PRESSION. TEMPERATURE

PRESSION. TEMPERATURE

A – Théorème du viriel

A

2

A d F

mv r mv r

= r r ⋅

⇒

dt = + r r

v r , r r sont bornées

Moyenne temporelle :

( ) ( ) ( )

0

A ' A A 0

A 1

lim ' lim 0

'

t

t t

d t t

d dt

dt

^→∞

t dt

^→∞

t

= ∫ = − =

d’où :

2

_c

+ F r r ⋅ r = 0

E E_c

: énergie cinétique

B – Pression : valeur moyenne de la force exercée par unité de surface

F ^{r r} ⋅ r = − ∫∫  P S d ^r ⋅ = − r ^r 3PV

C – Température : mesure d’agitation thermique

Le théorème du viriel implique :

3 PV

c

= + 2

E

Pour un gaz parfait, PV = nRT,

D’où :

3

2 RT

c

= + n

E

Ou par particule :

3 T

c

2 e = k

Ainsi les particules n’ont pas de mouvement autre que celui de leur centre de masse ; donc ceci est vrai en particulier pour le gaz parfait monoatomique.

D – Energie interne d’un gaz parfait monoatomique

( )

2 2 2 2

1 1

2 2

c x y z

e = mv = m v + v + v

Trois paramètres figurent dans l’expression de l’énergie ; on dit que la particule a trois degrés de liberté.

3 T

c

2

e = k

, soit

1

2 k T

par degré de liberté ; ceci s’appelle principe d’équipartition de l’énergie.

E – Energie interne d’un gaz parfait polyatomique

On comparera les courbes suivantes :

On appelle énergie interne du système son énergie totale U, dans le repère barycentrique.

gaz parfait

U =

E_c

gaz parfait monoatomique

3 3

U RT NkT

2 n 2

= =

nombre de moles. n

N nombre de particules

gaz parfait polyatomique

U = f (T)

En général,

5

(T) RT

f = 2 n

aux températures usuelles.

Pour un système soumis aux seules forces de pression, on définit la capacité calorifique à volume constant : _v

v

C (T) U

T δ

δ

 

=

 

 

Pour un gaz parfait, U ne dépend que de T,

D’où : _v

U

C (T) T d

= d

Dans le cas général,

C

_v dépend de T et V.

3R 2

3R 2 U T d d

 

 

 

U T d d

 

 

 

5R 2

T T

T U mole

mole mole 7

2R

Gaz parfait polyatomique Gaz parfait monoatomique

Exercices

Ex. 1. Covolume d’un gaz de sphères dures

On considère un gaz de sphères dures de rayon

ρ

interagissant par des collisions parfaitement élastiques ; on se restreindra aux seules collisions à deux particules.

Au niveau d’une molécules, les forces qu’elle subit dans ces collisions avec les autres molécules sont des forces de pression qui s’exercent au niveau de la sphère de rayon

2 ρ

centrée sur le centre de la molécule considérée ; cette sphère représente en effet la limite du volume interdit aux centres des autres molécules. Utiliser le théorème du viriel pour établir l’équation d’état

^{P V} ( ^{− b} ) ^{= n RT}

, en explicitant b.

Rappel :

R =

N

k

_. Réponse

Pour le système, on a :

( )

,

1 F

c

2

ij i

i j

= − ∑ ^r ⋅ r ^r

E

On groupe les termes deux par deux :

( )

F r

_ij

⋅ + r r

_i

F r

_ji

⋅ = r r

_j

F r

_ij

r r

_i

− r r

_j

=F M M r

_ij

⋅ uuuuuur

_{j i}

Action-réaction F r

_ij

=− F r

_ij

D’où la somme sur

2 n

N

paires de sphères dures.

paires

1 F M M

c

= − 2 ∑ ^r

ij

⋅ ^uuuuuur

j i

E

F M M r

_ij

⋅ uuuuuur

_{j i}

< 0

Les forces

F

_ij

r

sont des forces de contact sur les sphères de rayon

2 ρ

, autour de chaque sphère dure de rayon

ρ

.

• Pour la sphère dure numéro i.

sphère de protection

F M M

_{ij j i}

P2 S

J

ρ d

⋅ =

∑ ^{r uuuuuur} ∫∫ 

( )

²

2 4 2

P ρ π ρ

= ×

D’où, pour les

2 n

N

paires :

( )

²

paires

F M M P2 4 2

ij j i

2

n ρ π ρ

⋅ = ×

∑ ^{r uuuuuur}

^N

• Le théorème du viriel donne donc :

( )

³

terme de terme du covolume cours

3 PV P 2

c

2 π n ρ

↑ ↑

= −

E N

or,

3 3

T RT

2 2

c

= n k = n

E N _{d’où :}

^{RT P V 2} ( ) ²

³

n =

^

− 3 π n ρ

^

 N 

Le covolume b est donc :

( )

³

3 2

b = 2 π n

N

ρ

Ex.2. Pression créée par un gaz parfait monoatomique

On s’intéresse aux molécules (supposées ponctuelles) atteignant la paroi de

l’enceinte sur la surface élémentaire

δ S

entourant un point M. On suppose que les molécules rebondissent élastiquement sur la paroi.

