Analyse globale de systèmes mécaniques non-linéaires - Application à la dynamique des rotors

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Analyse globale de systèmes mécaniques nonlinéaires

-Application à la dynamique des rotors

Emmanuelle Sarrouy

To cite this version:

Emmanuelle Sarrouy. Analyse globale de systèmes mécaniques non-linéaires - Application à la

dy-namique des rotors. Mécanique [physics.med-ph]. Ecole Centrale de Lyon, 2008. Français.

�tel-00366857�

THÈSE

Présentée pour l'obtention du titre de

DOCTEUR

DE

L'ÉCOLE CENTRALE DE LYON

SPÉCIALITÉ GÉNIE MÉCANIQUE

ÉCOLE DOCTORALEDE MÉCANIQUE DE LYON (UCBL/INSA/ECL)

par

Emmanuelle SARROUY

ANALYSE GLOBALE DE SYSTÈMES MÉCANIQUES NON-LINÉAIRES

APPLICATIONÀ LA DYNAMIQUE DES ROTORS

Présentée etsoutenue publiquement le 22o tobre 2008 devantle jury d'examen:

M. B. COCHELIN,Professeur, LMA,E ole Centrale de Marseille Rapporteur

M. J-C. GOLINVAL, Professeur, LTAS,Université de Liège, Belgique Rapporteur

M. J-P. LAINE,Maître de Conféren es, LTDS, É ole Centrale de Lyon Co-en adrant

M. C-H. LAMARQUE,Professeur, LGM,ENTPE, Lyon Président

Jetiens à remer iertoutd'abord mesdeuxdire teurs dere her he,Fabri e Thouverezet

Jean-Pierre Laîné, pour m'avoir proposé e travail, m'a ordant alors plus de onan e que

je nem'en a ordaismoi-même, puispourm'avoir soutenue parfois,guidée,é outéetoujours

etpouravoirprisletemps-etparfoisleplaisirj'espère- deréé hirave moiautourdedeux

ou troiss hémas rapidement esquisséssurun tableau noirou un oin defeuille.

Je tiens ensuite à adresser de sin ères remer iements à Bruno Co helin et Jean-Claude

Golinval qui ont tous deux a epté de rapporter un travail à la limite de notre domaine

usuelderéexion.Jeremer ieaussivivementClaude-HenriLamarquequifutunprésidentde

jury des plusagréables etdont les remarques m'auront été inniment utiles. Je les remer ie

aussi pour l'enthousiasmequ'ils ont bien voulutémoigner à l'égardde mes re her hes;il est

ré onfortant et revigorant d'entendre de la part de personnes que l'on estime que e travail

n'est pastrop mauvais etauraitpeut-êtrequelqu'intérêt àêtre ommuniqué etpoursuivi.

Un haleureux mer i aussi à tous les membre de l'équipe D2S parmi lesquels j'ai trouvé

des amis, des ompagnons de footing,des professeurs de mé anique version ambouis et lé

dedouze, ertainsseretrouvant dansplusieursde es atégories,entousles asdespersonnes

agréables etprêtes à aider,peu importent lanature etla tailledu problème.

Enn, j'aimeraisremer ier mespro hes,amisetfamille,etplusparti ulièrement mes

pa-rentsquiontsumedonnerdurantmesjeunesannéesla onan eainsiquelegoûtd'apprendre

Lanaissan e de e sujetde thèsea étémotivée parlavolontéde plusen plusimportante

d'introduire des non-linéarités dans les modèles an de mieux rendre ompte du

omporte-mentdestru turestoujoursplus omplexes.Ce iaboutitàl'é rituredesystèmesdynamiques

non-linéaires pouvantprésenterdessolutionsde nature omplexe(solutionspériodiquesmais

aussiquasi-périodiquevoire haotique)etpouvant oexister.L'enjeud'unemodélisationétant

laprédi tion du omportement dusystèmepoursondimensionnement notamment, ilest

né- essaire de pouvoir prédire toutes les solutions vers lesquelles pourra tendre la stru ture en

fon tionnement.

A tuellement peu d'outils ou de méthodes sont dédiés à e type d'analyse, dite globale,

permettant d'exhibertoutes les solutions d'unsystème dynamiquenon-linéaire. Le parti est

généralementprisderéaliserungrandnombredetiragesàl'aided'algorithmesdere her he

lo ale.Ce i peut amener à trouver ee tivement toutes les solutions mais ne permetpas de

garantir qu'on enpossède latotalitéetest généralement très oûteux numériquement. Notre

prin ipal obje tif était don de ombler ette la une en tentant de proposer des réponses

satisfaisantàlafoisaubutthéoriquemaisaussiàdes ontraintespratiquesliéesauxressour es

numériquesrequises pour les mettreen ÷uvre.

Pour yparvenir,nousavonsmis en ÷uvrequatretypesde méthodes:desméthodesde

ell-mapping qui onsiste en une dis rétisation de l'espa e d'états et du temps, des méthodes

basées surdestestsd'ex lusion appliquésàune ellule,desméthodesutilisant l'arithmétique

desintervallesde façonà réduire etex luredes ellulesetenn,desméthodesrequérant une

approximation polynomiale des non-linéarités et une résolution du système par homotopie.

Ces diérentes méthodes ont été illustrées par le asa adémique de l'os illateur de Dung,

présentant une non-linéarité simple de façon à pouvoir les omparer, puis nous les avons

appliquées à diérents systèmes relatifs à la modélisation de la dynamique des ma hines

tournantes.

Parallèlement à ebut prin ipal, nousavons étudiédeste hniquesde ontinuation -

per-mettant desuivrel'évolutiond'unesolutionlorsqu'undesparamètresdusystèmevarie-ainsi

que lesméthodesd'analysede stabilitéetde bifur ation dansle asdessolutions onstantes

etpériodiques. Cese ond volet permetpar exemple d'établir lesfon tions deréponseen

fré-quen e de stru tures non-linéaires sur lesquelles on fait apparaître les y les limites en as

d'instabilité.

Mots- lés

Non-linéaire, Analyseglobale, Cell-mapping, Tests d'ex lusion,Analyse intervalles,

BirthofthisPhD thesissubje twasmotivatedbythegrowing willtointrodu e

nonlinea-rities inmodels;thisindoneinordertohaveabetterdes riptionofmoreandmore omplex

stru tures behaviour. It leads to nonlinear dynami systems whi h an exhibit solutions of

omplex nature (periodi but alsoquasiperiodi oreven haoti ones) and inwhi h multiple

solutions an oexist. Predi tion of the stru ture behaviour being at stake in modelling, in

parti ular inview of its dimensioning, one should be able to predi t all of the solutions the

system an hang to.

Nowadays few tools or methods are dedi ated to this kind of analysis, named global

analysis, whi h areableto nd allthe solutionsof a nonlineardynami system.One usually

tests an important number of dierent initial onditions using a lo al sear h algorithm.

This an lead to ee tively nd all the solutions but does not ensure it and is very often a

ostly approa h a ording to numeri al resour es. Our main goal was then to ll this la k

of methods and to propose answers satisfyingboth thetheoreti al request and thepra ti al

onstraintsboundto numeri al resour es theyneed.

Inordertorea hthisgoal,weimplementedfourkindofmethods: ell-mappingwhi h onsists

in state-spa e and time dis retization, test ex lusion algorithms whi h try to ex lude ells

using a simple test, methods based on interval analysis whi h aim at redu ing as well as

ex luding ellsandnallymethodsrequiringapolynomialapproximationofthenonlinearities

expressions whi hsolve thesystemusinghomotopy.Thesedierent methods wereapplied to

asimpleDungos illatorinorderto omparethem.Wethenappliedthemtomanyexamples

hoseninthe eld ofrotordynami s.

In parallel of this main goal ontinuation te hniques were studied - te hniques whi h

allow to follow solution evolution while one of the system parameters varies; stability and

bifur ationanalysismethodswerealsoimplementedin aseof onstantandperiodi solutions.

Thisse ondpartofourworkallowstodrawfrequen yresponseofnonlinearstru turesshowing

also limit y lesifinstabilityo urs.

