Rappels :O ENSTA-C MS204D

ENSTA - C

MS 204

D

: O

Amphi 4

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Rappels

S

Ω f

◮ Équation locale :

∀x∈ Ω, ∀ t : ∂²

∂t²M[w(x, t)]+K[w(x, t)] = f(x, t). + Conditions aux limites

◮ Problème libre :f = 0 Problème forcé : f 6= 0

◮ Recherche de solution de la forme :

w(x, t) =φ(x)e^iωt

On montre alors qu’il existe un nombre discret mais infini de modes propresφn

et de pulsations propres associéesωn.

◮ Ces modes propres sont orthogonaux vis-à-vis de l’opérateur de masse et de l’opérateur de raideur.

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

O

◮ Définition d’un produit scalaire :

< f, g >=

Z

Ω

f gdΩ. (1)

◮ Orthogonalité des modes propres vis-à-vis de l’opérateur de masse :

< M(φn), φm >= δmnmn (2)

◮ Orthogonalité des modes propres vis-à-vis de l’opérateur de raideur :

< K(φn), φm >=δmnkn (3)

R

: EDP EDO

◮ On insère le développement :

w(x, t) =

+∞

X

p=1

Xp(t)φp(x)

◮ Projection des équations sur un modeφn :

∀n ≥1, mnX¨n(t) +knXn(t) =fn(t)

⇒Infinité d’équations indépendantes d’oscillateurs linéaires

◮ Force modale :

fn(t) =< φn, f(x, t)>=

Z

Ω

f(x, t)φndΩ

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

L’oscillateur harmonique

O

m

x(t)

f(t)

m¨x(t) +kx(t) =f(t)

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

O

m c

k

mx¨+cx˙ +kx= f(t)

Oscillations libres

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

◮ Oscillations libres≡pas de forçage :

m¨x+kx = 0

◮ Recherche d’une solution harmonique de la formex =e^iωt, k−ω²m= 0 ⇒ ω =±

r k m

◮ Solution générale du problème,

x(t) =ae^iωt+be^−iωt =Asinωt+Bcosωt.

◮ Les constantesAetB dépendent des conditions initiales, x(t) =x₀cosωt+ x˙₀

ω sinωt

◮ En posanttanϕ= ˙x₀/ωx₀,

x(t) = r2ǫ₀

k cos(ωt−ϕ) avecǫ₀ ≡énergie mécanique initiale= ^k₂x²₀+ ^m₂x˙²₀.

t x

x0

˙ x₀

q2ǫ₀ k

Trajectoire dans l’espace des phasesր

x

˙ x

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

C

◮ Oscillations libres≡pas de forçage :

ω²x+ 2ωζx˙ + ¨x= 0, avecζ = c

2mω

◮ Recherche d’une solution harmonique de la formex =e^λt, λ= ω

−ζ±ip

1−ζ²

=−ζω±iωa

◮ Partie imaginaire : pulsation modifiée : ωa =ωp 1−ζ²

Partie réelle : amortissement temporel : −ζω (ζ : taux d’amortissement).

ζ ωa/ω

0 1

0.1 0.99499 0.2 0.97980 0.3 0.95394

O

◮ Siζ <1,

x(t) =e^−ωζt

"

x0 cosωat+ ζ

p1−ζ² sin(ωat)

! + x˙0

ωa

sin(ωat)

# ,

avecωa= ωp

1−ζ².

◮ Siζ >1,λ∈R⁻, mouvement exponentiellement décroissant, sans oscillation (mouvement sur-amorti).

◮ Siζ ≪ 1,

x(t) ≃e^−ωζth

x0cosωt+ ^x˙_ω⁰ sin(ωt)i

=e^−ωζtq

2ǫ₀

K sin(ωt+φ) Diminution exponentielle de l’énergie mécanique totale.

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

t x

տ Sinus amorti

Trajectoire dans l’espace des phasesր

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

˙ x

x

R

,

APPLICATION À LA CORDE PINCÉE

◮ Solutions temporelles du problème de corde pincée:

m_l∂²y

∂t² −T ∂²y

∂x² = 0 +conditions initialey₀(x, t= 0)imposée,

à vitesse nulle. ^{0 0.5 1}

0 2.5 5

x 10⁻³

◮ Représentation base modale : y(x, t) =PN

n=1Xn(t)Φn(x), où les modes normaux :Φn(x) = p

2/Lsinnπx/L, ωn =nπc/L.

X¨n+ω²_nXn = 0 Xn(t= 0) =X_n⁰ =

Z _L

0

y0(x)Φn(x)dx, X˙n(t= 0) = 0

◮ solution ∀n = 1...N : Xn(t) =X_n⁰cosωnt

◮ Problème de la troncature (choix de N):

⊲représentation de la C.I. : y₀(x, t= 0) =PN

n=1X_n⁰Φn(x)

⊲représentation de la solutiony(x, t)pour toutt.