1. Quelle est la quantité de mouvement cédée par chaque molécule sur la paroi ? 2. Chaque molécule est caractérisée par sa vitesse

v r

: norme

v

, angles

θ

,

ϕ

; on suppose que le nombre de molécules de vitesse

v r

, par unité de volume, est homogène dans l’espace des vitesses, et s’écrit donc :

( )⁶

F v v v sin ( )

²

V d n

d d d

d = θ θ ϕ

Quel est le nombre de molécules, de vitesse

v r

, qui atteignent la surface élémentaire

δ S

par intervalle de temps élémentaire

δ t

?

θ

Intérieur de L’enceinte

Extérieur

Normale A la paroi M

θ

angle avec la normale à la paroi, Dans le plan de la figure.

V : volume de l’enceinte.

ϕ

angle du plan de figure avec un plan de référence contenant la normale en M à la paroi.

Paroi

Trajet d’une particule

3. En déduire la pression exercée par le gaz sur la paroi, sous forme d’une intégrale sur les normes de la vitesse.

4. Exprimer de même l’énergie volumique des particules, et en déduire une relation entre la pression P et l’énergie volumique

U

V

^. Réponse

1. Chaque molécule voit sa quantité de mouvement selon xx’ passer de

m v

_x à

v

_x

− m

; sa quantité de mouvement diminue de

2 v m

_x.

Donc, chaque molécule cède à la paroi la quantité de mouvement

2 v m

_x, notée

p 2 v u m

_x

δ r = r

ou en coordonnées polaires, dans l’espace des vitesses :

p 2 v cos u m δ r = θ r

2. Nombre de particules de vitesse

v r

heurtant

δ S

pendant

δ t

: Parmi les particules de vitesse

v r

, seules celles situées dans le cylindre s’appuyant sur

δ S

et de génératrice

v ^r δ t

heurtent

δ S

pendant l’intervalle de temps

δ t

, c'est-à- dire :

( ) ( )⁶

3

v S cos

V d n

d n t

d δ δ θ

= ×

( )⁶

d n

est un infiniment petit d’ordre 6 (3 paramètres de position et 3 paramètres de vitesse).

( )³

d n

est un infiniment petit d’ordre 3 seulement (3 paramètres de vitesse).

( )³

F v v v cos sin ( )

³

S d n = d θ θ θ ϕ δ δ d d t

θ

δ S

Fig. 2.

v ^r δ t

x

Fig. 1.

x’

θ

v m r

v m r ′

u r

3. Calcul de pression

Les

d n

^{( )3} particules apportent par unité de temps et de surface, une quantité de mouvement :

( )³

( )

2 v cos m θ × d n / δ δ t S

L’ensemble des particules de l’enceinte apporte donc une pression P :

( )³

2 2

v 0 0 0

P 2 v cos

S m d n

t

π π

θ ϕ

θ

δ δ

∞

= = =

= ∫ ∫ ∫

Avec : v, norme du vecteur vitesse, varie de 0 à

∞

;

θ

, angle avec la normale à la surface, variant de 0 à

2

π

(compter les particules

dirigées vers la paroi) ;

ϕ

varie de 0 à

2 π

.

On sépare l’intégrale triple en 3 intégrales simples :

( )

^{4 2 2 2}

v 0 0 0

P 2 m F v v v d cos sin d d

π π

θ

θ θ θ

ϕ

ϕ

∞

= = =

= ∫ ∫ ∫

( )

⁴

v 0

P 2 2 F v v v

m 3 π

^∞

d

= ⋅ ∫

=

2 3

2 2

0 0

cos sin 1 cos d 3

π π

θ

θ θ θ θ

=

= −

 

∫

Soit :

( )

⁴

v 0

P 4 F v v v

3 π m

^∞

d

= ∫

=

4. Calcul d’énergie

Chaque particule a une énergie cinétique

1

²

2 m v

, d’où l’énergie volumique :

( )⁶

U 1

2

... v

V 2 V

d n

m d

= ∫ ∫

où il convient d’intégrer sur les trois paramètres de vitesse ; mais attention, toutes les directions sont prises en compte, donc

θ

sera pris de 0 à

π

. On a donc :

( )

2 2 2

v 0 0 0

U 1

v F v v v sin

V

^{π π}

2 m d d d

θ ϕ

θ θ ϕ

∞

= = =

= ∫ ∫ ∫

( )

^{4 2}

v 0

F v v v

0

sin

0

2

m d

^π

d

^π

d

θ

θ θ

ϕ

ϕ

∞

= = =

= ∫ ∫ ∫

( )

⁴

4

v 0

F v v v 2

m π

^∞

d

= ⋅ ⋅ ∫

=

( )

⁴

v 0

U 2 F v v v

V π m

^∞

d

= ∫

=

D’où :

2 U

P pour un gaz parfait 3 V monoatomique

=