Keywords

Nonlinear, Global analysis, Cell-mapping, Ex lusion test, Interval analysis, Homotopy,

Introdu tion 1

1 Phénoménologie des systèmes non-linéaires 3

1.1 Quelquesdénitions pour bien ommen er . . . 4

1.2 Solutions d'unsystèmenon-linéaire : ara térisationetreprésentation. . . 4

1.2.1 Catégories de solution . . . 5

1.2.2 Stabilité des solutions . . . 5

1.2.3 Attra teurs etbassind'attra tion . . . 6

1.2.4 Lesoutils de visualisation . . . 7

1.2.5 Classi ation dessolutions. . . 11

1.3 Notionsde ontinuation etbifur ations . . . 14

1.3.1 Bifur ations . . . 14

1.3.2 Diagramme debifur ation . . . 17

1.4 Con lusion:enjeux . . . 17

2 Méthodes d'étude lassiques (lo ales) 19 2.1 Algorithmes d'intégrationtemporelle . . . 19

2.1.1 Notionsessentielles pour qualier uns héma . . . 20

2.1.2 Cas dessystèmes linéaires . . . 21

2.1.3 Cas dessystèmes non-linéaires . . . 23

2.1.4 Synthèses desdiérentesméthodestrouvées danslalittérature . . . . 25

2.2 Algorithmes de résolution de systèmesnon-linéaires . . . 25

2.2.1 Algorithmes sans gradient . . . 28

2.2.2 Algorithmes ave gradient . . . 28

2.3 Construire etétudierdessolutions . . . 29

2.3.1 Solutions typepoint xe . . . 29

2.3.2 Solutions périodiques. . . 29

2.4 Algorithmes de ontinuation . . . 34

2.4.1 Prin ipales méthodes deprédi tion et de orre tion . . . 35

2.4.2 Adaptation de ladistan eentredeux points su essifs . . . 39

2.4.3 Bran hswit hing . . . 40

2.5 Méthode de rédu tionde latailledu problème. . . 43

3 Analyse globale par ell-mapping 45

3.1 Constru tion d'unmapping . . . 45

3.2 Dis rétisation de l'espa e. . . 47

3.3 Analysed'un ell-mapping . . . 48

3.4 Interprétation d'un ell-mapping . . . 52

3.5 Appli ation à unos illateur de Dung . . . 52

3.6 Con lusion. . . 57

4 Analyse globale par ex lusion de ellules 59 4.1 Etapesde l'algorithmegénéral . . . 60

4.2 Tests d'ex lusion simples . . . 61

4.2.1 Fon tion lips hitzienne . . . 62

4.2.2 Fon tion monotonement dé omposable . . . 62

4.3 Tests basés surladomination de fon tion . . . 63

4.3.1 Fon tionsdéveloppables ensérieentière . . . 63

4.3.2 Développement de Taylor . . . 64

4.4 Méthode dusimplexe . . . 66

4.4.1 Problème traitépar uneméthode de simplexe:forme etrésolution . . 66

4.4.2 Appli ation de laméthode à unsystème non-linéaire . . . 71

4.5 Appli ation à unos illateur de Dung . . . 72

4.5.1 Résultats . . . 73

4.5.2 Extrapolations . . . 74

4.6 Con lusion. . . 75

5 Analyse globale utilisant l'arithmétique des intervalles 79 5.1 Théorie desintervalles . . . 79

5.2 L'algorithme général d'HansenetWalster . . . 80

5.2.1 Étape deNewton . . . 81

5.2.2 Méthode deHull Consisten y . . . 83

5.2.3 Méthode deBoxConsisten y . . . 84

5.2.4 Méthode deNewton Généralisée . . . 85

5.2.5 Point d'expansion. . . 88

5.2.6 Méthode deBoxConsisten yPartiel . . . 89

5.2.7 Division des ellules(splitting) . . . 89

5.2.8 Critères d'arrêt . . . 90

5.3 Appli ation à unos illateur de Dung . . . 91

5.3.1 Résultats . . . 91

5.3.2 Extrapolations . . . 92

6 Analyse globale par homotopies polynomiales 99

6.1 Passage d'unsystèmealgébriquenon-linéaire àun systèmemulti-polynomial . 101

6.2 Nature dessolutions d'unsystèmemulti-polynomial . . . 102

6.3 Prin ipe etdi ultésd'une résolution par méthode homotopique . . . 102

6.4 Espa e proje tif ethomogénéisation . . . 103

6.5 Choix d'unpolynme initial . . . 106

6.5.1 Méthode du degrétotal . . . 107

6.5.2 Méthode par multi-homogénéisation . . . 108

6.5.3 Méthode par produits d'éléments linéaires . . . 111

6.5.4 Comparaison destroisméthodes . . . 114

6.6 Appli ation à unos illateur de Dung . . . 119

6.6.1 Résultats . . . 119

6.6.2 Extrapolations . . . 119

6.7 Con lusion. . . 122

7 Appli ation à la dynamique des rotors 125 7.1 Comparaisons desméthodessurun assimple . . . 125

7.2 Conta t permanent rotor-stator ave statornon-linéaire . . . 126

7.2.1 Équations . . . 127

7.2.2 Appli ation des méthodesd'analyseglobale . . . 130

7.2.3 Con lusion . . . 131

7.3 Rotor surpaliersqueeze-lm. . . 131

7.3.1 Généralitéssur l'organesqueeze-lm . . . 131

7.3.2 Système dynamiqueétudié. . . 133

7.3.3 Quelquesrésultats lassiques . . . 135

7.3.4 Analyse globalepar homotopies polynomiales . . . 135

7.3.5 Con lusion . . . 140

7.4 Conta t rotor-stator rigide . . . 141

7.4.1 Système étudié . . . 141

7.4.2 Étude despointsxes . . . 148

7.4.3 Étude despointsde bifur ation de Hopf . . . 156

7.4.4 Analyse globale . . . 163

7.4.5 Con lusion . . . 169

7.5 Con lusion. . . 169

Con lusion 171

Bibliographie 173

Liste des tableaux 181

Liste des dénitions 183

Liste des lemmes etthéorèmes 185

Nomen lature 187

Annexes 189

A Os illateur de Dung 191

A.1 Appli ation de laméthode desé helles multiples . . . 192

A.2 Appli ation de laméthode de labalan e harmonique . . . 195

A.3 Fon tion de réponseen fréquen eetstabilité. . . 196

B Arithmétique des intervalles 199

B.1 Dénition desopérations élémentaires pour les intervalles . . . 199

B.2 Illustration des onséquen esde lasous-distributivité . . . 200

L'utilisation d'outils numériques pour modéliser et prédire le omportement dynamique

desystèmes omplexesapparaîtaujourd'hui ommein ontournabledansle adredu

dévelop-pement deproduitsindustrielsoula on eptiondeban sexpérimentaux.L'utilisationdetels

outilspermeteneetderéduireles oûtsetlesdélaisenminimisantlenombrede orre tions

apportéesàunprototypeavant d'obtenirleproduitnal,l'optimisation,enfaisantvarierdes

jeuxde paramètres pourséle tionner lemeilleur, etde prédirede façonable lesrésonan es,

les ontraintes au sein de la stru ture,et . Lesméthodesrelatives à lamodélisationlinéaire

d'unestru tureontétélargement étudiées es inquantedernières annéesetsont aujourd'hui

bien maîtrisées. Ondispose ainsid'outils permettant de réaliserl'analyse du omportement

dynamique desystèmes de grandestaillesdansdes délaisraisonnables.

Cependant,for e estde onstater quelanaturen'apasengendré dessystèmesdestinés à

simplier la tâ he des mé ani iens et que l'on doit re ourir parfois à une modélisation plus

omplexe pour luirester dèle. La volonté industrielle d'une part etplus généralement elle

des dynami iens d'autre part, est aujourd'hui de prendre en ompte et é art des systèmes

réels auxmodèles linéaires quel'on met en miroir an de prédiremieuxleur omportement.

Eneet,lare her he deperforman es toujoursa ruespousseles on epteursàallerversdes

stru tures plus légères, don plus exibles, travaillant aux limites de leurs apa ités

mé a-niquesetàl'introdu tiond'organes omplexesayantpourbutd'assurerlameilleure ohéren e

de l'ensemble. Deux grandes voies permettent de prendre et é art en ompte. La première

onsiste en l'utilisation d'un modèle linéaire dont ertains paramètres omportent des

in er-titudes qui reètent alors une gamme de omportements possibles que l'on ne onnaît pas

exa tement sous forme d'une loi entrée-sortie mais sous forme d'une répartition probable

d'états. La se onde est de hoisir d'in lure dans le modèle une loi entrée-sortie non-linéaire

dont les paramètres sont onnus.Dans le premier as, on obtient unensemble de

omporte-mentssimples(en esensqu'ilsdé oulent d'uneanalyselinéaire)probablesetleurprobabilité

de réalisation; danslese ond, on obtient le omportement ertain de lastru ture en a ord

ave la loi implémentée, omportement qui peut serévéler omplexe. Notons querien

n'em-pê he de roiser les deuxappro hes, postulant que l'on onnaît exa tement le modèle

(non-linéaire) des orps utilisés et que seuls subsistent des in ertitudes sur quelques paramètres

quiles ara térisent (in ertitudesliéessouventàlaréalisationdel'objet, ommeladispersion

autour des otes nominales, l'hétérogénéité du module d'Young d'un orps métallique qui

peut ontenir desimpuretés,et ).Riennel'empê hethéoriquement;lapratiqueenrevan he

onnaît a tuellement ertaines limites,notammentliées aux oûts de al ul, quirendent rare

ette appro he.