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

L’oscillateur harmonique

Réponse forcée

R

◮ Forçage≡ pδ(t−t₀):

¨

x+ 2ωζx˙ +ω²x = p

mδ(t−t0)

◮ δ(t)≡distribution singulière de Dirac : Z t₂

t₁

δ(t−t₀)g(t)dt =

g(t0)sit0 ∈[t1, t2] 0sinon

◮ Intégration de l’équation du mouvement:

Z t₀+ǫ t₀−ǫ

¨

x+ 2ωζx˙ +ω²x

dt= p m

=⇒ [ ˙x]^t_t^0+ǫ

0−ǫ+ 2ωζ[x]^t_t^0+ǫ

0−ǫ+

Z t₀+ǫ t₀−ǫ

ω²xdt = p m

◮ Lorsqueǫ−→ 0, l’équation devient

˙

x0|^t₀₊ −x˙0|^t₀− = p m,

=⇒Forçage impulsionnel≡discontinuité finie de la vitesse.

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

A

: P

D

t= 0

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

D

t= 1

R

◮ Équation d’oscillateur forcé :

ω²x+ 2ωζx˙ + ¨x

= F0

me^iωft (4)

◮ Réponse à la même fréquence que le forçage=⇒ x=x0e^iωft : ω²x₀+ 2iωζω_fx₀−ω_f²x₀

e^iωft = F₀

me^iωft (5)

◮ Fonction de transfertentre le forçage et le déplacement H(ω_f) = x0

F0

= 1

m

ω²−ω²_f + 2iωζω_f (6)

◮ En fonction de la fréquence réduitez=ω/ω_f :

H(z) = 1

k(1−z²+ 2izζ) (7)

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

C

z

10⁻¹ 10⁰ 10¹

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

Réponse

quasi statique Réponse

résonante Réponse

inertielle

|H(z)|²

z

ζ = 0.02

ζ = 0.05

ζ= 0.1

ζ= 0.2

|H(z)|2 ∼1/k2 |H(1)|2 = 1

4ζ2k2 |H(z)|2∼ 1 k2z4

P

z

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

−3

−2.5

−2

−1.5

−1

−0.5 0

arg(H)

z

ζ= 0.02

ζ= 0.2

−π 2

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Oscillateur libre Oscillateur forcé

FACTEUR DE QUALITÉ

◮ On définit le facteur de qualitéQ:

Q= 1 2ζ

◮ Réponse en fréquence:

H(z) = 1

k(1−z²+iz/Q) à la résonance : |H(1)| = ^Q_k

la hauteur de la réponse en fréquence estQ fois l’amplitude de la réponse quasi-statique.

◮ Méthode de mesure:

On cherche les pointsz_1,2 t.q. |H(z)|² = ^H(1)₂ ². casζ <<1:

z₁−z₂ = 4ζ 2ζ = ∆ω

2ω_f ou : Q = 2ω_f

∆ω

0.98 0.99 1 1.01 1.02

10⁻² 10⁻¹ 10⁰

|H(z)|²

z z

1 z

2

R

◮ Supposons désormais le forçagef(t)quelconque:

¨

x+ω₀²x+ 2ζω₀x˙ = 1 mf(t)

◮ En utilisant la transformée de Fourier (temporelle),

ainsi que la linéarité de l’équation du mouvement, on obtient:

(−ω²+ω₀²+ 2iζω₀ω)˜x(ω) = 1 mf(ω)˜

◮ On reconnait la fonction de transfertH(ω), la réponse fréquentielle est donc donnée simplement par:

˜

x(ω) =H(ω) ˜f(ω)

◮ On appelle réponse impulsionnelle ou fonction de Green la transformée de Fourier inverse deH(ω), que l’on noteG(t).

◮ La solution à un forçage quelconque s’exprime simplement comme la convolution entre la réponse impulsionnelle et le forçage considéré:

x(t) =T F⁻¹[H(ω) ˜f(ω)]

= (G∗f)(t) (8)

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

Systèmes à N degrés de liberté

S

N

: C

◮ Système àN degrés de libertés~x= [x1, x2...xN]^t

◮ Système deN équations pour l’évolution des composantes de~x: M~x¨+K~x = 0

◮ En général, les matricesM etK sont pleines (problème couplé).

