Systèmes couplés non linéaires

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Systèmes couplés non linéaires

M. L. Sideriadès

To cite this version:

159 A

SYSTÈMES COUPLÉS

NON

LINÉAIRES

Par M. L.

_SIDERIADÈS,

Centre National de la Recherche

_{Scientifique,}

Marseille.

Sommaire. 2014 L’auteur étudie les

systèmes couplés non linéaires de nature

_{électronique}

et en

fait une _{synthèse générale.} Il retrouve comme cas _particuliers les _{exemples classiques} de la triode

oscillatrice, du _{multivibrateur,} de _{l’Ecclès-Jordan,} etc. Les méthodes

_{mathématiques}

utilisées relèvent de _{l’analyse topologique.} Le domaine _{d’application} est limité au _{premier ordre pour les}

systèmes différentiels.

PHYSIQUE SUPPLÉMENT AU N° ii

PHYSIQUE APPLIQUÉE TOME _17, NOVEMBRE _1956, PAGE 159 A.

Introduction. - Les idées de base de la

présente

étude ont été recueillies dans deux

_publications

de Th.

_{Vogel [1], [2].}

Les

_systèmes

_physiques

_envisagés

sont ceux dont le

_comportement

est

_régi

_par un

_système

différentiel

non

_linéaire,

de la forme :

où

_{X, Y,}

T sont des fonctions

_analytiques

de leurs

arguments.

Les

_exemples

_{étudiés que} nous avons voulu des

plus

classiques

ont été choisis dans le domaine

électronique,

parce que

plus

maniables et

_plus

_aptes

à une vérification

_{expérimentale}

directe et

_simple.

Notre souci

_majeur

a été de maintenir constamment

le lien entre la théorie et

_{l’expérience.}

La

_{généralité}

des résultats obtenus et _{la schématisation par les}

procédés

du calcul matriciel des

_systèmes

diffé-rentiels

_régissant

le fonctionnement

_complet

des

systèmes

permettent

d’entrevoir,

par

analogie,

une

extension fructueuse à de nombreux

domaines

de

la

_Physique.

Les

_systèmes

_{électroniques,}

_comportant

des

lampes,

il

_importe

en

_premier

lieu de

_préciser

la

caractéristique

de la

_lampe,

_organe fondamental de la non linéarité.

I. Détermination de la

_{caractéristique}

utilisée.

- La

_lampe

utilisée est un élément actif tel que

l’application

d’une action sous forme

_potentiel

du

couple (vg, vp)

fournit une

_réponse

sous forme

courant

_ip.

Il est

_inutile

de tenir

_compte

de la

cathode,

la

_{réponse ip}

a évidemment son

_origine

dans le flux d’électrons émis par cette dernière.

On connaitra donc

_parfaitement

la

_réponse

sous la

forme d’une

_{surface 1,}

=

~( Vg,

vp).

Quelles

sont les

informations sur cette surface ?

Communément,

les deux faisceaux de

_{caractéristiques ip( vg)}

à vp

constant et

_{ip( vp)}

à vg

constant.

Mathéma-tiquement,lon

peut

définir une

approximation

para-bolique

des caractéristiques statiques

et _remarquer

que si on se donne la haute tension

V,.,

il

corres-pond

un _{eut-off - uo}

_fixe;

si on introduit une

charge

purement

résistive,

les

_{caractéristiques dynamiques}

forment un faisceau de

_paraboles

dans le

_{plan (if),}

_Vg)

tangentes

au

_{point (0,}

-

uo),

de même axe

(cf.

fig. 1).

Ce faisceau de

_{caractéristiques}

est la

projection

sur le

_{plan (1,, vu)}

des

sections

de la

surface

_{approchée ip}

=

qJ( vu,

vp)

_avec le faisceau

des

_plans

dont la droite de base est

_(ip

=

0,

Vp =

Vpo).

On a donc là un mode de

_génération

simple

de

la surface où

_Fp

et

_{uo sont}

des

_paramètres

expérimentaux

fixes. Toute autre

_génération

à

partir

de

_{caractéristiques statiques}

nécessite la ,

connaissance de la relation

_{R( Vpo’}

uo)

= 0.

Ici,

il suffit d’éliminer la

_charge

r de

_plaque

entre :

(faisceau

de

_plans

de

_paramètre

_r)

et

(cylindre

projetant

la

_{caractéristique dynamique}

pour la

charge

r)

a == coefficient

_{d’amplification.}

uo = différence de

potentiel

entre les

potentiels

de cut-off et de saturation fixant la

_plage

active de la

_lampe.

p = valeur minima de la résistance interne.

160 A

La surface

_{approchée caractéristique}

est un para-boloïde

_{d’équation :}

Cette

_expression

est valable

_uniquement

dans le

trièdre

_(ip,

_{- Vg,}

_vp)

_positif.

Ailleurs a = 0.

On remarquera que la surface réelle d’ordre

plus

élevé est

_comprise

entre cette _nappe de

_paraboloïde

et le cône

_s’appuyant

sur la

_{caractéristique}

sta-tique Vp

d’équation :

II.

Étude

des

_systèmes

_couplés

non linéaires. -A.

ÉTABLISSEMENT

DES

_ÉQUATIONS.