Cetravail s'ins rit dansle adrede lase onde appro he :nousessaierons de ara tériser

dé oule de la volonté de trouver toutes les solutions des systèmes non-linéaires onsidérés.

En eet,ladi ulté majeuredansl'étude detels systèmes provient dufait quel'on ne peut

prédire la nature (périodique, haotique, ...) ni le nombre des solutions re her hées alors

que l'on sait que pour une même ex itation, plusieurs solutions de natures identiques ou

diérentes peuvent oexisteretque lesystème sedirigeversl'une ou l'autre en fon tion des

onditions initiales. On onnaît aujourd'hui un ertainnombre dete hniquesnumériquesou

analytiques permettant de trouver une solution parti ulière du système. L'obje tif de nos

re her hes est de les trouver toutes de façon à garantir un dimensionnement avisé de la

stru ture : nous souhaitons ontribuer à l'élaboration d'une méthode d'analyse globale des

systèmes dynamiquesnon-linéaires.

Le hampdel'analyseglobale,bienquerelativementré ent,n'estpas omplètementvierge.

Son essora globalement suivi elui des apa ités de al ulnumérique dont ilest très

dépen-dant. En eet, les seules méthodes de résolution numérique exa te (aux erreurs d'arrondis

près) dont nousdisposons a tuellement s'appliquent uniquement àdessystèmeslinéaires. Le

hamp des systèmes non-linéaires requiert ainsi généralement l'itération d'une même étape

un grand nombre de fois. Celui de l'analyse globale des systèmes non-linéaires

multi-plie en ore le nombre d'itérations né essaires. On omprend don aisément que le prin ipal

enjeu de l'analyse globale, outre le fait de reposer sur une méthode apable théoriquement

de garantir l'obtention de toutes les solutions, sera de le faire vite, i.e. dans des temps

raisonnablespourlesenjeux onsidérés(12à24heures).Ontrouvea tuellementquelques

mé-thodesd'analyseglobaledanslalittérature;elless'appliquent leplussouventà dessystèmes

de petitetaille (moins d'une dizained'in onnues) et sous forme algébrique. An d'atteindre

notre obje tif, il faudra faire évoluer es méthodes de façon à pouvoir traiter des systèmes

d'équationsdiérentiellesde grandetaille (plus d'une entaine d'in onnues).

Nous ommen erons don par exposer dans un premier hapitre, les spé i ités des

sys-tèmesnon-linéaires par rapportau aslinéaire. Nous donnerons dansun se ond hapitre les

prin ipales méthodesd'étude lo alerépertoriées dans lalittérature, vouées à lare her he et

à la ontinuation d'unesolution parti ulière.Nousexplorerons ensuitedansles hapitres 3 à

6 diérentes méthodesd'étude globale appliquéesà l'os illateur non-linéaire lassiquequ'est l'os illateur deDung.Cette premièreappli ation permettra dedégager lesavantages et

in- onvénientsde haqueméthodeainsiqueleur omparaisondansle adred'undernier hapitre.

Cettedernièrepartie ontiendraaussil'appli ation de ertaines desméthodesà dessystèmes

hoisispour leurintérêtdansl'étudedesstru turestournantes. Ce inouspermettra d'aner

Phénoménologie des systèmes

non-linéaires

Lorsde la mise enéquation d'un système mé anique, on peut être amené àintroduire des

non-linéaritésdans lesystèmesil'onsouhaitetraiterdesgrandsdépla ements, introduire une

loi de omportement d'unmatériau non-élastique,ou pluslo alement introduire unorgane au

omportement non-linéaire (roulements, amortisseurs squeeze-lm, et ) ou enn, onsidérer

des eorts intérieurs de type onta t-perte de onta t. On aboutit alors à une équation dela

forme (1.1), ontenant une ontribution linéaire (matri es demasse

M

, dedissipation

C

pouvant ontenir outre les eets dissipatifs, une ontribution anti-symétrique due aux eets

gyros opiques et de raideur

K

pouvant elle aussi ontenir au delà des termes de raideur

lassiques des ontributions telles que les eets d'assouplissement), une ontribution

non-linéaire (

ˆ

f (q, ˙q)

)et une ex itation du système(

f

e

(t)

).

M.¨

q + C. ˙q + K.q + ˆ

f (q, ˙q) = f

e

(t)

(1.1)

La présen e d'une ontribution non-linéaire empê he l'appli ation du stri t prin ipe de

superposition (bien qu'un ertain nombre de travaux tels que [SP94℄ et [PSP01℄ aient mis en pla e des méthodes de superposition appro hée). Ainsi, même en ne onsidérant que des

ex itations simples, i.e. périodiques, on ne peut établir de adre général permettant la

réso-lution du système d'équations. On ne sait pas a priori la forme que la solution aura, si elle

sera unique ou si plusieurs solutions oexisteront, ni prédire simplement l'évolution de la

so-lution lorsqu'un des paramètres dusystème hange (par exemple, la fréquen e ou l'amplitude

Dans e hapitre, nousproposons dansunpremiertemps dedé rire lessolutions possibles

d'un système non-linéaire, leur ara térisation formelle et leur lassi ation, ainsi que les

outils utilisés pour les représenter après avoir fait un petit détour par quelques dénitions

formelles. Nous aborderons dans un se ond temps les notions de ontinuation et bifur ation,

liées à l'étude de l'évolution des solutions lorsque l'on fait varier un paramètre du système.

Pourune des riptionplusdétaillée de es diérentsaspe ts, nousre ommandons lesouvrages

[NB95℄ et [Sey88℄.

1.1 Quelques dénitions pour bien ommen er

Lorsque l'on é rit les équations d'un système mé anique, on obtient lassiquement un

système diérentiel d'ordre 2 de la forme (1.1). Cette é riture n'est pas la plus ompa te

ni la plus adaptée à l'étude mathématique du système puisqu'elle fait apparaître de façon

disso iée la position

q(t)

et lavitesse

˙q(t)

qui sont toutes deuxné essaires pour ara tériser omplètementl'étatd'unsystème,enlaissantsous-ja enteleurrelationdedérivéeparrapport

autemps.Onauradon leplussouvent re oursàlaformeaugmentéede etteéquation,aussi

nommée équation d'états où es deux informations sont regroupées dans un unique ve teur

d'in onnues

x(t)

appelé ve teur d'in onnues augmenté ouve teur d'états :

A. ˙x + B.x + ˆ

F (x) = F

e

(t)

(1.2)

Nousrenvoyonsàlase tionNotations(p.187)pourladénitiondestermesquila onstituent. On utilisera aussi par ommodité de notation la forme (1.3) qui suppose, par rapport à la forme (1.2),l'inversibilité de

A

.

˙x = F (x, t)

(1.3)

Soulignons quelaprésen e dutemps ommevariabledans

F

reète uniquement l'ex itation

du système. Ainsi, lorsque nous onsidèrerons la dérivée de

F

par rapport à

x

, elle- i ne dépendraquede

x

etseranotée

D

x

F (x)

.

Outre es diérentes é ritures, il est bon de onnaître la dénition i-dessous, faisant la

diéren e entre les systèmesdépendant ounon expli itement du temps :

Dénition 1.1 : Système autonome ou non-autonome

Un système est ditautonome si letemps n'apparaît pasexpli itement ommevariable dans

l'équation(1.3).A l'inverse,on parlede systèmenon-autonome. 2

Maintenant que es bases sont jetées, nous pouvons aborder les diérents aspe ts d'un

problème non-linéaire.

1.2 Solutions d'un système non-linéaire : ara térisation et

re-présentation

Nous donnerons dans ette partie les moyens d'identier et ara tériser les diérentes

mathé-matique quedansle asdessolutions dites point xeetpériodique ar e sontlesdeuxtypes

de solution les plus fréquemment ren ontrés et sur lesquels nous fo aliserons généralement

notre étude.

1.2.1 Catégories de solution

Ondistingue quatretypesde solutions àun problème non-linéaire:les solutions de type

point xe, ou point d'équilibre, qui sont onstantes dans le temps, les solutions périodiques

qui onsistent en un motif se reproduisant à une fréquen e

f

onstante, les solutions

quasi-périodiques qui sont une superposition de signaux périodiques de fréquen es

in ommensu-rables (à rapport non rationnel) entre elles, et enn les solutions haotiques dont il est

dif- ile de donnerune dénition laire si e n'est par opposition aux troisautres types d'états

stationnaires pré édemment mentionnés ([NB95,Chap. 5℄).