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

E

: O

m m

k k k

x₁ x₂

m¨x1+kx1−k(x2−x1) = 0 m¨x₂+kx₂−k(x₁−x₂) = 0

m 0

0 m

~¨ x+

2k −k

−k 2k

~ x=~0

É

L

◮ Lagrangien≡Énergie cinétique - énergie potentielle :

L=T(~q,~q, t)˙ −V(~q,~q, t).˙ (9)

◮ Principe de moindre action :

A= Z t₂

t₁ L(~q,~q, t)dt˙ (10) est minimale pour la trajectoire correspondant à la solution.

q_i

t C C^′

t1 t2

◮ Conséquence : Équations de Larange

∂L

∂q_i − d dt

∂L

∂q˙_i = 0, i∈[1, N]. (11)

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

E

1 : O

◮ Énergie cinétique :

T = m

2 x˙²₁+ m

2 x˙²₂ (12)

◮ Énergie potentielle :

V = k

2x²₁+ k

2x²₂+ k

2(x2−x1)² (13)

◮ Lagrangien :

L=T −V = m

2 x˙²₁+ m

2 x˙²₂− k

2x²₁− k

2x²₂− k

2(x₂−x₁)² (14)

◮ Équations de Lagrange :

∂L

∂xi − d dt

∂L

∂x˙i

= 0, i = 1,2 (15)

◮ Équations du mouvement :

m¨x₁+kx₁−k(x₂−x₁) = 0

m¨x2+kx2−k(x1−x2) = 0 (16)

E

2 : B

l

b m b

k₁ k₂

Variables du problème :

◮ Déplacement verticalz(t)

◮ Rotation autour de l’axeOy

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

E

2 : B

◮ Énergie cinétique :

T = 1

2mz˙²+ 1

2Iyyθ˙², (17)

Moment d’inertie de rotation par rapport à l’axe(Oy): Iyy =ρ

Z

V

(x²+z²)dV = mb²+l²

12 . (18)

◮ Énergie potentielle :

V = 1 2k₁

z− lθ

2 2

+ 1 2k₂

z+ lθ

2 2

. (19)

◮ Lagrangien : L= 1

2mz˙²+ 1

2Iθ˙²− 1

2 (k1+k2)z²− 1

2 (k1+k2) l²θ² 4 − 1

2 (k2−k1)lθz. (20)

◮ Équations de Lagrange :











m¨z+ (k1+k2)z+ 1

2(k2 −k1)lθ = 0, Iyyθ¨+ 1

4(k₁+k₂)l²θ+ 1

2(k₂−k₁)lz = 0,

(21)

Modes propres des systèmes discrets

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

R

◮ Forme générale des équations d’oscillateurs couplés : M~x¨+K~x= 0

◮ Recherche d’une solution harmonique :

~x(t) =φe~ ^iωt

◮ L’équation devient

(K −ω²M)φ~ = 0

◮ Solution non triviale si

det(K −λM) = 0 (λ≡ω²) (polynôme de degréN enλ=⇒N solutions)

◮ Modes propres vibratoires :

φ~ne^iωnt avec ωn =±p λn

ωn ≡pulsation propre , φ~n ≡Mode propre

P

’

◮ Vis-à-vis de la matrice de masse : φ~n

tM ~φm = ˜Mnδmn (22)

◮ Vis-à-vis de la matrice de raideur : φ~n

tK ~φm = ˜Knδmn (23)

◮ Projection des équations sur la base modale :

~

x(t) =P

nqn(t)φ~n

P

nqM ~¨ φn+P

nqK ~φn =F~(t) φ~m

tP

nqM ~¨ φn+φ~m tP

nqK ~φn =φ~m tF~(t)

M˜mq¨m+ ˜Kmqm = ˜Fm =⇒ N équations d’oscillateurs découplés !

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

Cadre général Équations de Lagrange

Modes propres des systèmes discrets

D

◮ Problème initial, dans la base “physique” : matrices pleines



 M







 ~x¨



+



 K







 ~x



=F~(t) (24)

◮ Nouveau problème, dans la base modale : matrices diagonales









 . ..

M˜ . ..













 ~q¨



+









 . ..

K˜ . ..













 ~q



= F~˜(t) (25)

◮ Matrices de passage :

P =



 φ~₁ · · · φ~_N



 (26)

~

x =P ~q ~q =P⁻¹~x (27)

E

: O

◮ Équations :

m 0

0 m

~¨ x+

2k −k

−k 2k

~ x =~0

◮ Solutions de la forme~x(t) =φe~ ^iωt:

◮ Problème aux valeurs propres :

2k−ω²m −k

−k 2k−ω²m

φ~ = 0.

◮ Solutions non-triviales si le déterminant s’annule : ω₁ =±

rk

m ω₂ =± r3k

m.

◮ Vecteurs propres correspondants : φ~1 = 1

√2 1

1

φ~2 = 1

√2 1

−1

.

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Rappels L’oscillateur harmonique N degrés de liberté Conclusion

C

◮ Équations d’un milieu continu de dimension finie dans la base modale : Infinité d’oscillateurs découplés

◮ Oscillateur harmonique 1D : problème libre et problème forcé

◮ Oscillateurs harmoniques couplés : Différents types de problèmes

◮ Modes propres des oscillateurs couplés : Problème au valeurs propres

L

...

◮ Méthodes expérimentales

◮ Méthodes numériques

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