- Soit le

schéma

_théorique

_indiqué

sur la

figure

2. On a une

relation de maille :

et une relation nodale :

Si

l’on fait

sur

ip( vg,

_vp)

une

hypothèse

quadra-tique,

on

_peut

éliminer v,. Il vient :

Posons :

et

_appelons

et = oc

₊

iÉ

_{+ 03B2}

l’admittance de la

y

liaison

_inter-étage

du

_système.

On

_peut

alors

donner sous sa forme la

_{plus générale}

une

expres-sion

_{mathématique}

réalisant en

_quelque

sorte la

famille

_{généalogique}

des

_systèmes

différentiels

auxquels

on aboutit pour les

_systèmes

_couplés.

On arrive à la forme :

Cas de

_{dégénérescence.}

Le cas du

couplage

interne relatif à une seule

lampe

ne

_peut

se déduire du

_système

_(3),

la notion

de maille

_(circuit

_fermé)

_comportant

des

impé-dances infinies

_(circuit

_ouvert)

introduit des

indé-terminations. L’étude doit être faite directement.

Soit,

par

exemple,

le cas d’une triode

com-portant

X dans la

_grille

et Y dans la

_plaque

(cf. fige 3)

1 est ici le courant

_grille

s’il

_n’y

a _pas

_couplage

entre

_grille

et

_plaque.

_{On suppose I} = 0.

L’équa-tion

_{unique régissant}

la triode est :

Étudions

_quelques

cas intéressants.

1) Cas vg = - Vo

= Cte. - Si l’on met _une

charge

pure r dans la

plaque,

on

_trouve,

avec

l’approximation

parabolique,

d’après

(4) :

Vp se stabilise très

rapidement

(Cte

de

temps

faisant intervenir les

_{capacités parasites)}

autour

de _vpo à l’intersection de la droite de

_charge

corres-pondant

à r et de la

_{caractéristique}

_{ip( vp)}

pour -

Vg

( fig. 4).

Introduisons maintenant un circuit

On obtient une

équation

du 2e ordre :

v, se stabilise autour de

_V,,.,

la droite de

_{charge .}

ayant

une

_pente

infinie

_{puisqu’elle correspond}

à

une

charge

nulle

(ou

négligeable)

pour. la

tension .

continue. La constante de

_temps

est r’C. Il _y a

circulation intense de courant. Mais la

charge

est

très

_faible,

le bouchon

_jouant

le rôle

_de

court-circuit _pour la tension

continue

(fin.

5).

Pour retrouver l’influence de la

_charge

r sur la

stabilisation autour de

_vpa,

il faut introduire un

circuit résonnant

_{(fig. 6)}

et

_{l’équation}

du 2e ordre devient :

On retrouve la tension

_{d’équilibre}

_{vpG du début} avec une constante de

_temps

égale

à

(r

+

p)C.

2)

Cas d’une mutuelle

_(cf.

_{fig. 7).}

-

Toujours

avec I =

0,

_Vg

peut

être

couplé

à _{vp, donc} variable. On a alors le

_{système :}

Par

_exemple,

dans

le

cas de la

triode

montée

en

oscillatrice,

X =

_Llp

₊

_R1,

_L,

réalise le

_couplage

par mutuelle inductance avec la self

_L2

du

_bouchon,

Ri

est la résistance de fuite de

_grille

suffisamment

grande

pour que dans

l’approximation envisagée

I

soit

_équivalent

à 0.

_{L’hypothèse}

communément

admise pour le

couplage

par inductances mutuelles

étant :

L’élimination de

_{vg fournit :}

équation

que nous étudions

plus

loin par les

méthodes de

_l’analyse

_topologique.

Si on veut se

ramener à une forme du

_système

_(3),

on

_{éliminera v,}

et on obtiendra :

Remarque

importante.

-

.Dans ’le

système (3)

les _(x,

_03B2,

_y sont

_d’après

les

_{propriétés analytiques}

des

fonçtions

_impédances

de

_dipôles,

de’s

_rapports

de

_polynômes

à coefficients

_positifs.

Un

_couplage

par inductions mutuelles

négatives

est donc

suscep-tible de rendre

_négatifs

certains de ces coefficients.

3)

Cas du

_couplage

à travers une

impédance

z

(cf.

fig. 8).

- Le

couplage

est le même que celui du

cas

_général

à la différence

_près

_{que la}

_grille

et la ’

équa-tions sont donc exactement les mêmes avec

sup-pression

du

_jeu

des indices :

avec

Conclusion :

_systèmes

à

_{couplage gyroscopique}

(cf.

fig. 9).

Le cas d’une mutuelle

_permet

_pour le

_système

couplé général

envisagé

en

₍₁₎

la réalisation d’un

couplage

du

_type

_{gyroscopique.}

_Imaginons

en effet

que l’on monte une triode en oscillatrice avec une

mutuelle

_négative

entre la

_grille

et la

_plaque

de

deux

_lampes

différentes et _{que l’on} achève la liaison

du deuxième

_quadripôle

_inter-étage

avec une mutuelle

_positive.

Les

_hypothèses

sont les mêmes que dans le cas

(2).

On obtient :

ce

_qui

fournit le

_{système :}

On a bien un

_couplage

du

_type

_{gyroscopique.}

B. RÉSULTATS TOPOLOGIQUES. - A

partir

de la forme

_{(3) (et}

des formes

_{dégénérées),}

nous avons

retrouvé tous les schémas

_classiques

d’oscillateurs

et noté leur

_degré

de

_parenté

_d’après

les résultats

topologiques.

