MAT6150. Mécanique des Fluides.
Exercices 1.
11 septembre 2014
1. Les composantesv1etv2d’un champ vitesse bidimensionnel d’un fluide incompressiblev=v1(x,y,t)i+ v2(x,y,t)jsont définies comme suit:
v1=−y+cos(ωt),v2=x+sin(ωt).
(ωest un paramètre).
(a) Trouvez l’équation générale des lignes de courant sous la formef(x,y,t) =0. [6 points]
(b) Trouvez les trajectoires des particules lorsqueω̸=1 sous la formex=g(t)ety=h(t). Au cas oùω=0 comparez votre réponse à celle de la partie (a) ci-dessus, commentez et donnez-en une interprétation
géométrique. [9 points]
2. (Identité d’Euler). SoitV(t)un volume matériel qui est constitué des particules de fluide ayant pour vecteurs positionx=x(X,t)oùX=x(0). SoitJle jacobien
J= ∂(x1,x2,x3)
∂(X1,X2,X3). Démontrez que
DJ Dt =
(∂J
∂t )
X
= (∇·v)J,
oùvdésigne la vitesse du fluide. [10 points]
3. (a) L’équation pour la conservation de la quantité de mouvement d’un fluide idéal, soumis à une force conservatrice, peut être écrite
∂v
∂t + (v·∇)v=−∇
(p ρ+χ
) .
Déduire de cette équation leprincipe d’Archimède, notamment qu’un objet immergé dans un fluide immobile subit une poussée égale au poids du fluide déplacé par l’objet. [8 points]
(b) Expliquez pourquoi la fonte d’un morceau de glace pure flottant sur de l’eau pure se produit sans
changement de niveau de l’eau. [2 points]
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