Formellement, e i se traduit de la façon suivante pour les points xes et les solutions

périodiques:

 Points xes :

q(t)

solutionde (1.1) telque

∀ t > 0, ˙q(t) = 0

.Onnotealors

q(t) = q

0

.  Solutions périodiques:

q(t)

solutionde (1.1) tel que

∃ T > 0, ∀t > 0, q(t + T ) = q(t)

.

Onnotealors

f = 1/T

lafréquen ede lasolutionet

ω = 2πf

sapulsation.

Il peut sembler peu pertinent d'envisager que la solution d'un système soumis à une

ex itation périodique soit onstante. Cela peut pourtant être le as et ne signie pas que

la stru ture ne vibre pas mais que les paramètres et le réferentiel hoisis pour dé rire son

mouvement sont onstants.Ce ipeutêtrele asnotammentlorsd'uneformulationautonome

du problème.

1.2.2 Stabilité des solutions

Unefoisquel'onpossèdeunesolution,ilestné essaired'en onnaîtrelastabilité.Eneet,

si plusieurssolutions de naturesidentiques oudiérentes oexistentetquel'une estinstable,

il y a toutes les han es pour que lesystème saute de ette solution instable à une solution

stable. Le fait de onnaître toutes les solutions etleur stabilité permet de prédire es sauts

qui peuvent être violents etamener lesystèmehorsde lazonede fon tionnement souhaitée.

Plusieurs dénitions de la stabilité sont fréquemment ren ontrées. Nous donnons i i la

plus utilisée d'une façon générale, qui est elle de Lyapunov (1892, Russie), désignée aussi

sous leterme de stabilitéuniforme:

Dénition 1.2 : Stabilité au sensde Lyapunov ouuniforme

Une solution

x(t)

du problème(1.3) estdite stableau sensde Lyapunovsi etseulement si : quelquesoit

ǫ > 0

,ilexiste

δ > 0

telquepourtoutesolution

y(t)

satisfaisant

||x(t)−y(t)|| < δ

à l'instant

t = t

0

,larelation

||x(t) − y(t)|| < ǫ

est vériée pour toutinstant ultérieur (

∀ t >

t

0

). 2

Ladénitiondelastabilitélaplus ommunémentutiliséeenmé aniqueetquenousutiliserons

aussi est elle de stabilité asymptotique, ranement de la stabilité uniforme : le système

Dénition 1.3 : Stabilité asymptotique

Une solution

x(t)

estdite asymptotiquement stablesietseulement sielle eststable (ausens

de Lyapunov)et

lim

t→∞

||x(t) − y(t)|| = 0

. 2

Ces dénitions sont relativesà lastabilité lo ale:elles s'intéressent à l'évolution d'une

solu-tion.Onparledestabilitéglobalelorsquel'on onsidèrelastabilitédel'ensembledessolutions;

nousn'aborderons pas e problème dans e mémoire.

Classiquement, pour déterminer la stabilité d'unesolution

x(t)

, on utilise une te hnique de pertubation en onsidérant l'évolution d'une solution du problème qui s'é rirait

y(t) =

x(t) + z(t)

,

z(t)

petit.Ainsionpeutréaliserledéveloppement aupremier ordresuivant :

˙y(t) = F (y(t), t)

⇔ ˙x(t) + ˙z(t) = F (x(t), t) + D

x

F (x(t)).z(t) + O(

||z(t)||

2

)

En réinje tant la relation

˙x = F (x, t)

qui traduit le fait que

x(t)

est solution de l'équation, on obtient :

˙z(t)

≈ D

x

F (x(t)).z(t)

(1.4)

On a don l'équation diérentielle qui gouverne l'évolution temporelle d'une petite

per-turbation

z(t)

de la solution

x(t)

étudiée. Si toute petite perturbation tend à s'évanouir (

lim

t→∞

||z(t)|| = 0

),lasolutionest stable,sinon,elle estinstable.Nousverrons dansles as

parti uliers despoints xes etdes solutions périodiques omment on lure fa ilement sur la

stabilité àpartirde ette équationen Ÿ1.3.1.

Il est intéressant de remarquer qu'une solution instable onstitue un attra teur si l'on

onsidèrelestempsindire ts(sensdé roissantde

t

):eneet,siunefoislasolutionperturbée, le système s'é arte d'une solution instable dans le sens des temps roissants (ou dire ts), à

l'inverse,danslesensdestempsdé roissants,ilyrevientalorsqu'ils'é arteraitd'unesolution

stable. Ce i est ilustré en gure 1.1 où un point xe instable

A

est représenté sous forme

de portrait de phase en (a) et sous forme du dépla ement fon tion du temps sur la partie

droite (graphiques (b) et ( )). Dans le sens des temps dire ts, on par ourt la spirale de

A

vers

B

, s'éloignant du point xe, il est don instable; ependant, en par ourant la ourbe

dans le sens du temps dé roissant, on par ourt la spirale de

B

vers

A

. Temporellement,

au lieu d'obtenir un signal qui diverge dans le sens du temps roissant omme illustré en

(b), on onverge vers un point xe dansle sens dé roissant du temps (graphique ( )). Cette

remarque est parfois utilisée pour arriver à retrouver des solutions instables ([MBC03℄) : au lieu d'intégrer l'équation diérentielle dans le sens du temps roissant omme on le fait

ouramment, on programme l'algorithme pour l'intégrer dansle sensdes temps dé roissants

de façon à re onstruire des y les limites, des points xe, et , di iles voire impossibles à

tra er par une intégrationtemporelle dire te.

1.2.3 Attra teurs et bassin d'attra tion

Lessolutionsquenous onsidéronsnesontgénéralementpasatteintesdèsl'instant initial.

Eneet,lesystèmepartde onditions initialesqui orrespondentrarement à ellesd'unedes

PSfragrepla ements

A

A

A

B

B

B

_t

roissant

t

roissant

t

dé roissant

t

dé roissant

q

q

q

˙q

(a) (b) ( )

Fig. 1.1 Illustrationdes temps dire tet indire t

estattiréparunedessolutionsstablesquel'onnommeaussiattra teur.Ilestainsiintéressant

dedénirlebassind'attra tionde ha unedessolutions, 'estàdirel'ensembledes onditions

inititales (

q(0), ˙q(0)

)tellesqu'auboutd'un ertaintemps,lesystèmerejoindra ettesolution.

Pour le on epteur qui doit dimensionner une stru ture, ette information lui permet par

exemple de onnaîtrela perturbation maximale que lesystème, sursonrégime stationnaire,

peutsupportersansquittersonbassind'attra tion, 'est-à-direàl'issuedelaquelleilreviendra

à sonrégimeinitial etnon vers unautre.

Ce type de graphique est oûteux à obtenir dans la mesure où il né essite d'avoir testé

(don intégré temporellement) ungrand nombre de onditions initiales (idéalement une

in-nité). Deplus, sareprésentation est malaiséeet oblige à pro éderpar plande oupe lorsque

lesystème est onstitué deplus d'undegré deliberté(ddl).

Pour illustration,nousdonnonslagure1.2quireprésentelebassind'attra tionsimplié

d'un os illateur de Dung obtenu grâ e à une méthode de ell-mapping ( f. Se . 3.5). Sur

ette gure, on lit que trois solutions

S

1

,

S

2

et

S

3

oexistent. Puis, on lit que toutes les traje toires prenantleurs onditions initialessurlazoneblan he onvergeront vers

S

1

: ette zone onstitue lebassind'attra tionde

S

1

.Delamême façon,toutes lestraje toiresprenant leurs onditions initiales dansla zonerouge onvergeront vers

S

3

. Enn,

S

2

se trouve surla frontière entreles bassins de

S

1

et de

S

3

, 'est-à-diresur une séparatri e. Cette solution est instable.

1.2.4 Les outils de visualisation

And'identierdessolutionsau omportementtemporel omplexe,ilestjudi ieuxd'avoir

re oursauxoutilssuivants:lesportraitsdephase,lesse tionsdePoin aréetlesspe tres

fré-quentielsdansle asdessolutionspériodiquesouquasi-périodiques.Eneet,letra édusignal

au ours dutemps ne permetbien souvent pasd'endégager lesgrandeurs ara téristiques.

