I – Sommes et produits d’une famille finie de nombres réels

(1)

ECG-1 )

Chapitre

Calculs de sommes et de produits

_exercices^{Cours et}

C

Nous continuons dans ce chapitre sur des thématiques essentiellement calculatoires.

Il va s’agir ici de calculs de sommes et de produits, en utilisant les symboles usuelsP etQ. Il y sera notamment question de coefficients binomiaux et de la formule du bi- nôme de Newton (que nous démontrerons). Nous terminerons avec des calculs plus techniques concernant des sommes « doubles », c’est-à-dire faisant intervenir deux indices de sommation.

Sommaire

I Sommes et produits d’une famille finie de nombres réels . . . . 1

I.1 Somme d’une famille finie de nombres . . . . 1

I.2 Produit d’une famille finie de nombres . . . . 6

II Coefficients binomiaux et formule du binôme de Newton . . . . 7

II.1 Coefficients binomiaux . . . . 7

II.2 Autres visions des coefficients binomiaux . . . . 9

II.3 Formule du binôme de Newton . . . . 9

III Sommes doubles . . . . 11

III.1 Sommes « rectangulaires » . . . 11

III.2 Sommes « triangulaires » . . . 12

IV Exercices additionnels . . . . 14

I – Sommes et produits d’une famille finie de nombres réels

I.1 – Somme d’une famille finie de nombres I.1.1 – Définition (Le symbole sommeP ) Étant donnée une suite finieu1, ...,unde nombres réels, on note : n X k=1 u_k ^déf= u1+u2+ · · · +un−1+un Remarques 1I La lettre choisie comme indice n’a pas d’importance (on parle d’indice muet) : n X k=1 u_k = n X i=1 ui. 2I On utilise parfois d’autre notations pour présenter une somme, le point essentiel étant que celles-ci doivent indiquersans ambiguïtéquel sont les nombres qui figurent dans la somme. Par exemple : n X k=p uk=up+u_p+1+ · · · +u_n−1+un X 16k<4 uk=u1+u2+u3 X k∈[[2,5]] uk=u2+u3+u4+u5 Exemple –Pour toutn∈N^∗on a : n X k=1 1 = 1+1+ · · · +1

| {z }

ntermes

=n

(2)

I.1.2 – Proposition (Somme desnpremiers entiers) Pour toutn∈N^∗on a :

n

X

k=1

k=1+2+ · · · +n=n(n+1) 2

Démonstration (celle de Gauss) B1

I.1.3 – Proposition (Somme desnpremiers carrés d’entiers) Pour toutn∈N^∗on a :

n

X

k=1

k²=1²+2²+ · · · +n²=n(n+1)(2n+1) 6

Démonstration (méthode 1 : par récurrence) B2

(3)

Classe préparatoire ECG-1

)

– Mathématiques appliquées 3

B3

I.1.4 – Proposition (Règles de calcul) On conserve les notations précédentes.

(i) Changement de l’ordre de sommation (i=n−k+1) :

n

X

k=1

u_k=

n

X

i=1

un−i+1

(ii) Décalage d’indice (i=k+p) :

n

X

k=1

u_k=

n+p

X

i=1+p

ui−p

(iii) Pour deux suites finiesu1,· · ·,unetv1,· · ·,vnet tout nombre réelλon a :

n

X

k=1

(u_k+v_k)=

n

X

k=1

u_k+

n

X

k=1

v_k λ.³Xⁿ

k=1

uk

´

=

n

X

k=1

(λ.uk) (iv) Pour toutp∈[[1,n−1]] on a (relation de Chasles) :

n

X

k=1

u_k=

p

X

k=1

u_k+

n

X

k=p+1

u_k

(v) Décomposition suivant la parité des indices :

2p

X

k=1

u_k=

p

X

i=1

u_2i

| {z }

somme des termes de rang pair

+

p

X

i=1

u_2i−1

| {z }

somme des termes de rang impair

2p+1

X

k=1

u_k=

p

X

i=1

u2i

| {z }

somme des termes de rang pair

+

p+1

X

i=1

u2i−1

| {z }

somme des termes de rang impair

(vi) Simplificationstélescopiques:

(a)

n

X

k=1

(a_k+1−a_k)=an+1−a1

(b)

n

X

k=1

(ak−ak+1)=a1−a_n+1

(4)

Ò Exercice C1 (Somme des carrés d’entiers, méthode n° 2) On veut obtenir une expression simplifiée et factorisée de la somme :

S_n=

n

X

k=1

k²

1. Déterminer un polynôme P de degré 3 tel que : ∀x∈R, P(x+1)−P(x)=x².

2. En déduire la valeur de la somme Snen la transformant en sommetélescopique. Vérifier que le résultat est bien celui de la propositionI.1.3.