On a vu

_{précédemment}

_que

_{l’équation}

diffé-rentielle

_régissant

le

_système

avec

charge

résistive ou

_réactive

était de la forme :

Cette

_équation

s’écrit sous forme

_homogène

_par

rapport

aux éléments différentiels en

_{posant :}

Le

_{point A( vp}

=

vp0 )

est un

_foyer

ou un noeud

(toujours

un

noeud

dans

le cas d’une

charge

purement

résistive à cause de la

_petitesse

de la

capacité parasite).

La droite ay

+

b(x

-

vp0)

a

toujours

une

_pente

négative.

Les courbes

intégrales

s’enroulent autour de A. En

_général,

les oscillations

sont

_rapidement

amorties

_{(cf. fig.}

_10).

Sous forme

_dynamique,

on a

_{toujours :}

avec

W étant un

_polynôme

dont certains coefficients

sont

_négatifs.

D’où

_possibilité

d’oscillations

stables.

Nous traiterons avec

_plus

de

détails

le cas

_classique

2a)

Triode oscillatrice. -

Avec

_{l’hypothèse}

d’une

caractéristique rectiligne

de la forme :

Les oscillations de la triode sont

_régies

_par

l’équation

différentielle :

Cette

_équation,

si elle met en évidence l’existence

d’une résistance

_négative,

fournit une solution

stable

pour une seule valeur du

_couplage,

alors que

l’expérience

montre l’existence d’une bande

rela-tivement

_grande

_{pour la} variation de ce

_couplage.

D’où nécessité de faire d’autres

_hypothèses

intro-duisant la non linéarité de la

_{caractéristique}

triode.

quantité

entre

crochets de

_{l’équation}

_(10).

De la

sorte,

les

sclutions

stables

_apparaissent

sous forme

de

_cycles

limites dans le

_plan

de

_phase

_{( v,}

_{dv /dt) ;}

mais leur recherche s’avère

_{mathématiquement}

difficile,

les isoclines étant _{constituées par} des

cubiques.

D’autre

_part,

les

_paramètres

sont

_imprécis.

Nous avons utilisé une théorie de définition

des

courbes

sous forme d’association d’arcs continus

[1],

[2].

Pour cela nous avons divisé le

_plan

en trois bandes. -

correspondant

à trois

tronçons

de la

caractéristique dynamique -

la bande centrale de

fonctionnement

_{correspondant}

évidemment à la

partie

active de la

_lampe,

et nous avons été amenés

à utiliser une relation de la forme :

1

= oc

_{- 03B2v}

Rt

t

les

_{paramètres A,}

_{B, 03B1, 03B2}

étant

_susceptibles

de

discontinuités dans le _{passage d’un} domaine à un

autre du

_plan

de

_phase.

De cette

_façon,

en

_supposant

le

_{courant-grille négligeable,}

---:.

hypothèse

émi-nemment

_acceptable,

car il y a absence de choc

-on

_trouve,

tous calculs

_{faits, l’équation}

suivante :

Chacun des

_paramètres

_ayant

une

signification

physique

bien déterminée et

_déjà

définie _par ailleurs

_(une

notation

avec

accent

_signifie

un shunt par

03C1).

En

_posant,

_pour

_simplifier

l’écriture :

On obtient :

soit encore avec

La discussion relève des méthodes de

_l’analyse

topologique.

Une

_{intégrale générale}

est formée de

deux

arcs :

_(R)=

_(RI)

₊

_{(R 2),}

les

_(RI)

_{correspondent}

aux deux bandes extrêmes

/

x = 1

-

B

aux deux bandes extrêmes

oc

=

1/r’C’

03B2

0

les

_(R2)

à la bande centrale active. Les isoclines .

sont constituées _{par des faisceaux de droites pour}

les

_(R1),

_{d’hyperboles}

_{équilatères,}

dont une

asymp-tote est

_fixe,

_pour les

_(R2).

L’étude des

_points

singuliers

montre l’existence d’un noeud ou d’un

foyer

à

_l’origine,

_{exceptionnellement}

d’un centre

(correspondant

à la condition limite

_{d’entretien).}

Les

_cycles

limites

_{correspondant}

aux solutions

-périodiques

sont déterminés _par des arcs de

(R1)

et

_{(R2) passant}

un _par

_point

donné d’une

sépa-ratrice des

_régions

et

_qui

se

_recoupent

en un même

point

sur cette

_séparatrice

- à la condition

évi-dente que cette association d’arcs

constitue

une courbe fermée.

Les résultats sont les suivants

_{(voir fig. 11).}

M > 0 : Toute

_(R)

s’enroule autour de

_l’origine.

A

_correspond

à la

_saturation,

B au

_cut-off,

0 à la

polarisation

Y,.

Les oscillations s’amortissent

autour du

_point

_{moyen de}

_{polarisation.}

Pour une

grande

valeur du

_couplage,

la bande AB est

mince ;

et fortement accentué dans la bande AB. Pour une

faible valeur du

_couplage,

les

(R)

sont

_pratiquement

formés par les

(R2),

car AB est

_large.