Portrait de phase

Le portrait de phase onsiste en général à tra er des ourbes

(q(t), ˙q(t))

paramétréespar lavariabletemporelle

t

pour diérentes onditions initiales

(q(0), ˙q(0))

.

q(t)

estfréquemment

PSfragrepla ements

q

˙q

_S

1

S

2

S

3

un ve teurà

N

omposantes. Il fautalors pourêtrerigoureux,tra er

N

portraits àpartirde ha unedes

N

oordonnées

q

i

(t)

.Onobtient alors unréseau de ourbesé héesdanslesens des temps roissants, qui vont onverger vers des lieux quel'on dit attra teurs ou s'éloigner

d'autreslieux quel'onnomme alorsrépulseurs ousolutions instables(silareprésentation est

faitepourdesdurées

t

assez longues).Ceslieuxquiressortentsontdessolutions.Un exemple de portrait de phase est proposé en gure 1.3 où l'on visualise deux traje toires issues de onditions initalesdiérentes(points

B

et

C

)venant s'enroulerversunpoint xe

A

dont on déduit qu'ilest stable.

PSfragrepla ements

q

˙q

A

B

C

t

_ր

Fig. 1.3 Portrait de phases hématique

Se tion et appli ation de Poin aré

Unese tiondePoin arré onsisteleplussouventàrelever

(q(t), ˙q(t))

ou

x(t)

àdesinstants t régulièrement espa és.

Ainsi, si

q(t)

estune solution périodique depériodeidentique àla période d'ex itation

T

e

et si l'é hantillonage sefait à desinstantsespa és de

T

e

,on obtient toujoursle même point.Si lasolution aune périodeégale à

2T

e

etquel'é hantillonage estfaittousles

T

e

,onobtiendra deux pointsdistin ts. Pour une solution quasi-périodique à deuxfréquen es maîtresses dont

l'uneest elledel'ex itation( omme 'estféquemmentle asaprèsunebifur ationdeHopf),

on obtiendra une ourbe fermée, et pour une solution haotique, un amas de points. Ces

se tions de Poin aré typessont illustrées par lagure 1.4.

Une autre façon de onstruire une se tion de Poin aré, beau oupmoins ren ontrée dans

lalittératureestderegarderl'interse tionde

x(t)

ave unhyperplan

Σ

del'espa ed'étatsque l'onaura hoisi.Ladémar he n'estdon plusdemaîtriser l'intervalle detempsséparantdeux

relevés onsé utifs,maisdemaîtriserlelieudel'espa ed'étatsoù espointssontrelevés.Ce i

n'est pertinent quedansle asdes systèmesà formulation autonome.

Ce relevé de points ee tué de l'une ou l'autre des façons peut permettre de onstruire

une appli ation, nomméeappli ation de Poin aré dénie ommesuit :

Dénition 1.4 : Appli ation de Poin aré

l'appli a-PSfragrepla ements

q

q

q

q

˙q

˙q

˙q

˙q

Point xe 7T-Périodique

Quasi-Périodique Chaotique

Fig.1.4 Se tionsde Poin aré s hématiques

tion :

P : IR

2N

_{→ IR}

2N

x

0

→ P(x

0

) = x(t

p

), x(t)

étant solutionde (1.3)

pour la onditioninitiale

x(0) = x

0

ave

t

p

un temps xé(souvent priségal à

T

e

,périoded'ex itation du système).

Dansle asd'unsystèmeautonome,nousnommerons appli ation dePoin aré l'appli ation :

P : IR

2N −1

_{→ IR}

2N −1

x

0

→ P(x

0

),

première interse tion ave l'hyperplan

Σ

de

x(t)

solution de (1.3) de ondition initiale

x(0) = x

0

où

Σ

estun hyperplan de l'espa e d'états(

IR

2N

) que l'ons'estdonné.

Dans ese ond as,l'appli ationdePoin aréestaussinomméeappli ationdepremierretour.2

L'intérêtd'unetelleappli ationestquel'ondiminued'unlatailledel'espa edanslequelon

travaille(éliminationdutemps

t

∈ IR

danslepremier as,d'unedimensiondel'espa ed'états

par ajout d'une équation dans le se ond). De plus, on peut démontrer que la stabilité des

solutionsde ettefon tionestéquivalenteàlastabilitédessolutionsdel'équationdiérentielle

à partirdelaquelle elle aété onstruite ([Kuz04,Se . 1.5℄).

Spe tres fréquentiels

Un dernier outil d'analyse du signal est le tra é du spe tre fréquentiel. Ce i est très

ressortir nettement les ontributions fréquentiellesmajeures.Une façon trèssimple d'obtenir

un spe tre fréquentiel àpartir d'unsignal expérimental ou numérique (é hantilloné dans les

deux as) est le tra é de la transformée de Fourier dis rète (ou DFT pour Dis rete Fourier

Transform) quiestdénie ommesuit :

Dénition 1.5 : Transformée de Fourier dis rète (DFT)

Soit

q(t

k

), k

∈ {0, . . . , n}

les valeursde la solution étudiée à desinstants

t

k

onstituant un

é hantillonage de pas

h

de la durée

T = n

× h

en

n + 1

points. La transformée de Fourier

dis rète de e signalvaut :

F

q

(ν

j

) =

1

n

n−1

X

k=0

q(t

k

)e

−2iπν

j

t

k

, ν

j

=

j

T

, j

∈ {0, . . . , n − 1}

2

Le module de

F

q

(ν

j

)

donne la ontribution en amplitude de la fréquen e

ν

j

asso iée au signal

q(t)

.Il estainsifa iled'identier lessolutions périodiquesdont lespe trene omporte des pi s qu'en desmultiples d'une fréquen efondamentale et les solutions quasi-périodiques

dont les spe tresfont apparaître despi s auxmultiples des fréquen esmaîtresses etdeleurs

ombinaisons linéaires.

Lagure1.5illustrel'intérêtd'unteloutil.Lesignaltemporelreprésentéen(a)vaut

q(t) =

0.4 + cos(2πt) + 0.2 cos(4πt) + cos(

√

22πt)

.La présen e de deux ontributions fréquentielles

in ommensurables (

1

et

√

2

) rendle dé hirage du signaltemporelimpossible.En revan he,

la gure (b)représente la norme de sa DFT(pour une période d'étude

T = 10s

et

n = 500

points d'é hantillonage). On observe une symétrie des valeurs autour de

f = 25Hz

; ette

symétrie provient dufaitque

ν

j

= ¯

ν

n−j

.Lagure( )réaliseunzoomsurles premierspi set permetbiende retrouver(ave lapré ision permisepar ladis rétisation,

1/T

) les diérentes fréquen esmises enjeuetlahauteurde leur ontribution :

ν

0

= 0

Hzpourleterme onstant,

ν

1

= 1

Hz et

ν

2

=

√

2

_{≈ 1.4}

Hz.

1.2.5 Classi ation des solutions

Onapourhabitudede lasserles solutionsenpointshyperboliquesetnon-hyperboliques.

Ce i donne lieu à un ertain nombre de noms qu'il est bon de onnaître pour pouvoir

om-prendre lalittérature. Nousnous limitons àla lassi ation despointsxes et dessolutions

périodiquesqui onstitueront la majeure partie de notre étude. Nousmentionnons entre

pa-renthèses les appellations anglophones dans la mesure où la totalité des ouvrages que nous

avons onsidérée est ainsirédigée.

Classi ation des points xes

Soit

x

0

un point xe de l'équation (1.3). On notera

λ

i

, i = 1..2N

les valeurspropres de laja obienne

D

x

F (x

0

)

de

F

en e point.Sitoutes lesvaleurspropres

λ

i

ont unepartie réelle nonnulle,lepointxeestdithyperbolique;sinon,ilestditnon-hyperbolique.L'arbores en e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−2

−1

0

1

2

3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

PSfragrepla ements

t

(s)

q

ν

(Hz)

ν

(Hz)

|F

q

|

|F

q

|

ν

0

ν

1

_ν

2

2ν

1

(a) Signal temporel

(b) Spe tre fréquentieltotal

( ) Spe trefréquentiel:zoomsurles bassesfréquen es

Point xe hyperbolique (hyperboli xed point) :

∀ i ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

)

6= 0

Puits (Sink):

∀ i ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

) < 0

 Noeudstable(Stable node):

∀ i ∈ [[1, 2N]], λ

i

∈ IR

 Foyer stable(Stable fo us):

∃ i ∈ [[1, 2N]], Im(λ

i

)

6= 0

Sour e(Sour e) :

∀ i ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

) > 0

 Noeudinstable (Unstablenode):

∀ i ∈ [[1, 2N]], λ

i

∈ IR

 Foyer instable(Unstable fo us):

∃ i ∈ [[1, 2N]], Im(λ

i

)

6= 0

Noeud selleounoeud ol(Saddle) :

∃ i, j ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

)Re(λ

j

) < 0

Instable à la fois dans les temps dire ts et indire ts, on qualie aussi en anglais un

tel point denonstablexedpoint (etnon unstablexedpoint)pour marquer

ette spé i ité.