I.1.5 – Proposition (Somme géométrique) Soitq∈Retn∈N^∗. On a alors :

n

X

k=0

q^k=











1−qⁿ⁺¹

1−q siq6=1 n+1 siq=1

Démonstration B4

Remarque –Certains ont probablement appris une variante de cette formule qui est la suivante :

n

X

k=p

q^k=up+up+1+ · · ·un=up× 1−q^n−p+1 1−q

On peut facilement retenir cette formule en constatant que le facteurupn’est rien d’autre que lepremier terme de la sommeet que l’exposantn−p+1est exactement lenombre de termes de cette somme.

(5)

)

Ò Exercice C2

Soitnun entier naturel pair. En séparant les termes d’indices pairs et impairs, calculer la somme suivante :

S_n=

n

X

k=0

(−1)^k(2k+1)

I.1.6 – Proposition (Factorisation deaⁿ±bⁿ) (i) Pour toutn∈N^∗on a :

aⁿ−bⁿ=(a−b)

n−1X

k=0

a^n−k−1b^k

(ii) Sinest un entierimpair, c-à-dn=2p+1 alors on a : aⁿ+bⁿ=(a+b)

n−1

X

k=0

(−1)^kaⁿ⁻^k⁻¹b^k

Démonstration de(i) B5

Ò Exercice C3

1. Montrer qu’il existe des réelsaetbtels que, pour tout réelx∈R\ {−1, 0}, l’égalité suivante soit vérifiée : 1

x(x+1)=a x+ b

x+1 2. En déduire une simplification de la somme suivante :

n

X

k=1

1 k(k+1)

(6)

Ò Exercice C4

Soitxun nombre réel différent de 1. Montrer que :

n

Y

k=0

³

x^2·3^k+x³^k+1´

=x³ⁿ⁺¹−1 x−1

Ò Exercice C5

Pour toutn∈N^∗, calculer les sommes suivantes :

1.

n

X

k=1

k

(k+1)! 2.

n

X

k=1

k·k!

Indication –Transformer en sommes « télescopiques ».

Ò Exercice C6

Pour toutn∈N^∗, calculer les sommes suivantes :

1.

n

X

k=1

k(k−1) 2.

n

X

k=1

(2k−1)

I.2 – Produit d’une famille finie de nombres I.2.1 – Définition (Le symbole produitQ

)

Étant donnée une suite finiea1, ...,ande nombres réels, on note :

n

Y

k=1

a_k ^déf= a1×a2× · · · ×an

Remarque –Notations alternatives : mêmes remarques que pour les sommes.

Exemple –Pour touta∈Ron a :

n

Y

k=p

a= a× · · · ×a

| {z }

n−p+1 facteurs

=aⁿ⁻^p⁺¹. I.2.2 – Définition

Lafactorielled’un entiern∈Nest définie par :

n! ^déf=







1 sin=0

n

Y

k=1

k=1× · · · ×n sin>0

I.2.3 – Proposition (Importante) Pour toutn∈N^∗on a :

n!=n×(n−1)!

Remarque –Ne pas confondren! etnⁿ: n!=1×2× · · · ×(n−1)×n et nⁿ=n×n× · · · ×n×n

| {z }

nfois

I.2.4 – Théorème

Si E et F sont deux ensembles ànéléments, le nombre de bijections de E dans F estn!.

Ò Exercice C7 (Difficile)

Démontrer le théorème précédent en raisonnant par récurrence surn.

(7)

)

– Mathématiques appliquées 7 I.2.5 – Proposition (Rèles de calcul)

On conserve les notations précédentes.