M = 0 : Ce _{cas est} intéressant _non

parce

qu’il

correspond

à un

_{couplage nul,}

mais au

fonction-nement de

_part

et d’autre de la courbure sur la

caractéristique

dynamique,

et cela

_quel

_{que soit M.}

Ce cas fournit les

_{(RI) qui}

montrent un

_blocage

à

l’origine

avec oscillations

_(cas

d’un

_foyer

_L

_4r’2C)

ou sans

oscillations

_(cas

d’un

_noeud).

Mc

M

0 : Les R sont

_toujours

_pratiquement

formés _par les

_(R2)

car ce est

toujours

positif

mais

faible ;

les

_tangentes

aux isoclines sont _peu

pro-noncées ;

on a un étalement des

_(R2)

suivant l’axe

des v. Les oscillations

_toujours

amorties

_persistent

davantage.

M =

Mc :

Ici _ce est nul

(ce

qui

détermine

M,).

Les

_{(R2) 1 résentent}

un

véritable

centre à

_l’origine.

Toute

_(R)

s’enroule autour d’une

_(R2)

extrême

tangente

à l’une des

_{séparatrices}

en A. Ce cas

correspond

à la condition limite d’entretien. M

_{M, :}

C’est le cas

_général

des oscillations

stables observables avec latriode. Le centre des

_(R2)

fait

_place

à un

_foyer

_{répulsif :}

les

_(R2)

se déroulent

à

_partir

de

_{l’origine jusqu’au cycle}

limite

_qui

obliga-toirement est formé d’un arc de

_(R1).

Il semblerait

qu’avec

la croissance de

_|M|,

le

_cycle

enferme une

surface de

_plus

en

_{plus grande}

et _{que les oscillations}

aient une

_amplitude

constamment croissante. Mais

la bande AB d’existence des

_(R2)

se rétrécit au fur

et à mesure et les

_(R1)

deviennent

_{prépondérantes}

avec leur

_foyer

attractif :

_{l’amplitude}

des

oscil-lations décroît et _{devient nulle pour de}

_grandes

valeurs de M. Il _y a étouffement des

_(R2)

_par

les

_(R1).

Remarque.

-- Il est

important

de remarquer que

pour

qu’il

y ait oscillations

stables,

il ne suffit _pas

qu’il

y ait

simplement

résistance

négative,

ce

_qui

correspond

à un arc de

1

_v

_0,

mais aussi que «

t

soit

_négatif.

On a traité sur la

_figure

12 un

_exemple

théorique

avec une 6C5. Les valeurs des

_paramètres

sont les suivantes :

Réalisation

_{expérimentale.}

- A l’illustration de

la théorie

_{précédente,}

il nous a _{paru utile de réaliser}

un

_montage

expérimental

_permèttant

de visualiser les

_(R)

dans le

_plan

de

_phase

_{( U,}

_{d v /dt)}

_(voir

_fig.

_13).

FiG. 13. -

Dispositif expérimental.

Une

_hétérodyne

utilisée en BF

_attaque

un

_étage

écréteur. Le

_signal

_{rectangulaire}

transmis sur la

grille,

dont la

_polarisation

fixe sera convena= blement

_choisie,

au besoin avec l’aide d’une batterie

auxiliaire d’accumulateurs dans la

cathode,

bloque

et

_{débloque périodiquement}

sous forme de trains

d’ondes les oscillations de la triode. En

_attaquant

les deux

_plaques

d’un

_{oscillographe}

_{par le}

_{signal v}

et sa dérivée

dv /dt

à travers un

_étage

résistance-capacité (qui

peut

en

_plus

_agir

sur la

phase

sans

altérer le

_{phénomène),}

on

_peut

ainsi visualiser la

naissance des oscillations et les

_cycles

limites. Il est

très

_important

_{ici de remarquer que les oscillations}

triode,

et

_{qu’il n’y}

a aucune

_perturbation

extérieure sous forme de transitoire

_apportée

_par un

_couplage

parasite :

les oscillations se

_développent

une fois le

palier

du

_{signal rectangulaire atteint,}

et

_{jamais .}

avant

_(voir

_{fige 14}

où les

_plaques

d’un

_{oscillographe}

FIG, 14.

à commutateur

_{électronique}

sont

_attaquées

simul-tanément par le

signal v

et le

_signal

_{rectangulaire}

appliqué

sur la

_grille).

Les autres

_{photographies}

( fig. 15,,16, 17)

sont relatives à

différents

trains

d’ondes et

_{cycles limite’s ;}

on _{remarquera sur} l’une

des

_{photographies}

les courbes en

pointillé

(obtenues

en modulant la

_grille

de Wehnelt de

_{l’oscillographe}

à une

_fréquence

très

_{supérieure) qui}

montrent _que

la vitesse de l’affixe est

_pratiquement

constante.

Toujours

avec une

_lampe

_unique,

mais I

dif-férent de 0

_{(couplage grille-plaque}

_par

_impédance),

le

_système

_dynamique

est d’ordre

_supérieur.

L’étude

topologique

dépend

de la nature de la fonction 6L

admittance. Il est

_possible

d’obtenir

_plusieurs

points singuliers

dans le

_plan

de

_phase.

On

_peut

voir

_apparaître

des

_phénomènes

de

choc ;

mais

ceux-ci résultent de discontinuités _propres aux

caractéristiques

elles-mêmes

_{des_ lampes.}

_{C’est par}

exemple

le cas

classique

du

_thyratron.