Point xe non-hyperbolique(non-hyperboli xed point) :

∃ i ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

) = 0

Point xenon-hyperbolique instable(Unstable non-hyperboli xed point):

∃ j ∈ [[1, 2N]], Re(λ

j

) > 0

Point xeneutralement stable(Neutrally (ou marginally)stablenon-hyperboli xedpoint):

∀ i ∈ [[1, N]], Re(λ

i

)

≤ 0

Centre (Center):

∀ i ∈ [[1, 2N]], Re(λ

i

) = 0, Im(λ

i

)

6= 0

Les pointsxes hyperboliques sont illustréspar leurs portraits dephase en gure1.6.

PSfragrepla ements

q

q

q

q

q

˙q

˙q

˙q

˙q

˙q

Noeud stable Foyerstable Noeud instable Foyerinstable Point selle

Fig. 1.6 Portraits de phase typesdesdiérentes lasses de pointsxes hyperboliques

Classi ation des y les limites (ou solutions périodiques)

La lassi ation des y les limites alque elle du point xe dans la mesure où l'étude

( f. Ÿ 1.2.4). Par onséquent, en s'appuyant ette fois sur la se tion de Poin aré asso iée et non plussurle portrait dephase, l'analyse pré édente peutsedé liner defaçon analogue.

1.3 Notions de ontinuation et bifur ations

Nous avons onsidéré, dansledébutde e hapitre, unsystème d'équationsnon-linéaires

de la forme (1.3), 'est-à-dire dont tous les paramètres sont xés et onstants. Ce système

possède des solutions dont nous avons donné un aperçu et des moyens de ara térisation

dansles paragraphespré édents. Il peutmaintenant sembler intéressant de her heràsavoir

omment es solutions évoluent lorsqu'undesparamètres dusystème, notons le

µ

, varie.En formulationlinéaire,ontra efréquemmentdesfrf(fon tionsderéponseenfréquen e)defaçon

à voir l'évolutiondesamplitudes dumouvement d'unpoint de la stru tureen fon tion de la

fréquen e d'ex itation. Le paramètre

µ

serait don

f

e

, lafréquen e d'ex itation du système. Dansle asdesystèmestournantsoùl'ex itationestdueàunbalourd(mauvaiséquilibrage),

l'ex itation dépend, en fréquen e et en amplitude, de la vitesse de rotation du système. Il

est ainsi fréquent de onsidérer

Ω

, vitesse de rotation omme le paramètre variant, aussi appelé paramètre de ontinuation. Formellement, on fait alors apparaître e paramètre dans

la fon tion

F

régissant l'évolution temporelle du système dans une formulation analogue à

(1.3) :

˙x = F (x, t, µ)

(1.5)

L'étude del'évolutiondessolutions lorsqueleparamètre

µ

varies'appelleuneétudede

onti-nuation - partant du prin ipe qu'il existe généralement une ertaine ontinuité entre une

solution du systèmepour une valeur

µ

0

du paramètre et elleobtenue pour une valeur de

µ

inniement pro he de

µ

0

.Cependant, il arrive queles solutions hangent radi alement pour ertaines valeurs ritiques du paramètre

µ

. On appelle es points des points de bifur ation. Ainsi, une étude de ontinuation omplète d'un système onsiste en le suivi et l'analyse en

stabilité et bifur ation de toutes les solutions d'un système non-linéaire obtenues pour une

valeurinitiale de

µ

lorsque e paramètre évolue surundomaine donné.

Nous onsa rerons lase onde partie de e hapitre àl'exposédesprin ipalesbifur ations

despointsxes etdessolutions périodiques.

1.3.1 Bifur ations

Les points de bifur ation sont des points

(x, µ)

où une solution hange de nature ou de stabilitélorsqueleparamètrede ontinuationévolue.Sil'on omparedeuxportraitsdephase

du systèmejuste avant etjuste après un point de bifur ation, ildoit yavoir un hangement

notable dans la nature, la stabilité et le nombre des solutions observées. Les bifur ations

possiblespour unsystème étudié sous lavariation d'unseul paramètre de ontinuation sont

bien répertoriées et ara térisées dans la littérature (on pourra par exemple se référer aux

ouvrages [NB95,Kuz04℄et[TS02,Chap.13℄).

Il est intéressant de faire ladistin tion entre lesbifur ations ontinues etles bifur ations

dis ontinues ou atastrophiques :danslepremier as, lasolution ontinuée hange de nature

yapertedelasolution ontinuée (quidevient instable)maisonnegagnepasdenouvelle

solutionstabledefaçon ontinue.Ondoitalorsmeneruneanalyseglobale, 'est-à-diresonder

l'espa e d'états, pourtrouverd'autres solutions stablesque lesystèmepeut a ro her.

Enn, omme pré isé en Ÿ 1.2.2,l'étude de la stabilité et elle desbifur ations reposent généralement sur lesmême indi ateurs. Nousles avons don regroupéesi i.

Stabilité et bifur ation des points xes

Soit

x

∗

une solution de (1.5) pour une valeur

µ

0

du paramètre de ontinuation. L'étude de la stabilité et des bifur ations se fait grâ e aux valeurs propres de la ja obienne

J =

D

x

F (x

∗

, µ

0

)

qui est onstante dansle temps étant donné que

x

∗

est un point xe. On note

λ

i

, i

∈ {1, . . . , 2N}

,sesvaleurspropres.

Stabilité : signe de lapartie réelledes valeurspropres

λ

i

 parties réelles toutes stri tement négatives :stabilitéasymptotique

 parties réelles nullesou négatives, pasde valeurpropre nulle :stabilité

 une partie réelleau moinsstri tement positive :instabilité

Bifur ation : annulation delapartie réelle d'unevaleur propreau moins

 une valeur propre réelle s'annule : bifur ation type Turning Point (retournement),

Trans ritique ( roisement de deux bran hes de points xes) ou Pit hfork

(appari-tion/disparition de deuxbran hesde pointsxes)

Ces bifur ationssont dites statiques.

 deuxvaleurspropres omplexes onjuguées oupentl'axeimaginaire:bifur ationtype

Hopf (apparition/disparition d'une solutionpériodique).

Ces bifur ationssont dites dynamiques.

La gure1.7 donnel'allure de es bifur ations.

Stabilité et Bifur ation des y les limites

Soit

x

∗

_(t)

une solution

T

−

périodique de(1.5) pourune valeur

µ

0

du paramètrede onti-nuation.L'étude desastabilitéetdesesbifur ationssefaitpar l'étudedesvaleurspropres de

la matri e de monodromie

Φ

(voir Ÿ 2.3.2 pour son al ul) qui possède la propriété suivante par rapport àune pertubation

z(t)

de

x

∗

_(t)

:

∀ t > 0, z(t + T ) = Φz(t)

Onnotesesvaleurspropres

ρ

i

, i

∈ {1, . . . , 2N}

.Ellessenomment ourammentmultipli ateurs de Floquet.

Pré isons que dans le as d'un système autonome, l'une des valeurs propres vaut

sys-tématiquement 1. Il faut alors ex lure ette valeur propre parti ulière des ritères donnés

i-dessous. Onpourra onsulter [NB95,Se . 3.2.1℄pour ladémonstrationde e résultat. Stabilité : moduledesvaleurspropres

ρ

i

de

Φ

 module stri tement inférieur à1 :stabilitéasymptotique

 module inférieurou égalà 1: stabilité

−−

PSfragrepla ements

Point de retournement

Trans ritique

Pit hfork sur- ritique Pit hfork sous- ritique

Hopfsur- ritique Hopf sous- ritique

Stable Instable Point xe Cy le limite Bifur ations Bifur ations ontinues atastrophiques

µ

µ

µ

µ

µ

µ

x

x

x

x

x

x

Bifur ation : traversée du er leunitédans leplan omplexe par unedes valeurspropres

 sortie du er lepar +1 :trans ritique, symmetry-breaking, y li -fold

 sortie du er le par -1 : period doubling ou ip (doublement de la période de la

solution)

 sortie du er lepar

C\{−1, +1}

:Hopf (apparition d'unesolutionquasi-périodique) Ces diérents assont résumés surlagure1.3.1

PSfragrepla ements

Im(ρ

i

)

Re(ρ

i

)

1 Period doubling ou Flip Trans ritique, symmetry-breaking, y li -fold Hopf

Fig.1.8 Bifur ations dessolutions périodiquesselon laposition

des oe ients de Floquet dansleplan omplexe

1.3.2 Diagramme de bifur ation

Undiagramme debifur ation représentel'évolution dessolutionsau oursdelavariation

du paramètrede ontinuation

µ

.Ilestgénéralement obtenu paré hantillonage dusignalàla fréquen e d'ex itation.

