dualit´e de Schur-Weyl).

Pourn > N on a un quotient de ❈S_n. On peut faire N → ∞et voir

❈S:=M

n≥0

❈S_n

comme l’alg`ebre des endomorphismes gradu´es deT(V) commutant avec GL(V).

Elle est stable pour laconvolutiondes endomorphismes, et pour le coproduit induit par la convolution de T(V^∗).

C’est l’alg`ebre de Malvenuto-Reutenauer (qui en ont explicit´e le produit, le co- produit et l’autodualit´e). On constate que FQSym lui est isomorphe. C’en est une r´ealisation polynomiale.

5.3. La s´erie de Lagrange non commutative. On peut maintenant remplacer l’´equation de la s´erie de Lagrange sym´etrique

(200) g = 1 +h₁g+h₂g²+· · · =X

n≥0

hngⁿ

par son analogue non commutatif naturel

(201) g= 1 +S₁g+S₂g²+· · · =X

n≥0

S_ngⁿ. En r´esolvant par substitutions it´er´ees, on trouve

g₀ = 1, g₁=S₁, g₂ =S₂+S¹¹, g₃ =S₃+ 2S²¹+S¹²+S¹¹¹,

g₄ =S₄+ 3S³¹+ 2S²²+ 3S¹³+ 3S²¹¹+ 2S¹²¹+S¹¹²+S¹¹¹¹. (202)

En introduisant une nouvelle variable non commutative S₀, on retrouve les codes polonais, ou encore les fonctions de parking croissantes

(203) g =S₀+S₁g+S₂g²+· · ·=X

n≥0

Sngⁿ.

g₀ =S₀, g₁ =S¹⁰, g₂ =S²⁰⁰+S¹¹⁰, g₃ =S³⁰⁰⁰+S²¹⁰⁰+S²⁰¹⁰+S¹²⁰⁰+S¹¹¹⁰, (204)

le coefficient de S^I dans gn est donc le nombre de fonctions de parking croissantes d’´evaluation tass´ee (i.e., sans les z´eros) I.

On va voir que la version non commutative deg_n peut encore s’interpr´eter comme une sorte de caract´eristique de Frobenius.

6. L’alg`ebre 0-Hecke

6.1. L’alg`ebre d’Iwahori-Hecke, ou alg`ebre g´en´erique de S_n. L’alg`ebre du groupe sym´etrique admet uneq-d´eformation, appel´ee alg`ebre de Hecke, ou d’Iwahori- Hecke, engendr´ee par des ´el´ements T₁, . . . , T_n−1 et dont la pr´esentation est donn´ee par

(205)

TiTj = TjTi |i−j|>1 T_iT_i+1T_i = T_i+1T_iT_i+1

T_i² = (q−1)Ti+q

Pour les valeurs g´en´eriques de q, cette alg`ebre est semi-simple, et isomorphe `a

❈S_n. Elle admet doncp(n) (nombre de partitions den) modules irr´eductibles Vλ(q), qui sont des q-analogues des modules de Specht V_λ du groupe sym´etrique. On peut d´efinir pourHn(q) une table de caract`eres de la mani`ere suivante. Pour une partition λ de n, soit wλ l’´el´ement

(206) w_λ =σ₁σ₂· · ·σ_λ1−1·σ_λ1+1· · ·σ_λ1+λ2· · ·σ_{λ1+···+λr−1+1}· · ·σ_n−1 du sous-groupe de YoungS(λ) =S_λ1× · · · ×S_λ

r de S_n. On pose χ^λ_µ = trVλ(Twµ) et on a un q-analogue de la formule des caract`eres de Frobenius

(207) χ^λ_µ =hs_λ, C_µ(q)i

o`u C<sub>µ</sub>(q) = (q−1)<sup>−ℓ(µ)</sup>h<sub>µ</sub>((q−1)X), la fonction sym´etrique h<sub>µ</sub>((q−1)X) ´etant par d´efinition l’image du produit de fonctions sym´etriques compl`etes hµ =hµ(X) par le morphisme d’anneau pk 7→ (q^k−1)pk

La caract´eristique de Frobenius est l’application lin´eaire ch : R(S_n) → Sym qui envoie la classe d’un module irreductible V_λ sur la fonction de Schur s_λ. La formule (207) montre que l’extension naturelle de ch au cas de l’alg`ebre de Hecke est donn´ee par

(208) ch ([V_λ(q)]) =s_λ ,

i.e.que la d´ependance par rapport `aq dans la formule des caract`eres ne se manifeste pas dans la caract´eristique, mais seulement dans le q-analogue Cµ(q) de l’indicateur des cycles.

6.2. L’alg`ebre 0-Hecke et ses groupes de Grothendieck. Lorsqueq= 0, Hn(0) n’est pas semi-simple, les Vλ(q) ne sont en g´en´eral pas irr´eductibles, et la formule (208) ne donne pas tous les caract`eres.