3a) Thyratron.

- Considérons _un

couplage

tel

que celui

indiqué

sur la

_figure

18. La surface

caractéristique, figurée

en

_19,

est telle _{que la} courbe

plane

R(vg, vp)

= 0

sépare

le

_plan

en deux

_{régions :}

une

_{région (1)}

_pour

_{laquelle ip}

=

0 ;

_une

région (2)

pour

laquelle.ip

=

io.

On voit

_apparaître

ici une forme de choc

pré-sentée _par une discontinuité telle _que

FIG. 16.

FIG. 17.

On désignera par système de _{première espèce}

tout _{système présentant} une telle discontinuité. Une forme de deuxième espèce ferait intervenir

une fonction de Dirac et on définirait une mesure

3[R(x, y)] étendue non _plus à une _région du plan (ce qui donne le volume d’un cylindre), mais à la limitatrice :elle-même (ce qui donne le volume

pelliculaire

du cylindre). On précisera ces notions dans un prochain article à propos des formes

intégro-différentielles expliquant le phénomène de choc dans un multivibrateur.

Pour le thyratron, le système des relations de maille et nodale s’écrit :

Résultats. - _Si

dip = _0, dans le plan de phases,

on a l’équation d’une droite à pente négative. A la traversée de la séparatrice R( Ofn vp) = _0, la rela-tion (du/dt, u) se _{traduit par} un arc de courbe d’allure hyperbolique qui coupe la droite en deux

points A et B. La réunion du vecteur BA et de l’arc AB forme un « _cycle limite » d’un caractère

particulier correspondant aux oscillations en « dents de scie» du thyratron (voir fig. 20). On remarquera que la partie droite est le phénomène lent, et la

partie courbe, le phénomène rapide (voir fig. 21).

Dans le cas _général avec deux _lampes, le système

s’écrit : :

X, Y, sont des polynômes à coefficients positifs ou

négatifs. Si le système couplé est de structure

symétrique, on a : _{:Xjk(x, y)} = _{Ykj(y, x).} Le

cou-plage avec deux lampes introduit obligatoirement

une courbe de choc T(x, y) = 0 caractéristique de la non-linéarité. En effet, le _{système couplé} le _plus

simple s’écrivant : :

l’un au moins des coefficients a, a’, b, b’, est fonc-tion de x (ou de y) puisqu’il contient if) ou _{dip /dt,} ce qui correspond au fonctionnement d’une lampe.

On a étudié des cas _{particuliers classiques} ou

intéressants tels que : multivibrateur,

Ecclès-Jordan, bascule généralisée. 4a) Multivibrateur. - _{Dans le schéma}

théorique général on fera :

Le système est de structure _symétrique. On a :

Dans le plan des x, y, les isoclines de base du

système sont deux paraboles à axes rectangulaires d’équations : :

et la courbe de choc une _{hyperbole équilatère}

État

statique.

- Cet état

correspond

au

système

purement

résistif. Il fait

_apparaître

un seul

_point

d’absorption

à l’intersection de :

Le

_système

écoule _par cette

_position

_l’énergie

fournie _{par les} sources de tension

continue,

c’est

le seul

_point

_{d’équilibre, lorsqu’il}

_existe,

_{que le} multivibrateur

_puisse

atteindre.

État

_dynamique.

- La

capacité

de liaison

intro-duit une transformation faisant

apparaître

une

courbe de choc

..

avec

le

système

statique,

le

_{système dynamique}

s’écrit : Le

_{régionnement}

des

_points

singuliers (cf.

fig.

22)

fait

_apparaître

trois

_régions

délimitées par deux

hyperboles équilatères.

Les

isoclines .de base sont constituées _{par deux}

para-boles à axes

rectangulaires.

Les trois

_points

d’inter-section - autres

que celui du

système

statique

-sont sur la frontière

(trait

_pointillé

fort)

une

hyper-bole

_équilatère

_rapportée

à ses axes. Deux de ces

points

sont

_foyers

ou noeuds attractifs _{pour le}

système.

Mais étant situés sur la courbe de

_choc,

ils ne

_peuvent

constituer des

_positions

_{d’équilibre ;}

le

_{système reçoit}

en ces

_points

des

_impulsions.

C’est

_{l’aspect caractéristique}

de ce _genre

d’oscil-lations dites « de déferlement )).

L’étude

_complète

des courbes

_intégrales

com-prend cinq

cas

_{correspondant}

à

_cinq

_positions

.

remarquables

de la

polarisation

fixe de

grille l, :

(1) Une double barre _indique

_{qu’il s’agit}

du déterminant de la matrice _{(barre simple).}

Les

_figures

23 et 24 sont relatives à

_Vg

= 0

(23 : caractéristique parabole

entière - 24 : _cas

réel)

-25, 26,

sont relatives à

_{titrés négatif -}

_27,

28, à 0

> - Vg

> - u0

FiG. 23. - Multivibrateur

V g = _0.

(Hypothèse

de la _{caractéristique}

_{parabolique).}

X _{= -1,88y2} + 64y + x - 34 oc, = 0,53.10-3

Y = - 0,53x2 + 18x + 4y - 136 pi = 10-3 T = _{xy - 4} 03B12 = 1,88.10w P2 == 4.10-3. , Fic. 24. - Multivibrateur _Vg = 0.