Ondonne surla gure 1.9l'allure desdiérentes solutions vue surun diagramme de bi-fur ation.Onreprésenteleparamètrede ontinuationenabs isseetenordonnée,l'amplitude

d'une des in onnues du système, é hantillonnée à une fréquen e donnée (généralement

f

e

). Nousn'avonsreprésentéi i quelessolutions stablesdusystème omme 'estgénéralement le

as danslalittérature.

Untel diagrammesoured'insusan es danslamesureoùune perted'informations

sur-vient parl'intermédiaire del'é hantillonage :onnepeutparexemple pasdistinguer unpoint

xe d'une solution périodique dont lapériode estmultiple de elleutilisée pour

l'é hantillo-nage. Demême,onperdgénéralement l'information surles amplitudesdessignauxlorsqu'ils

ne sont pas onstants. Ce iest symptomatique de la omplexité des systèmesnon-linéaires :

les deux dimensions (voire trois en s'appliquant) à notre disposition pour représenter

vi-suellement toutes les informations sont généralement insusantes. Malgré tout, e type de

graphique permetd'avoir unaperçurapide del'évolution du omportement dusystème etse

trouve très répandudanslalittérature.

1.4 Con lusion : enjeux

Au terme de e premier hapitre, on aperçoitles di ultés liées à l'analyse globaled'un

PSfragrepla ements

µ

x

Périodique (

f

e

) 2T-Périodique (

f

e

/2

) puis4T-Périodique (

f

e

/4

) Quasi-périodique Chaotique

Fig.1.9 Diagramme debifur ation s hématique

trouver, pour une valeur du paramètre donné, toutes les solutions - qui peuvent être de

natures diverses- puisilfaut ensuitesavoir al ulerleur évolution,leur stabilite,déte terles

pointsde bifur ationetéventuellement onstruire lessolutions qui naissent en espoints.

Le hapitre suivant passe en revue l'essentiel des te hniques numériques permettant de

réaliser esdiérentestâ hes.Ilnetraitepasl'aspe t oûtde al ulquenousaborderonsdans

Méthodes d'étude lassiques (lo ales)

A l'issue du premier hapitre, nous avons eu un aperçu des diérents phénomènes

non-linéairesquidistinguent essystèmesdessystèmeslinéaires lassiques.Nousdédions edeuxième

hapitre aux outils d'étude lo ale de tels modèles. Nous ommen erons par e qu'il y a de

plus naturel, 'est-à-dire lesalgorithmes d'intégration temporelle.Nousdonneronsensuite les

grands prin ipes des algorithmes de résolution de systèmes non-linéaires algébriques. Munis

de es deux appro hes, nous exposerons les méthodes non-linéaires dédiées à la onstru tion

et à l'étude des pointsxes et des y les limites. Enn,nous donnerons les prin ipales lefs

de la mise en ÷uvre d'uneétude de ontinuation.

2.1 Algorithmes d'intégration temporelle

L'utilisationd'intégrationtemporelleestinévitable, tant pour la onstru tion de se tions

de Poin aré que pour une analyse de type Floquet ( f. Ÿ 2.3.2) et d'une façon générale elle onforte, en dernier lieu, les résultats obtenus par d'autres méthodes. Il existe diérents

types de s hémas d'intégration ayant ha un leurs avantages et in onvénients en termes de

oût numérique, de pré ision etde stabilité. Nousprésentons dans ette se tionles s hémas

prin ipaux etlesnotionsqui servent àévaluerleurs performan es.Atitred'introdu tion aux

2.1.1 Notions essentielles pour qualier un s héma d'intégration

tempo-relle

Lorsquel'onseramèneàune équationdupremierordrede laforme(1.3) etquel'onnote

x

n

= x(t

n

)

,on pourra généralement mettrel'algorithmenumérique souslaforme :

x

n+1

=

m

X

j=1

α

j

x

n+1−j

− h ×

m

X

j=0

β

j

˙x

n+1−j

, h = t

n+1

− t

n

(2.1)

Ondistingue alors deuxgrandes atégories de s hémas :

Dénition 2.1 : S héma d'intégration temporelle expli ite ou impli ite

Si

β

0

= 0

, le s héma est dit expli ite :

x

n+1

peut être al ulé à partir desrésultats al ulés auxpasde temps pré édents.

Si

β

0

6= 0

,le s hémaestdit impli ite :

x

n+1

dépend desapropre dérivée. 2

Lesalgorithmes à s héma expli ite ne sont pasin onditionnellement stables maisprésentent

l'avantaged'unfaible oûtde al ul arlesopérationsàmenerà haqueitérationserésumentà

du al ulve toriel(sommesetproduits).Pourlesalgorithmesàs hémaimpli ite,enrevan he,

les équations dumouvements doivent êtreremaniées avant d'être résolues etlasolution sera

obtenuedefaçonitérativedansle asnon-linéaire.Ilssontgénéralementin onditionnellement

stables maisprésentent un oûtde al ulélevé arils né essitent larésolution d'unsystème

d'équationsà haqueitération.

Dénition 2.2 : Consistan e d'une méthode d'intégration

Uns hémad'intégrationtemporelleest onsistantsietseulementsi

lim

h→0

x

n+1

− x

n

h

= ˙x(t

n

)

.2

La onsistan ed'uns hémad'intégrationest unélément fondamentaldanslamesure oùelle

assure que la solution exa te des équations diérentielles dis rétisées tend vers la solution

exa tedeséquations ontinues lorsquele pasdedis rétisation tendvers

0

.

Dénition 2.3 : Stabilité d'une méthode d'intégration

Uns hémad'intégrationdire teestditstablesietseulement s'ilexisteunpas

h

0

> 0

telque

pour tout pas

h

∈ [0 h

0

]

, pour toute perturbation nie de

x

n

à l'instant

t

n

, lamodi ation

des

x

n+j

, j

≥ 1

est non roissante. 2

Un s héma stable ne signie pas qu'il onverge vers lasolution maisque ladiéren e entre

la solution numérique obtenue etla solution exa te est bornée. Ainsi, on utilise le termede

pré isionpourqualierlaproximitédurésultatobtenuparintégrationtemporelleàlasolution

réelle.Less hémaslespluspré issontless hémas àlalimitedelastabilitéetdel'instabilité.

En eet, un s héma instable a tendan e à faire diverger les amplitudes alors qu'un s héma

stable a tendan e à les atténuer. L'idéal est don un s héma à la frontière qui les reproduit

Dans le as des systèmes non-linéaires, il n'est pas toujours possible de déterminer par

avan elastabilitédel'algorithmeutilisé.Ilestintéressantalorsdevérierquel'ona

onserva-tiondel'énergie.Ce i,eneet,doitêtrené essairementvériéet onstitueun ritère lassique

de stabilité d'unalgorithme.

2.1.2 Cas des systèmes linéaires

Nous onsidèreronsdans ettese tionlesproblèmesdiérentielslinéairesdelaforme(2.2).

˙x = J.x + F

e

(t)

(2.2)

Ilesteneetplusaisédedénirless hémassurdessystèmeslinéaires aronpeutalors

quan-tier analytiquement les notions énon ées pré édemment. Nousdonnerons leurs adaptations

aux systèmesnon-linéaires danslase tion suivante.

Nous ommen erons ette se tionpar une re her he dupasoptimal en temps. Nous

pré-sentonsensuitedeux méthodes parti ulières:la méthode de Newmark, qui estune méthode

impli ite àunpas(m=1), puislaméthodedesdiéren esnies entrées quiestuneméthode

expli ite.

