R APPEL NDESETVIBRATIONS YNAMIQUEDESSYSTÈMESMÉCANIQUES :O ENSTA-C OURS MS204D

(1)

Introduction Ondes non-linéaires Oscillations non-linéaires Conclusion

ENSTA - C ^OURS MS 204

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

Amphi 6

ENSTA-MS 204-2014/2015 Dynamique des systèmes mécaniques – cours 6

R ^APPEL

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(2)

Rappels

Panorama des non-linéarités en mécanique

R APPELS DE COURS

◮ Dynamique des systèmes mécaniques : gouvernée par des EDP du type:

∀ x ∈ Ω, ∀t : ∂²w

∂t² +L(w(x,t)) = 0

◮ Milieu infini :

Formalisme des ondes :

w(x,t) = eⁱ^(kx^−ωt) Clé de la résolution : variable x −ct.

Relation de dispersion.

(Lien entre les mouvements temporels et spatiaux).

milieux dispersifs et non dispersifs.

Rappels

R ^APPELS

◮ Milieu fini :

∀ x ∈ Ω, ∀ t : ∂²w

∂t² +L(w(x,t)) = 0.

∀ x ∈ ∂Ω, ∀ t : B_i(w(x,t)) = 0, i = 1...p.

◮ Résolution du problème spatial :

◮ Calcul des modes propres : déformées modales + fréquences propres

◮ Projection modale : w(x,t) = P+∞

n=1 Xp(t)φp(x).

◮ Problème temporel : oscillateurs découplés

(3)

Rappels

R ^APPELS

◮ Mode propre : déformée modale + fréquence propre fort contenu physique !

⊲ Un seul oscillateur

10⁻¹ 10⁰ 10¹

10⁻² 10⁻¹ 10⁰ 10¹ 10² 10³

PSzeta1 PSzeta2

PSzeta3 PSzeta4 PSH2

PSz Réponse

quasi statique Réponse

résonante Réponse

inertielle

PSeq1 PSeq2 PSeq3

⊲ Structure (système continu) Une infinité de modes

magnitude[dB]

frequency[Hz]

phase[deg]

10⁰ 10¹ 10²

−200 0 200

−80

−60

−40

−20 0

Rappels

R ^APPELS

◮ Discrétisation des systèmes continus :

Quand on ne connait pas les modes propres du système méthode de résolution numérique.

–Méthode des différences finies –Méthode des éléments finis

–Méthode de Galerkin (Ritz-Rayleigh)

w(x,t) =

N

X

i=1

X_i(t)Ψi(x)

◮ Forme générale des équations:

MX¨ +CX˙ +KX = 0

(4)

Rappels

E ^{FFETS NON} - ^LINÉAIRES

◮ Dans tout ce qui a été montré : Hypothèse Majeure :

l’amplitude des mouvements considérés est petite EDP linéaires.

◮ But de ce cours : lever cette hypothèse.

◮ Plan:

– Classification des non-linéarités en mécanique.

– Ondes non-linéaires.

– Vibrations non-linéaires.

Rappels

C LASSIFICATION DES NON - ^LINÉARITÉS

◮ Non-linéarité de comportement :

Lorsque la loi de comportement n’est plus linéaire.

◮ Non-linéarité d’amplitude :

Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes :

relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations.

◮ Discontinuités et interfaces : Discontinuités, chocs, ...

Non-linéarité non-régulière.

(5)

Rappels

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

◮ En mécanique des solides :

Lorsqu’il n’y a plus proportionnalité entre la contrainte imposée et la déformation résultante :

Exemple : comportement élasto-plastique (cf. cours MS 201).

Rappels

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

◮ En mécanique des solides : autres exemples :

élastomère Matériau à mémoire de forme

Élasticité non-linéaire. Transformation martensitique.

(6)

Rappels

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

◮ En mécanique des fluides :

Rappel : fluide newtonien : les gradients de vitesse (taux de déformation) sont croissants avec la contrainte.

fluide à seuil rhéo−fluidifiant fluide à seuil "de Bingham"

fluide newtonien fluide rhéo−épaisissant

fluide rhéo−fluidifiant

γ

taux de cisaillement

contrainteσ

◮ Rhéologie : étude des comportements des fluides réels (non-newtoniens).

Rappels

N ^ON - LINÉARITÉS D ’ ^AMPLITUDE

◮ En mécanique des solides :

La relation entre les déplacements et les déformations ne peut plus être linéarisée :

ε = 1

2 ∇ξ +∇^tξ +∇^tξ.∇ξ On parle de non-linéarité géométrique.