(i) Changement de l’ordre de (i=n−k+1) :

n

Y

k=1

ak=

n

Y

i=1

a_n−i+1

(ii) Décalage d’indice (i=k+p) :

n

Y

k=1

uk=

n+p

Y

i=1+p

ui−p

(iii) Étant données deux familles de nombres (a1, ...,an) et (b1, ...,bn) on a : µ n

Y

k=1

ak

¶µ n

Y

k=1

bk

¶

=

n

Y

k=1

(akbk) (iv) Étant donnés une famille de nombres (a1, ...,an) et un nombreλ∈Con a :

n

Y

k=1

¡λa_k¢

=λⁿ µ n

Y

k=1

a_k

¶

(v) Pour toutp∈[[1,n−1]] on a (relation de Chasles) :

n

Y

k=1

u_k=³Y^p

k=1

u_k´

×³ Yⁿ

k=p+1

u_k´

(vi) Décomposition suivant la parité des indices :

2p

Y

k=1

u_k=

p

Y

i=1

u2i

| {z }

produit des termes de rang pair

×

p

Y

i=1

u2i−1

| {z }

produit des termes de rang impair

2p+1

Y

k=1

uk=

p

Y

i=1

u2i

| {z }

produit des termes de rang pair

×

p+1

Y

i=1

u_2i−1

| {z }

produit des termes de rang impair

(vii) Simplifications télescopique pour une suitea₁,· · ·,a_n+1de nombres réels non nuls : (a)

n

Y

k=1

a_k+1

ak = a_n+1 a1

(b)

n

Y

k=1

ak

a_k+1 = a1

an+1

II – Coefficients binomiaux et formule du binôme de Newton

II.1 – Coefficients binomiaux

II.1.1 – Définition (Coefficients binomiaux)

Pour toutn∈Netk∈Zon appelle coefficient binomial « k parmi n », noté µn

k

¶

le nombre défini par :

µn k

¶ déf

=





 n!

k!(n−k)! si 06^k6ⁿ

0 sinon

(8)

II.1.2 – Proposition (Quelques valeurs particulières à connaitre PARFAITEMENT) (i) Pour toutn∈Non a :

µn 0

¶

=1 (iii) Pour toutn>^{2 on a :} µn

2

¶

=n(n−1) 2 (ii) Pour toutn>1 on a :

µn 1

¶

=n

II.1.3 – Proposition Pour 06^k6ⁿon a :

µn k

¶

=n(n−1)· · ·(n−k+1) k!

Remarque –Cette version est plus pratique pour faire ducalcul numériquecar la fraction est davantage simplifiée.

II.1.4 – Proposition (Règles de calculs)

(i) Symétrie –Pour toutn∈Netk∈Zon a :

µn k

¶

= µ n

n−k

¶

(ii) Formule de Pascal –Pour toutn∈Netk∈Zon a : µ n

k−1

¶ +

µn k

¶

= µn+1

k

¶

(iii) Le nombre µn

k

¶

est toujours un entier.

Ò Exercice C8 (Facile)

Démontrer la proposition précédente en utilisant la définition avec factorielles.

Remarque –Les coefficients binomiaux peuvent se visualiser dans le triangle de Pascal (qui se construit à l’aide de la formule de Pascal) :

n=0 1 n=1 1 1 n=2 1 2 1 n=3 1 3 3 1 n=4 1 4 6 4 1 n=5 1 5 10 10 5 1

Ce triangle se remplit à l’aide de la formule de Pas- cal que l’on peut schémati- ser par :

• + • q

•

(9)

)

– Mathématiques appliquées 9 II.2 – Autres visions des coefficients binomiaux

II.2.1 – Cohérence avec la définition probabiliste vue au lycée Au lycée, le coefficient binomial

µn k

¶

a été défini comme le nombre de chemins réalisant exactementk succès dans l’arbre représentantnrépétitions (indépendantes) d’une épreuve suivant une loi de Bernoulli.

Il a été en outre démontré que ces coefficients binomiaux « version probabiliste », avaient les mêmes valeurs particu- lières et vérifiez la même relation de récurrence (formule de Pascal). Il en résultat qu’il s’agitexactement des mêmes coefficients.

II.2.2 – Proposition (Vision ensembliste des coefficients binomiaux)

Soit E un ensemble àn éléments. Alors le nombre de parties (ou sous-ensembles) de E ayant exactementk éléments vaut

µn k

¶ .

II.3 – Formule du binôme de Newton

II.3.1 – Théorème (Formule du binôme de Newton) Pour tout (a,b)∈R²etn∈N^∗on a :

(a+b)ⁿ =

n

X

k=0

µn k

¶

a^kbⁿ⁻^k =

n

X

k=0

µn k

¶ aⁿ⁻^kb^k

Remarque –La deuxième formule s’obtient en échangeant le rôle dea etb, ce qui est faisable car a+b =b+a (commutativité de l’addition dansR).

(10)

B8

Exemples

1I ^{Pour tout}ⁿ∈Neta=b=1 on obtient la formule : 2ⁿ=

n

X

k=0

µn k

¶

Remarque –Il s’agit de la somme des éléments de lan-ième ligne du triangle de Pascal.

