LMSC Corrigé DS 6 Exercice 1 1.

(1)

LMSC Corrigé DS 6 Exercice 1

1. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (−5

−1) . ( 2

−7) = −10 + 7 = −3 2. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵×𝐴𝐶× cos 𝐵𝐴𝐶̂ = 5×6× (−^√3

2) = −15√3 3. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵×𝐴𝐻 = 7×3 = 21

4. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵²= 5²= 25 5. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0

Exercice 2

Soit le repère (𝐴; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ ). On a : A(0 ;0), E(a+b ;0), C(a ;a) et G(a ;b).

D’où : 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (𝑎 𝑏) . (−𝑏

𝑎 ) = −𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 0. Les vecteurs 𝐴𝐺⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux. On conclut que les droites (AG) et (EC) sont bien perpendiculaires.

Exercice 3

1. 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = (−3

−4) . (−5

−1) = 15 + 4 = 19

2. 𝐴𝐵 = √9 + 16 = 5 cm et 𝐴𝐶 = √25 + 1 = √26 cm

3. On a : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐵×𝐴𝐶× cos 𝐵𝐴𝐶̂ . D’où : cos 𝐵𝐴𝐶̂ = ^𝐴𝐵^{⃗⃗⃗⃗⃗ .𝐴𝐶}^{⃗⃗⃗⃗⃗}

𝐴𝐵×𝐴𝐶= ¹⁹

5√26. Soit 𝐵𝐴𝐶̂ ≈ 41,8°

4. On a : 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐻×𝐴𝐶 ⟺ ¹⁹

5√26= 𝐴𝐻×√26 ⟺ 𝐴𝐻 = ¹⁹

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Exercice 4

(2)

Exercice 5

1. Considérons dans le triangle isocèle OBC, la médiane (qui est aussi une hauteur) issue de O coupant le segment [BC] en I. Dans le triangle OBI rectangle en I, par le théorème de Pythagore, on a : 𝑂𝐵²= 𝐵𝐼²+ 𝐼𝑂² soit 1 =^ℎ²

4 +^𝑙²

4 ⇔^ℎ²

4 = 1 −^𝑙²

4 ⇔ ℎ²= 4 − 𝑙². 2. 𝑙×ℎ²= 𝑙×(4 − 𝑙²) = 4𝑙 − 𝑙³ = −𝑙³+ 4𝑙.

3. (a) 𝑓^′(𝑥) = −3𝑥²+ 4 = (2 − √3𝑥)(2 + √3𝑥) Les racines de 𝑓′(𝑥) sont ²

√3 et − ²

√3. On obtient le tableau de variation complet suivant : 𝑥 −∞ − ²

√3 ²

√3 +∞

𝑓′(𝑥) − 0 + 0 − 𝑓

^16√3₉

⁻^16√3₉

(b) La résistance s’exprime de la façon suivante 𝑙×ℎ²= 𝑓(𝑙). Pour que la poutre résiste le mieux, il faut choisir 𝑙 tel que 𝑓 soit maximale. C’est-à-dire, d’après le tableau de variation de 𝑓, pour

𝑙 = ²

√³. De plus, le maximum est égale à ^16√3₉ . D’où l’égalité suivante _√3²×ℎ²=^16√3₉ soit : ℎ²=⁸

3 soit ℎ =^2√2

√3 .

(c) Plaçons nous dans le triangle rectangle OBI, on a : cos(𝐵𝑂𝐼)̂ =

1

√3

1 = ¹

√3. Soit : 𝐵𝑂𝐼̂ = 54,7° et donc ∝= 𝐵𝑂𝐼̂ ×2 = 109,4°

Exercice 6

(𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^3𝜋

4 ; (𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^5𝜋

12; (𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^11𝜋

12 ; (𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^7𝜋

12; (𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =^11𝜋

4

(3)

Exercice 7

5. Proposition fausse