Il est en g´en´eral tr`es difficile, et souvent impossible, de d´ecrire compl`etement les repr´esentations d’une alg`ebre A qui n’est pas semi-simple : les modules simples (repr´esentations irr´eductibles), qui sont ceux qui n’ont pas de sous-modules non tri- viaux, n’´epuisent pas tous les modules ind´ecomposables (ceux qui ne se d´ecomposent pas en sommes directes non triviales). On doit en g´en´eral se contenter de d´eterminer les modules simples, et les modules projectifs ind´ecomposables, qui sont par d´efinition les facteurs directs de la repr´esentation r´eguli`ere.

Le groupe ab´elien librement engendr´e par les classes d’isomorphisme [S_α] des mo- dules simples est le groupe de Grothendieck G₀(A). Tout module M de type fini

a une image [M] dans ce groupe, ´egale `a la somme de ses facteurs de composition simples. Cela revient a d´efinir plus formellementG₀(A) comme le groupe ab´elien libre engendr´e par les classes d’isomorphisme de modules de type fini modulo les relations (209) 0→M →P →N →0⇔[P] = [M] + [N]

pour toute suite exacte courte (autrement dit, [N] = [P]−[M] ssiN ≃P/M).

Chaque module projectif ind´ecomposable poss`ede un unique sous-module simple, appel´e son socle. Ceci permet d’indexer les modules projectifs ind´ecomposables par les mˆemes objets que les modules simples. Le groupe K₀(A) a pour base les classes d’isomophisme de modules projectifs de type fini, avec les relations [P⊕Q] = [P]+[Q].

Dans le cas d’unetour d’alg`ebres, c’est `a dire d’une suite d’alg`ebres associatives de dimension finie

(210) A₀ ֒→A₁ ֒→ . . . ֒→ An ֒→ . . .

munie de plongements ρm,n : Am⊗An ֒→ A_m+n v´erifiant une condition d’associa- tivit´e

(211) ρ_i,j+k ◦(idi⊗ρj,k) =ρ_i+j,k◦(ρi,j⊗idk), on peut d´efinir des anneaux de Grothendieck

(212) G :=M

n≥0

G₀(A_n), K:=M

n≥0

K₀(A_n)

dans lesquels produit et coproduit sont d´efinis par induction et restriction (213) [M]·[N] = [M⊗Nb ] = [M⊗N ↑^A_A^m+n_m⊗An].

et pour un module sur A_n

(214) ∆[M] =

Xn k=0

[M]|_Ak⊗An−k

la restriction `aAk⊗A_n−k pouvant s’´ecrire comme une combinaison lin´eaire de termes [M^′]⊗[M^′′].

On a une dualit´e entre G₀(A) et K₀(A) : h[S],[P]i est la multiplicit´e du module simple S comme facteur de composition du module projectif P. Le coproduit de G est alors dual du produit de K et vice-versa.

Les modules simples surH_n(0) sont de dimension 1, et sont index´es par les sous- ensemblesD de{1,2, . . . , n−1}. A un tel sous-ensembleD ={d₁, . . . , dk}on associe une compositionI =C(D) = (i₁, . . . , i_k+1) dend´efinie pari_j =d_j+1−d_j pourj < k, et i_k+1 = n−d_k. La repr´esentation irr´eductible de H_n(0) index´ee par l’ensemble D est d´efinie par

(215) ϕD(Ti) =

(−1 si i∈D 0 si i6∈D

Nous poserons ηI =ϕD et le module correspondant sera not´e❈I.

Soit G₀(Hn(0)) le groupe de Grothendieck de la cat´egorie des Hn(0)-modules de type fini. On peut prolonger `a L

n≥0G₀(H_n(0)) l’application ch qui envoieV_λ(0) sur

s_λ, en plongeant l’alg`ebre des fonctions sym´etriques dans celle des fonctions quasi- sym´etriques.

La transformationA→(q−1)Apeut ˆetre d´efinie sur les fonctions sym´etriques non commutatives [15, 25]. Pourq= 0, l’applicationF(A)7→F(−A) envoie les fonctions sym´etriques compl`etes Sn(A) sur (−1)ⁿΛn(A).

SoitG =L

n≥0G₀(H_n(0)). Notons QSym_❩ le r´eseau engendr´e dansQSym par les FI, et d´efinissons un isomorphisme de modules ch :G−→QSym_❩ par ch([❈I]) =FI, et posons CI(q) = (q−1)^−ℓ(I)S^I((q−1)A)∈Sym. On a alors :

(i) Soit (dλI) la matrice de d´ecomposition deHn(0), i.e. [Vλ(0)] = X

|I|=n

dλI[❈I] dans G. Alors, ch(V_λ(0)) = X

|I|=n

d_λIch❈I), i.e. s_λ =P

Id_λIF_I.