◮ En Mécanique des fluides :

terme en (v.∇)v dans l’équation de Navier-Stokes ne peut plus être négligé.

(7)

Rappels

D ISCONTINUITÉS ET INTERFACES

◮ exemples en mécanique des solides :

discontinuités dans les forces externes jeu, butée

◮ Lois de contact : exemple de la loi de Hertz :

δ

=⇒ F = kδ³²

Rappels

C LASSIFICATION DES NON - ^LINÉARITÉS

◮ Non-linéarité de comportement :

Lorsque la loi de comportement n’est plus linéaire.

◮ Non-linéarité d’amplitude :

Lorsque les amplitudes du mouvement sont grandes :

relation non-linéaire entre les déplacements et les déformations.

◮ Discontinuités et interfaces : Discontinuités, chocs, ...

Non-linéarité non-régulière.

(8)

Exemple

Méthode perturbative Relation de dispersion

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES

◮ Corde sur fondation élastique non-linéaire :

◮ EDP gouvernant la dynamique :

∂²w

∂t² −c²∂²w

∂x² +g(w) = 0

◮ Force de rappel : développement de Taylor : g(w) =bw +b₂w² +b₃w³ +....

Quel effet vont avoir les termes non-linéaires ?

Exemple

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES

◮ Effet qualitatif :

– Si b₂,b₃, ...≥ 0, =⇒ comportement raidissant.

– Si b₂,b₃, ...≤ 0, =⇒ comportement assouplissant.

◮ Effet quantitatif :

On se limite à une non-linéarité cubique :

∂²w

∂t² −c²∂²w

∂x² +bw +εb₃w³ = 0.

◮ Recherche d’une solution perturbative.

(9)

Exemple

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

◮ On pose, pour le déplacement w :

développement de Taylor de termes propagatifs : w(x,t) = w₀(kx −ωt) +εw₁(kx −ωt) +...

◮ La relation de dispersion sera modifiée : ω² −c²k² = b+εδ,

Exemple

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

◮ Développant et regroupant les puissances de ε : w₀^′′ +w₀ =0 b(w₁^′′ +w₁) +b₃w₀³ +δw₀^′′ =0

◮ solution à l’ordre ε⁰ :

w₀(z) = A cos(z), avec z = kx −ωt.

◮ En reportant à l’ordre ε : b(w₁^′′ +w₁) =

−3

4b₃A³ +δA

cos(z)− 1

4b₃A³cos 3z

(10)

Exemple

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

◮ Solution à l’ordre ε :

on doit absolument annuler le terme résonnant pour obtenir une solution acceptable physiquement. D’où :

δ = 3

4b₃A².

◮ Conséquence : la relation de dispersion dépend de l’amplitude A !

ω² −c²k² = b+ 3ε 4 b₃A²

◮ Vitesse de phase : c_φ = ω

k = c r

1+ b

k²c² + 3εb₃A² 4k²c² .

Le pendule Equation de Duffing Non-linéarités géométriques Systèmes dynamiques

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

◮ Milieu fini la dynamique est gouvernée par des oscillateurs.

◮ Pour les grandes amplitudes de vibrations oscillateurs non-linéaires.

◮ Cas du pendule : θ¨+sinθ =0.

θ

θ θ

l

m

Force de rappel potentiel

E E

E

p s

l

−π π

−π

π

(11)

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

◮ Pendule : trajectoires possibles :

0 5 10 15 20

0 5 10

0

−2 0

trajectoire 2

passante

états liés séparatrice

θ θ

θ

t

◮ La période dépend de l’amplitude.

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

◮ Oscillateur de Duffing forcé à la résonance :

X¨ +ω₀²X +2εµX˙ +εαX³ = εF cosΩt.

◮ calcul perturbatif : on introduit le paramètre σ : Ω = ω₀ +εσ

◮ Après calcul :

σ = 3 8

α

ω₀a² ±

r F²

4ω²a² −µ². avec:

X(t) = a cos(Ωt +φ₀) +O(ε)

(12)

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

◮ Augmentation du forçage

−100 −5 0 5 10

0.5 1 1.5 2

F=1 F=4

F=10

σ a

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

◮ Effet de la non-linéarité :

−10 −5 0 5 10

0 0.5 1 1.5 2

σ

a

α=−10 α=−5 α=0 α=5 α=10

(13)

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

◮ Balayage en fréquence : cycle d’hystéresis :

−100 −5 0 5 10 15

0.5 1 1.5 2

σ

a

N ^ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

◮ Cas général pour les solides élastiques en grands déplacements :

–Relation contrainte-déformation:

ε = 1

2 ∇ξ +∇^tξ +∇^tξ.∇ξ ,

–Équations de la dynamique :

div(F . σ) +f = ρ∂²ξ

∂t² , où F est le tenseur gradient de transformation :

F = 1+∇ξ, –Comportement élastique linéaire :

(14)

N ^ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

◮ Les EDP en non-linéaire géométrique auront la forme : w¨ +L(w) +N₂(w,w) +N₃(w,w,w) = 0, + les conditions aux limites

◮ On utilise la base des modes propres pour projeter l’équation:

w(x,t) =

+∞

X

p=1

X_p(t)φ_p(x).