(Hypothèse

de la caractéristique

réelle).

La

_figure

29 montre le fonctionnement

_complet

du multivibrateur.

Les

_{photographies}

suivantes :

_{figure 30,}

sont

relatives à

_Vg(t),

fournissent des indications sur la

FIG. 25. - Multivibrateur

Vg = - 1 54 V.

(Hypothèse de la _{caractéristique parabolique).} X _{= - 1,88y2} -- 226y + x + 120 y = - 0,53x2 - 64x + 4y

+

480 T = xy-4

o:i

= _0,53.10-3 a2 = 1,88.10-3

03B21

= 10-3 _{03B22 =} 4.10-3. Fie. 26. - Multivibrateur .Vg = - 154 V.

(Hypothèse

de la caractéristique réelle).

FIG. 27. - Multivibrateur

Vg = 201314 V.

(Hypothèse de la _{caractéristique}

_{parabolique).}

X = - 1,88y2 + 37,6y + x - 20 . Y = - _{0,53x2 + 10,6x + 4y} - 80 T _{= xy-4} 03B11 = 0,53.10-3 ces =1,88.10-3 03B21 = 10-3 _03B22= 4: .10-3. FIG. 28. - Multivibrateur

_YQ

= -14 V.

(Hypothèse

de la _{caractéristique réelle).}

et

_32,

sont relatives à

_vp(t)

et

_{( vp 1, V12),}

indications sur la vitesse -

figure 33,

sont relatives à

_{(VOl’ Vg2)}

à

_partir

d’une condition initiale très

_négative.

État

de choc. - L’évolution ultérieure de l’affixe

arrivant sur la frontière

_dépend

d’une autre loi

conséquente

de nouveaux

_paramètres.

Ces

para-mètres, préexistants

ne

_peuvent

se manifester avec

l’approximation

du 1er

_ordre,

_{parce que}

FIG. 29. - Multivibrateur.

Ypl

=

VV2

= 300 Pol = P02 = 5.103 a, = a2 = 20 U01 U02 = 34 r, = 4 . i 04 r2 = 2 . 104 Ri = 10s _R2 = 2.106 CI 10-11 , C2 = 2.10-9. X _{= 0,25x} - 0,47y2 Y = y - 0,13x2 ’

T

= xy - 4.

B) Résultats _{expérimentaux} -

_{Fréquence -}

80 _p

_/s.

font

_apparaître

un

_système

d’ordre

_supérieur

_que

nous étudierons d’une

_façon

_rigoureuse

dans un

autre article. On se bornera ici à

_signaler

_{que l’état}

de choc

_{s’apparente}

à un

_aspect

H. F. du

système,

alors _que

_{l’approximation}

du 1er ordre

corres-pondrait

à un

_aspect

B. F. On

_peut

expliquer

les

nouvelles courbes

_intégrales

_par modification du

dipôle

dans le

_{circuit-grille}

2013 ou _{par l’existence} d’un

_{courant-grille :}

En

_{posant :}

On aboutit au

système :

Le fonctionnement B. F.

_{correspondrait}

à y =

0 ;

03B5= ~.

Le fonctionnement H. F.

correspondrait

à :

R = ~.

4b)

Ecclès-Jordan.

- Il constitue un

système

couplé plus

général

que le multivibrateur. Le

dipôle

de liaison

d’impédance Z = 1+RCp

introduit une

transformation

telle que certains

points singuliers

(deux

au

moins)

ne sont _pas sur la courbe de

choc,

et,

sous certaines

conditions,

résultant d’un choix

judicieux

des

_paramètres,

peuvent

çonstituer

des

positions d’équilibre

stable.

On n’insistera pas

davantage

sur ce

système,

car

les résultats obtenus nous ont servi à la

conception

et à la réalisation d’un

système

de bascule

_plus

complexe

à

_quatre

_{positions d’équilibre}

stable.

L’Ecclès-Jordan

apparaît

dès lors comme un cas

particulier.

4c)

Bascule

_{généralisée}

[4].

-

Dans

le schéma

théorique

général

on fait : ,

Le

_système

est de structure

symétrique ;

on a :

Dans le

_plàn

des _{x, y,} les isoclines de

base

du

système

sont deux

_cubiques

dont les

_équations

sont de la forme :

et la courbe de

choc

une

hyperbole équilatère

d’équation :

Si l’on fait la

synthèse

des

_dipôles

dont

_l’i

mpé-dance est une fonction

homographique

de la

fré-quence

complexe,,

on trouve les deux formes en

. échelle suivantes :

_{(voir fig.}

_35).

Pour l’étude

_présente

nous avons choisi le

_dipôle

général

le

_{plus simple}

suivant :

_(voir

_fig.

_36).

-État

_statique.

’- Cet état

correspond

au

_système

purement

résistif. Il fait

apparaître

quatre

positions

d’équilibre

à l’intersection de deux

_paraboles

à axes

rectangulaires,

donc

_{cocycliques :}

État

_dynamique.