2I ^{Pour tout}ⁿ∈N^∗on a de même :

(1−1)ⁿ=0ⁿ=0=

n

X

k=0

(−1)^k µn

k

¶

Ò Exercice C9 Soitn∈N^∗.

1. Pour toutk∈[[1,n]] démontrer que :

k Ãn

k

!

=n Ãn−1

k−1

!

2. En déduire la valeur de la somme :

n

X

k=1

k Ãn

k

!

Ò Exercice C10

Pour toutn∈N^∗on pose :

A_n= X

06^k6ⁿ kpair

Ãn k

!

B_n= X

06^k6ⁿ kimpair

Ãn k

!

Calculer A_n+B_net A_n−B_n. En déduire la valeur de A_net B_n.

(11)

)

– Mathématiques appliquées 11 Ò Exercice C11

Soitn∈N^∗. 1. Calculer :

n

X

k=1

(−1)^k⁻¹k Ãn

k

!

=0 pourn>^2.

2. Calculer :

n

X

k=1

Ãn k

!(−1)^k+1 k+1

Indication –On pourra écrire la fonction x7→(1−x)ⁿde deux façons différentes, la dériver ou la primitiver, puis considérer une valeur particulière de x.

III – Sommes doubles

III.1 – Sommes « rectangulaires »

III.1.1 – Somme des éléments d’un tableau (rectangulaire)

Considérons un tableau de nombres réels avec par exemple 3 lignes et 4 colonnes u_1,1 u_1,2 u_1,3 u_1,4

u2,1 u2,2 u2,3 u2,4

u3,1 u3,2 u3,3 u3,4

On numérote ces nombres de telles sortes queui,jsoit le nombre situé à la ligneiet colonnej.

On dispose donc d’unefamillede nombres réels notée (ui,j)16i63

16j64,indexéepar 2 indices, le premier variant entre 1 et

3 et le second entre 1 et 4.

On désire calculer la somme S de tous les éléments de ce tableau. Pour cela on peut adopter deux stratégies :

— soit faire la somme de chaque ligne, puis ajouter tous les résultats obtenus ;

— soit faire la somme de chaque colonne, puis ajouter tous les résultats obtenus.

Évidemment on obtient le même résultat quelque soit la méthode retenue.

Dans le premier cas on obtient :

S=(u1,1+u1,2+u1,3+u1,4)+(u2,1+u2,2+u2,3+u2,4)+(u3,1+u3,2+u3,3+u3,4)

= µ 4

X

j=1

u1,j

¶ +

µ 4

X

j=1

u2,j

¶ +

µ 4

X

j=1

u3,j

¶

=

3

X

i=1

µ ₄ X

j=1

u_i,j

¶

et dans le second :

S=(u1,1+u2,1+u3,1)+(u1,2+u2,2+u3,2)+(u1,3+u2,3+u3,3)+(u1,4+u2,4+u3,4)

= µ 3

X

i=1

ui,1

¶ +

µ 3

X

i=1

ui,2

¶ +

µ 3

X

i=1

ui,3

¶ +

µ 3

X

i=1

ui,4

¶

=

4

X

j=1

µ 3

X

i=1

ui,j

¶

On en déduit donc que :

3

X

i=1

µ 4

X

j=1

ui,j

¶

=

4

X

j=1

µ 3

X

i=1

ui,j

¶ , Autrement dit on peutintervertirles deux symboles de sommation.

(12)

Exemple –Considérons par exemple le tableau à 2 lignes et 3 colonnes suivant 1 5 −1

4 8 −3 Par la première méthode on obtient : (1+5−1)+(4+8−3)=14.

Par la seconde on trouve : (1+4)+(5+8)+(−1−3)=14.

Plus généralement on a le résultat suivant.

III.1.2 – Proposition (Interversion de deux symboles de sommation) Soit (ui,j)16i6n

16j6p une famille de nombres réels indexée par 2 indices, le premier variant entre 1 etnet le second

entre 1 etp. Alors

n

X

i=1

µ p

X

j=1

u_i,j

¶

=

p

X

j=1

µ n

X

i=1

u_i,j

¶ .

On note souvent cette somme de la manière suivante : X

16i6n 16j6p

ui,j. Ò Exercice C12

Calculer la somme S= X

16i6n 16j6p

(i+j).