(ii) (Formule des caract`eres) Soit, pour toute compositionJ den, w<sub>J</sub> = (σ<sub>1</sub>· · ·σ<sub>j1−1</sub>)(σ<sub>j1+1</sub>· · ·σ<sub>j1+j2</sub>)· · ·(· · ·σ<sub>n−1</sub>)∈S(J). Alors, la table des caract`eres de H_n(0) est la matrice 2ⁿ⁻¹×2ⁿ⁻¹

η_I(T_wJ) =hF_I, C_J(0)i= (−1)^|J|−ℓ(J)hF_I,Λ^Ji o`u h, irepr´esente la dualit´e entre QSym et Sym, i.e. hFI, RJi=δIJ.

(iii) (Produit d’induction) Le produit usuelQSymm⊗QSymn −→QSym_m+n des fonctions quasi-sym´etriques correspond `a l’induction de Hm(0)⊗Hn(0) `aH_m+n(0), pour le plongement naturel T_i⊗17→ T_i, 1⊗T_i 7→T_i+m :

(216) ch

η_I ⊗η_J ↑^H_H^m+n(0)

m(0)⊗Hn(0)

= ch(η_I) ch(η_J) =F_IF_J .

Le groupe de GrothendieckG₀(H_n(0)) est canoniquement en dualit´e avecK₀(H_n(0)), groupe de Grothendieck de la cat´egorie des Hn(0)-modules projectifs de type fini.

SoitK =L

n≥0K₀(Hn(0)). On d´efinit un isomorphisme lin´eairech:K −→Sym_❩ (o`uSym<sub>❩</sub>est le r´eseau engend´e par lesRI) en posantch(PI) =RI, o`uPI est l’unique module projectif ind´ecomposable tel que PI/radPI ≃❈I. Munissons K d’une struc- ture d’anneau en posant [M][N] =h

M ⊗N ↑^H_H^m+n(0)

m(0)⊗Hn(0)

i pour [M]∈K₀(Hm(0)) et [N]∈K₀(Hn(0)).

(i)ch est un isomorphisme d’anneaux.

(ii) L’applicationπ:Sym−→QSyminduite par les morphismes naturelsK₀(H_n(0))−→

G₀(Hn(0)) a pour image l’anneau des fonctions sym´etriques, et correspond `a l’image commutative Sn(A)7→hn(X).

En particulier, on voit que les S^I sont les caract´eristiques non commutatives de analogues des repr´esentations permutationnelles.

6.3. Action `a droite sur les mots. Soit [N] = {1, . . . , N} consid´er´e comme un alphabet ordonn´e. Il y a une action naturelle `a droite deH_n(q) sur❈[N]ⁿ qui d´eforme l’action standard `a droite de SG_n sur les mots de longueurn. [26]. Siw =a₁a₂· · ·a_n,

Fig. 1. Le module projectif P₁₂₁ de H₄(0) on posew·σi =a₁· · ·a_i+1ai· · ·an, et

(217) w·Ti =





w·T_i = w·σ_i si a_i < a_i+1, w·Ti = q w si ai =a_i+1, w·Ti = q w·σi+ (q−1)w if ai > a_i+1 . Pour q= 0, ces formules se simplifient en

(218) w·Ti =





w·T_i = w·σ_i si a_i < a_i+1, w·Ti = 0 si ai =a_i+1, w·Ti = −w ifai > a_i+1 .

Ainsi, l’image d’un mot w par un ´el´ement de H_n(0) est (au signe pr`es) soit un r´earrangement de w, soit 0. En particulier, en partant d’un mot croissant v, on obtiendra tous les r´earrangelents dev. Ceux-ci forment la base d’un module projectif (d´ecomposable) M sur H<sub>n</sub>(0), dont la caract´eristique est ch(M) = S<sup>I</sup> ∈ Sym = Sym(A) o`u I est l’´evaluation tass´ee dev [26, 8]. Il se d´ecompose en

(219) M =M

J≤I

PJ

o`uJ parcourt les compositions moins fines queI. Le module projectif ind´ecomposable PJ a une base index´ee par les permutations dont la composition des descentes est J, et pour caract´eristique ch(PJ) =RJ (voir Figure 1).

La caract´eristique de la repr´esentation permutationnelle W_n(N) =❈[N]ⁿ est faci- lement identifi´ee `a

(220) ch(Wn(N)) =X

In

MI(N)S^I(A) =Sn(N A)

grˆace `a l’identit´e de Cauchy non commutative, car la sp´ecialisationM_I(N) :=M_I(1^N) (1 rep´et´eN fois) de la fonction quasi-sym´etrique monomialeMI est ´egale au nombre de mots de [N]ⁿ d’´evaluation tass´ee I.

On peut faire mieux, et garder la trace de la somme des lettres, une statistique

´evidemment pr´eserv´ee par l’action deS_n ouHn(0). On la normalisera en

(221) kwk=

Xn i=1

(a_i−1). Alors,

(222) X

w∈[N]ⁿ,pEv(w)=I

q^kwk =M_I(1, q, . . . , q^N−1) =M_I([N]_q) o`u [N]q={1, q, . . . , q^N−1}, et on peut d´efinir une q-caract´eristique

(223) ch_q(Wn(N)) =X

In

MI([N]q)S^I =Sn([N]qA).