- Le

système

décrit une courbe

intégrale

à

_partir

d’un état initial donné. La loi du

mouvement

_{correspondant au système}

différentiel

complet

du 1 er ordre est le résultat de la

_présence

des

éléments

_purement

réactifs. Ces éléments

intro-duisent une transformation faisant

apparaître

la

courbe de choc. Mais sous certaines

_conditions,

les

caractère de noeuds ou

_foyers

stables _pour le

sys-tème

_dynamique,

et constituer

_{par conséquent}

des

positions d’équilibre

que le

système

physique

atteint effectivement.

Ces conditions sont de deux sortes :

1°

_Synthèse

d’un

_montage

_permettant

d’avoir une

_{caractéristique parabole}

entière.

2°

_Compromis

à réaliser entre _{les divers}

para-mètres

_qui

se traduit _par un _{rayon minimum du}

cercle des

_positions

_{d’équilibre}

_(car

trois

_points

se

trouvent au delà du cut-off en

général).

La

_figure

37

montre le

_{régionnement}

a

_priori

des

points

singuliers.

On trouvera des _{cols pour :}

des

_foyers

_{pour :}

et des noeuds dans la

_région

résiduelle.

Cherchons les conditions de stabilité de

l’équi-libre. FIG. 37. - Basculateur symétrique. X = - 0,22x2y - 2,4y2 + 25,4x + 168y -110g Y = - 0,22xy2 - 2,4e2 + 25,4y + 168x 2013 110g T = xy - 50

La transformation introduite _par

_{T(x, yj}

con-serve les

points

d’absorption

_qui

_prennent

le

carac-tère de

_noeud,

_foyers

ou cols et introduit de

nouveaux

_points

singuliers

sur la courbe de choc.

Mais on ne

_peut

rien conclure sur la stabilité des

premiers

points

(d’absorption).

L’introduction

de

_T(x,

_{y) permet}

seulement alors de statuer sur la

nature

_complète

de ces

_points.

Les conaitions de

stabilité., qui

doivent être satisfaites simultanément

sont :

10 Le

_{point singulier}

doit être

_statique

_(non

sur

la

_frontière).

20 Il doit être attractif dans une

_région

_positive

de

_{T(x, y)}

ou

répulsif

dans une

_région

_{négative :}

Le

_compromis

à réaliser dans le choix des divers

paramètres

en

_présence

constitue une difficulté

majeure

du

_problème

en vue de la réalisation

expéri-mentale. Mais son étude est

_{intéressante car}

elle

permet

une

_synthèse

de la bascule à

_partir

d’une

base de

_départ

d’ordre

_{purement mathématique.}

Examinons successivement les diverses conditions :

10 La

_{caractéristique}

doit être

_parabolique

de

part

et d’autre du cut-off avec une

_symétrie

rigou-reuse _{pour les} deux branches. On verra

_plus

loin le

montage

à réaliser _pour satisfaire à cette

_première

condition.

2° Le choix de la haute tension

_plaque

fixe le

cut-off et _{par voie} de

_conséquence

le carré actif de

côté

_2uo

_(la

surface est

_quadruple

_ici

compara-tivement aux cas

envisagés

précédemment)

à

l’inté-rieur

_duquel

doivent se trouver les

_positions

_d’équi-

t

libre. En d’autres

termes,

le cercle des

_positions

d’équilibre

doit avoir un _{rayon minimum.}

30

_X,

_Y,

_coupent

les axes en des

points

d’abscisses

d’ordonnées 1 .

Une bonne _marge

~03B1,

2 Y consiste à prendre 03B4

U2 0

consiste à

prendre -

=u0/ 2.

40 Enfin pour que les

paraboles

se

_coupent,

il

e

>.

~03B4

On déterminera d’abord la

polari-faut : - >~ 03B4.

On déterminera d’abord la

polari-y

«

sation fixe

_Vg

_par

_{l’équation :}

avec

(03B1, 03B2 = résistances du dipôle de liaison).

Le

_compromis

à réaliser résulte de la double

inégalité :

et la condition

_{majeure, indépendamment}

de la

pelarisation,

qui

fixe le choix des

_lampes

et des

résistances de liaison est :

Application numérique.

-- On

a effectué cette

synthèse

en

_prenant

des 6C5

_(schéma

_symétrique)

Les

_inégalités

_{précédentes}

sont _{vérifiées pour}

03B1 =03B2 = R = 5. 104 (r =2. 104).

Les coefficients des

_cubiques

de base sont :

On _{vérifie que :}

Étant

de choc. - L’état de choc ne

présente

pas

grand

intérêt ici. Il _y a choc

lorsque

la frontière

devient attractive pour l’affixe se

_déplaçant

sur

une

_intégrale

du

_système.

Dans le cas

_optimum

de

_quatre

_positions

_{d’équilibre}

_stable,

cela n’est

réalisé _{que pour}

_{des vg}

_supérieurs

aux

_potentiels

des

cols extrêmes et _{pour des} conditions initiales

inté-rieures à la zone

aiguë

des

séparatrices ;

cela est

pratiquement impossible puisque

le

_potentiel

des

cols est bien

_supérieur

à celui de la

_saturation,

et

que par

conséquent

nous nous trouvons en dehors

para-mètres réalisant deux

_{positions d’équilibre}

stable

et des cols à l’intérieur de la zone

_active,

la frontière

peut

devenir attractive sur certains arcs de

_{T(x, y)}

et il _y a choc. C’est le cas d’un Ecclès-Jordan

_qui

fonctionne en

multivibrateur ;

les deux

positions

d’équilibre

ne sont _{pas atteintes.}

Étude

du

_montage

_{expérimental.}

- On

a étudié

et réalisé un

dispositif expérimental

à six

lampes

(4 6C5,

2

_6AQ5)

_{généralisant}

le schéma de la

bascule

_classique

Ecclès-Jordan. Ce

_montage

est

équivalent

à celui de deux

lampes

triodes

_couplées,

tel

_qu’il

a été étudié dans la théorie du début. Le rôle d’une

_lampe

triode

_unique

à

_{caractéristique}

parabole

entière est ici

_joué

_{par trois}

_lampes,

une

pentode

reliée par un

_montage

en

_pont

aux deux triodes

_(voir

_fig.