Ò Exercice C13

Pour toutn∈N^∗, calculer les expressions suivantes :

X

16ⁱ^,j6ⁿ

(i+j) X

06ⁱ^,j6ⁿ Ãi

j

!

Y

16ⁱ^,j6ⁿ

i j X

16ⁱ^,j6ⁿ k^i+j

III.2 – Sommes « triangulaires »

III.2.1 – Présentation

On souhaite comme précédemment calculer la somme S des élements d’un tableau. Mais nous nous intéressons cette fois à un tableaupartiellement remplide forme triangulaire :

u1,1 u1,2 u1,3 u1,4

u2,2 u2,3 u2,4

u3,3 u3,4

u4,4

Dans ce tableau, seules les cases situées au dessus (au sens large) de la diagonale sont remplies. Autrement dit la case située à la lignei et colonne jest remplie si et seulement sii6^j. On a donc une famille de nombres réels que l’on note (u_i,j)16ⁱ6^j6⁴.

Nous pouvons comme précédemment adopter deux stratégies : sommer par lignes ou par colonnes.

Dans le premier cas on obtient :

S=(u1,1+u1,2+u1,3+u1,4)+(u2,2+u2,3+u2,4)+(u3,3+u3,4)+(u4,4)

= µ 4

X

j=1

u1,j

¶ +

µ 4

X

j=2

u2,j

¶ +

µ 4

X

j=3

u3,j

¶ +

µ 4

X

j=4

u4,j

¶

=

4

X

i=1

µ ₄ X

j=i

ui,j

¶

(13)

)

et dans le second :

S=(u1,1)+(u1,2+u2,2)+(u1,3+u2,3+u3,3)+(u1,4+u2,4+u3,4+u4,4)

= µ ₁

X

i=1

u_i,1

¶ +

µ ₂ X

i=1

u_i,2

¶ +

µ ₃ X

i=1

u_i,3

¶ +

µ ₄ X

i=1

u_i,4

¶

=

4

X

j=1

µ j

X

i=1

ui,j

¶

On en déduit donc que :

4

X

i=1

µ 4

X

j=i

ui,j

¶

=

4

X

j=1

µ j

X

i=1

ui,j

¶

Autrement dit on peutintervertirles deux symboles de sommation, à condition de faireattentionaux intervalles dans lesquels varient les indices.

Plus généralement on a le résultat suivant.

III.2.2 – Proposition (Interversion dans une somme double « triangulaire »)

Soit (ui,j)16ⁱ6^j6ⁿune famille de nombres réels indexée par 2 indicesietjvariant entre 1 etnaveci6^{j. On a} alors

n

X

i=1

µ n

X

j=i

ui,j

¶

=

n

X

j=1

µ j

X

i=1

ui,j

¶

Remarques

1I On note souvent cette somme de la manière suivante : X

16ⁱ6^j6ⁿ

ui,j

2I Pour réaliser une interversion dans une telle somme double il certainement utile d’écrire la chose suivante :











16ⁱ6ⁿ

ET

i6^j6ⁿ

⇐⇒ 16ⁱ6^j6ⁿ ⇐⇒











16^j6ⁿ

ET

16ⁱ6^j Ò Exercice C14

Calculer la somme S=

n

X

i=1

µ _n X

j=i

i 1+j

¶ .

Remarque –Il existe plusieurs variantes de sommes doubles « triangulaires ». Par exemple : X

16i<j6ⁿ

ui,j

représente la somme des éléments d’un tableau dont seules les cases situées strictement au dessus de la diagonale sont remplies. Ou encore :

X

16^j6ⁱ6ⁿ

ui,j

qui représente la somme des éléments d’un tableau dont seules les cases situées au dessous (au sens large) de la diagonale sont remplies.

(14)

Ò Exercice C15

Pour toutn∈N^∗, calculer les expressions suivantes : X

16^k6ⁱ6ⁿ 1 i

X

16ⁱ<j6ⁿ (i+j)

IV – Exercices additionnels

Ò Exercice C16 (Sommes géométriques « dérivées ») 1. Pour toutx∈R\ {1} on note :

S(x)=

n

X

k=0

x^k

Rappeler (sans démonstration) l’expression simplifiée de S(x).

2. En dérivant la fonction S surR\ {1}, en déduire une expression simplifiée de la somme suivante :

n

X

k=1

kx^k−1

3. En dérivant une deuxième fois, en déduire une expression simplifiée de la somme suivante :

n

X

k=2

k(k−1)x^k⁻²

Fin du chapitre

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