Valeur du pas en temps pourune pré isionoptimale

La question du pas de temps est primordiale : un pas de temps trop grand génère des

impré isions, un pas de temps troppetit rend le al ul oûteux et a umule inutilement les

erreurs numériques. Il est don important de le hoisir judi ieusement. Comme expliqué au

paragraphe pré édent, le as idéal pour la pré ision du al ul est un s héma à la limite de

la stabilité. Reprenons don la dénition de la stabilité pour en déduire le pas optimal et

posons

z

n

une petite perturbation de

x

n

à l'instant

t

n

. L'équation (2.2) nous donne que la perturbationrespe tel'équation

˙z

n+1

= J.z

n+1

.Enréinje tant esexpressionsdansl'équation (2.1),onobtient :

m

X

j=0

(α

j

I

− h × β

j

J) z

n+1−j

= 0, α

0

=

−1

(2.3)

Onposeensuite

µ

i

, i

∈ {1, . . . , 2N}

lesvaleurspropres de

J

(supposéederang

2N

) quel'on réunit dans la matri e diagonale

µ

, et on note

X

la matri e des ve teurs propres (normés) asso iés.Onpeutainsié rirel'équation ara téristiquede(2.3)enposant

z

n+1−m+k

= λ

k

X ˜

z

:

m

X

j=0

(α

j

I

− h × β

j

A) λ

m−j

X ˜

z = 0

En prémultipliant par

X

t

et en utilisant la relation d'orthogonalité des ve teurs propres

X

t

X = I

,onobtient alors :





m

X

j=0

α

j

I

− h × β

j

µ

λ

m−j





z = 0

˜

⇔ ∀ k ∈ [[1, 2N]],

m

X

j=0

(α

j

− hµ

k

β

j

) λ

m−j

= 0

Commeilestfa iledes'aper evoirqueles hémaeststablesietseulementsi

|λ| ≤ 1

,onpeut é rire àlafrontière entre stabilitéetinstabilité

λ = e

iθ

_{, 0}

_{≤ θ < 2π}

Ainsi, dansle asgénéral lalimite de stabilité estobtenue pour

µh =

m

X

j=0

α

j

e

iθ(m−j)

m

X

j=0

β

j

e

iθ(m−j)

(2.4) Méthode de Newmark

Ladémonstrationdel'élaborationde etteméthodepermetdebien omprendrel'appro he

dess hémas d'intégration temporelle etses diérents points lés;nousl'exposeronsdon en

détail.

Cette méthode étant initialement dédiée aux équations lassiques de la dynamique, nous

utiliserons leformalisme suivant, équivalent linéaire de laformulation (1.1) :

M.¨

q + C. ˙q + K.q = f

e

(t)

(2.5)

Cetteméthodereposesurundéveloppementaupremierordreetuneapproximationdesrestes

intégrauxpar quadrature numérique :

- Développement aupremier ordrede

q(t

n

+ h)

et

˙q(t

n

+ h) :















q

n+1

= q

n

+ h ˙q

n

+

Z

t

n+1

t

n

¨

q(τ )(t

n

+ h

− τ)dτ

˙q

n+1

= ˙q

n

+

Z

t

n+1

t

n

¨

q(τ )dτ

- Approximationdes restesintégraux

:







(a)

:

q

¨

n

= ¨

q(τ ) + q

(3)

_{(τ )(t}

n

− τ) + . . .

(b)

:

q

¨

n+1

= ¨

q(τ ) + q

(3)

_{(τ )(t}

n+1

− τ) + . . .







(1

− γ)(a) + γ(b)

:

q(τ ) = (1

¨

− γ)¨q

n

+ γ ¨

q

n+1

+ q

(3)

_{(τ )(τ}

_{− hγ − t}

n

) + O(h

2

q

(4)

)

(1

− 2β(a)) + 2β(b)

:

q(τ ) = (1

¨

− 2β)¨q

n

+ 2β ¨

q

n+1

+ q

(3)

_{(τ )(τ}

_{− 2hβ − t}

n

) + O(h

2

q

(4)

)

⇒















Z

t

n+1

t

n

¨

q(τ )dτ = [(1

_{− γ)¨q}

n

+ γ ¨

q

n+1

] h + r

n

Z

t

n+1

t

n

¨

q(τ )(t

n

+ h

− τ)dτ = [(1/2 − β)¨q

n

+ β ¨

q

n+1

] h

2

+ r

′

n

,







r

n

= (γ

− 1/2)h

2

q

(3)

(˜

τ ) + O(h

3

q

(4)

), t

n

< ˜

τ < t

n+1

r

′

_n

= (β

− 1/6)h

3

_q

(3)

_(˜

_{τ ) + O(h}

4

_q

(4)

₎

A e stade, on voit que le hoix des onstantes

γ

et

β

inuen e grandement l'algorithme.

Deux assont fréquemment ren ontrés :

a)

γ = 1/2, β = 1/6

: e asrevientàuneinterpolationlinéairedesa élérationssur

[t

n

t

n+1

]

,

¨

q(τ ) = ¨

q

n

+ (τ

− t

n

)(¨

q

n+1

− ¨q

n

)/h

.

b)

γ = 1/2, β = 1/4

: e as revient à utiliser une valeur moyenne de l'a élération sur

Onadon dansle asgénéral les héma impli itesuivant :

(

q

n+1

˙q

n+1

)

=

(

q

n

˙q

n

)

+

(

h ˙q

n

+ h

2

(1/2

− β)¨q

n

+ h

2

β ¨

q

n+1

(1

_{− γ)h¨q}

n

+ γh¨

q

n+1

)

(2.6)

Comme nous l'avons déjà dit en introduisant les méthodes impli ites, il est né essaire de

reformuler les équations pour arriver à résoudrele système. Defaçon à pouvoir al uler une

valeur appro hée de

q

¨

n+1

,on réinje tele s héma(2.6) dansl'équation(2.5):



M + γhC + βh

2

K



.¨

q

n+1

= f

e

(t

n+1

)

−



C.˜˙

q

n+1

+ K.˜

q

n+1



(2.7) ave

q

˜

n+1

= q

n

+ h ˙q

n

+ (1/2

− β)h

2

_q

_¨

n

et

˜˙q

n+1

= ˙q

n

+ (1

− γ)h¨q

n

Une fois

q

¨

n+1

évalué, ilne reste plusqu'à ee tuer les orre tions sur

q

n+1

et

˙q

n+1

.

L'algorithme ompletpermettant de mettreen ÷uvrelaméthode estprésentéengure 2.1.

Méthode des diéren es nies entrées

Laméthodedesdiéren esnies entréesestéquivalenteàuneméthodedeNewmarkave

γ = 1/2

et

β = 0

:

(

q

n+1

˙q

n+1

)

=

(

q

n

˙q

n

)

+

(

h ˙q

n

+ (h

2

/2)¨

q

n

(h/2)(¨

q

n

+ ¨

q

n+1

)

)

(2.8)

On peutalors mettre e systèmesous une formeà troispasen exprimant

q

n

:

q

n

= q

n−1

+ h ˙q

n−1

+ (h

2

/2)¨

q

n−1

En réinje tant dansladeuxième équation de(2.8) eten divisant letoutpar

h

,on obtient :

q

n+1

− q

n

h

−

q

n

− q

n−1

h

= ˙q

n

− ˙q

n−1

+ (h/2)(¨

q

n

− ¨q

n−1

)

Puis, en remplaçant

˙q

n

par

˙q

n−1

+ (h/2)(¨

q

n

+ ¨

q

n−1

)

(première équation de (2.8) é rite à

l'instant pré édent), onobtient :

¨

q

n

=

q

n+1

− 2q

n

+ q

n−1

h

2

(2.9)

2.1.3 Cas des systèmes non-linéaires

Nousprésentonsmaintenant l'adaptationde laméthode deNewmarkàdessystèmes

non-linéaires. On utilisera la formulation (1.1) des équations. Le prin ipe est le même que dans le asdessystèmes linéaires:on ee tueune prédi tion

q

˜

n+1

et

˜˙q

n+1

en fon tion destermes

q

n

, ˙q

n

et

q

¨

n

, puis on évalue

q

¨

n+1

que l'on réinje te pour obtenir

q

n+1

et

˙q

n+1

. La diéren e prin ipale ave le traitement des systèmes linéaires est l'évaluation de

q

¨

n+1

etla orre tion des termes

q

n+1

et

˙q

n+1

qui en résulte. En eet, lorsque l'on é ritl'équivalent de l'équation (2.7),onobtient lesystèmenon-linéaire suivant (d'in onnue

q

¨

n+1

) :



M + γhC + βh

2

K



.¨

q

n+1

= f

e

(t

n+1

)

−



C.˜˙

q

n+1

+ K.˜

q

n+1

M, C, K, f

e

(t), q

0

, ˙q

0

? Cal ul de

q

¨

0

,

n

← 0

? In rément temporel:

t

n+1

= t

n

+ h

? Prédi tion :

˜

¨

q

n+1

= 0

˜˙q

n+1

= ˙q

n

+ (1

− γ)h¨q

n

˜

q

n+1

= q

n

+ h ˙q

n

+ h

2

(1/2

− β)¨q

n

? Cal ulde l'a élération :

S = M + γhC + βh

2

K

S.¨

q

n+1

= f

e

(t

n+1

)

− C.˜˙q

n+1

− K.˜q

n+1

? Corre tion:

˙q

n+1

= ˜˙

q

n+1

+ hγ ¨

q

n+1

q

n+1

= ˜

q

n+1

+ h

2

β ¨

q

n+1

? (Optionnel) Evaluationde lastabilitéde

l'algorithmepar bilan énergétique 6

n

_{← n + 1}

-Fig. 2.1  Algorithme d'intégration temporelle par une méthode de Newmark - Système