_{38) : vp}

est

_pris

aux bornes communes des

_plaques

des

6C5, Vg

est la tension de

court-circuit

entre la

_grille

de commande de

la

_6AQ5

et la

_grille

de commande de la 6C5

_(l’autre

grille

est reliée au

_pont).

La

_polarisation

fixe du

_pont

est choisie

_égale

à -

2uo,

les valeurs des

_résistances

réalisent un

courant

_{plaque ip}

--- 0

pour Vg = - U0.

Enfin,

une

liaison inter-cathodes

_(des

_quatre

_{6C5) permet}

un

meilleur

_équilibrage

et une meilleure

symétrie,

mais

n’est _{pas absolument}

_{nécessaire ;}

nous n’en avons

d’ailleurs pas tenu

_compte

dans la

_théorie,

nous

bornant à considérer les cathodes comme sources

d’émission des électrons.

On

_peut

voir sur la

_figure

39 la

_comparaison

entre la

_parabole

_{théorique 1,}

=

625 . 1 0-5 ( vg

+

24)2

et la

_parabole

_{expérimentale}

_pour une

charge

résistive de 66 K03A9. Dans les conditions les

_plus

défavorables,

l’erreur relative maxima est de 5

_%

pour vg, 10 %

pour

if.

La triode

_unique

_équivalente

à

_{caractéristique}

complète,

aurait les

_paramètres

suivants :

Les

_équations

de la bascule sont les suivantes :

Le

_système

à l’état

_statique

_{fournit. pour les}

quatre

positions

d’équilibre

stable les

_paraboles

suivantes :

Sur la

_figure

40 on a

_représenté

l’allure des courbes

_intégrales

du

_système

réel. On

_peut

_par

comparaison

avec la

_figure

37 en déduire les

modi-fications entraînées par les

paliers

de saturation en

dehors du carré actif. Sur la

_figure

41

_enfin,

les

positions expérimentales d’équilibre

très voisines

confirmer

_pleinement

la théorie. La

_figure

42

montre ces mêmes

points

_{d’équilibre}

expérimen-taux sur l’écran d’un

_{oscillographe cathodique.}

FIG. 41. - Bascule

symétrique expérimentale.

(Graphique comparatif).

L’introduction de mutuelles

_permet

de rendre

négatifs

certains coefficients des éléments

diffé-rentiels du

_système.

Considérons

_{par exemple,}

le

système

à

_{couplage gyroscopique :}

Ce

_système

est non linéaire du second ordre. On en verra l’étude

_complète

dans un

_prochain

article à _{propos de} la résolution des formes dérivées du deuxième ordre. Mais d’ores et

_déjà,

la

_partie

relative au

_premier

ordre d’un tel

_système

_présente,

au

_signe

d’un élément différentiel

_près,

une

_analogie

formelle avec le multivibrateur. On dira que le

gyroscope est un

_système

_{;pseudo-orthogonal}

du multivibrateur. Une

_pareille

transformation

(pseudo-orthogonale)

modifie considérablement la

disposition

des

_{poynts singuliers,}

de la courbe de

choc,

et des

courbes

intégrales :

un

foyer

donne lieu à un col et

_inversement,

une courbe

de

choc dans une

_région

active de la

lampe

_peut

être

rejetée

dans une

_région

_passive,

une

_région

d’oscil-lations à déferlement

_(de

caractère

_{impulsionnel)}

peut

donner lieu à des oscillations sous forme de

cycles

limites ne rencontrant

plus

la

frontière,

et

d’une extrême stabilité.

Nous sommes heureux de remercier M. Th.

_Vogel,

Directeur de Recherches au C. N. R.

S.,

_pour les

fructueuses discussions _que nous avons eues au cours de ce

travail,

ainsi _que M. J. Brunel _pour l’aide efficace

_qu’il

nous a

_apportée

dans l’exécution

des mesures et des

_montages.

Manuscrit _reçu le 26 mai 1956.

BIBLIOGRAPHIE

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VOGEL _Th.), Sur certaines oscillations à déferlement. Ann.

_{Télécommunic.,}

Fr.

_(juillet

_{1951), 6,} n° 7,

pp. 182-190.

[2]

VOGEL _(Th.), Les méthodes

_topologiques

des discussions des

_problèmes

aux oscillations non linéaires. Ann.

Télécommunic., Fr.

_(janvier

1951), 6, n° 1, pp. 2-9.

[3] SIDERIADES (L.), C. R. Acad. Sc., 1956, 242, 1784-1787. [4] SIDERIADES (L.), C. R. Acad. Sc., 1956, 242, 1583-1586