La dynamique s’écrit donc sous forme générique:

X¨_n +ω_p²X_n +

+∞

X

i=1 +∞

X

j≥i

g_ijⁿX_iX_j +

+∞

X

i=1 +∞

X

j≥i +∞

X

k≥j

hⁿ_ijkX_iX_jX_k = 0

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

◮ Notion de système dynamique et d’espace des phases : X˙ = F_r(X,t).

X ∈ E : espace des phases.

r : paramètre(s) de contrôle.

◮ X₀ points fixes ssi F(X0) = 0.

◮ dans le cas du pendule : θ = 0, π,−π.

(15)

S YSTÈMES DYNAMIQUES

◮ Stabilité des points fixes : Développement limité en X = X₀ :

◮ Soit X = X₀ +ξ. Alors :

ξ˙ =F_r(X₀) + ∂F_r

∂X

X=X₀

ξ.

ξ˙ = ∂F_r

∂X

X=X₀

ξ.

◮ La stabilité est donnée par les valeurs propres de la matrice jacobienne.

S YSTÈMES DYNAMIQUES

◮ Cas du pendule : valeurs propres à l’origine : λ= ±i

oscillations autour de l’origine.

◮ En ±π, les valeurs propres valent (1,−1) : points fixes instables.

(16)

S YSTÈMES DYNAMIQUES

◮ Notion de bifurcation : le système dynamique dépend de paramètres :

X˙ = F_r(X,t).

◮ quand r varie, la nature des points fixes peut changer:

bifurcation.

◮ Etude des bifurcations en regardant comment les valeurs propres de la matrice jacobienne varient avec r .

C ^ONCLUSION

◮ Non-linéarité d’amplitude :

La relation de dispersion dépend de l’amplitude.

La période des oscillations dépend de l’amplitude.

◮ D’autres solutions apparaissent : solutions multiples, hystéresis, bifurcations.

◮ Formalisme mathématique adapté : théorie des systèmes dynamiques.

R APPEL NDESETVIBRATIONS YNAMIQUEDESSYSTÈMESMÉCANIQUES :O ENSTA-C OURS MS204D

ENSTA - C OURS MS 204

D YNAMIQUE DES SYSTÈMES MÉCANIQUES : O NDES ET VIBRATIONS

R APPEL

R APPELS DE COURS

R APPELS

R APPELS

R APPELS

E FFETS NON - LINÉAIRES

C LASSIFICATION DES NON - LINÉARITÉS

N ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ON - LINÉARITÉS D ’ AMPLITUDE

D ISCONTINUITÉS ET INTERFACES

C LASSIFICATION DES NON - LINÉARITÉS

O NDES NON - LINÉAIRES

O NDES NON - LINÉAIRES

O NDES NON - LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

O NDES NON - LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

O NDES NON - LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

V IBRATIONS NON - LINÉAIRES

V IBRATIONS NON - LINÉAIRES

V IBRATIONS NON - LINÉAIRES

É QUATION DE D UFFING

É QUATION DE D UFFING

É QUATION DE D UFFING

N ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

N ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

V IBRATIONS NON - LINÉAIRES

S YSTÈMES DYNAMIQUES

S YSTÈMES DYNAMIQUES

S YSTÈMES DYNAMIQUES

C ONCLUSION

ENSTA - C ^OURS MS 204

R ^APPEL

R ^APPELS

R ^APPELS

R ^APPELS

E ^{FFETS NON} - ^LINÉAIRES

C LASSIFICATION DES NON - ^LINÉARITÉS

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ^ON - LINÉARITÉS DE COMPORTEMENT

N ^ON - LINÉARITÉS D ’ ^AMPLITUDE

C LASSIFICATION DES NON - ^LINÉARITÉS

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

O ^{NDES NON} - ^LINÉAIRES : SOLUTION PERTURBATIVE

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

É ^{QUATION DE} D ^UFFING

N ^ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

N ^ON - LINÉARITÉS GÉOMÉTRIQUES

V IBRATIONS NON - ^LINÉAIRES

C ^ONCLUSION