Flexion pure

RESISTANCE DES MATERIAUX (2)

Référence:

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Notes de cours:

J. Walt Oler

Texas Tech University

Flexion pure

106,8 N.m 106,8 N.m

30 cm

Flexion pure

Flexion pure : élément prismatique soumis à deux couples égaux et opposés qui

agissent dans le même plan longitudinal.

356 N 356 N

356 N 356 N

30 cm 66 cm 30 cm

Autres types de chargement

• Principe de Superposition: La contrainte normale due à une flexion pure peut être combinée à une contrainte normale due à un chargement axial et à une contrainte cisaillante due à un chargement tranchant afin de déterminer l’état complet de

contrainte.

• Chargement tranchant (ou transversal) : concentré ou réparti, ce chargement

produit un système de forces équivalent à une force de cisaillement et un couple.

• Chargement excentré: chargement axial qui ne passe pas par la ligne moyenne de l’élément et qui produit un système de forces équivalent à une force axiale et un couple.

667 N

667 N 667 N

667 N

12,7 cm 12,7 cm

84,7 N.m

Élément symétrique soumis à une flexion pure

∫− =

=

∫ =

=

∫ =

=

M dA y

M

dA z

M

dA F

x z

x y

x x

σ σ σ

0 0

• Ces conditions peuvent être appliquées aux sommes des composantes et des moments des forces élémentaires internes statiquement

indéterminées.

• Les forces internes dans toutes les sections sont équivalentes à un couple. Le moment de ce

couple est le moment de flexion de la section.

• En statique, un couple M est constitué par deux forces égales et opposées.

• La somme des composantes des forces est nulle dans toutes les directions.

• Le moment est le même par rapport à tout axe perpendiculaire au plan du couple et nul par rapport à tout axe contenu dans le plan.

Déformations en flexion

• Fléchit uniformément pour former un arc circulaire

• Le plan des sections droites passe par le centre de l’arc et reste plan

• La longueur des fibres du dessus diminue et la longueur des fibres du dessous augmente

• une surface neutre doit exister et doit être parallèle aux surfaces supérieures et inférieures et pour

laquelle, la longueur ne change pas.

• Les contraintes et les déformations sont négatives (compression) au dessus de ce plan neutre et positif (tension) en dessous

Une poutre avec un plan de symétrie en flexion pure implique :

• L’élément reste symétrique

Section verticale, longitudinale (plan de symétrie)

Section horizontale, longitudinale (vue du dessus)

La déformation due à la flexion

Considérons un segment de poutre de longueur L. Après déformation, la longueur de la surface neutre reste inchangée. Aux autres sections,

( )

( )

(La déformation varie linéairement)

ou

x

m

m

x m

L y

L L y y

y y

L

c c

ρ y

c

ρ θ

δ ρ θ ρθ θ

δ θ

ε ρθ ρ

ε ρ ε

ε ε

′ = −

= − ′= − − = −

= = − = −

= =

Axe = −

Neutre

La contrainte due à la flexion

• Pour un matériau élastique linéaire,

• A l’équilibre statique,

∫

∫

∫

−

=

−

=

=

=

dA c y

c dA dA y

F

m

m x

x

σ

σ σ

0

0

Le premier moment par rapport au plan neutre est nul. Ainsi, la surface neutre doit passer par le centre de la section.

linearly) varies

(stress

m

m x

x

c y

c E E y

σ

ε ε

σ

−

=

−

=

=

(Contrainte variant linéairement)

• A l’équilibre statique,

2

En substituant

x m

m m

m

x m

x

M y dA y y dA

c M y dA I

c c

Mc M

I w

y c My

I

σ σ

σ σ

σ

σ σ

σ

⎛ ⎞

= − = − ⎜⎝− ⎟⎠

= =

= =

= −

= −

∫ ∫

∫

Surface neutre

Propriétés des sections de poutre

• La contrainte normale maximum due à la flexion,

Une section de poutre ayant un module de flexion plus grand aura une contrainte maxi plus faible

• Considérons une poutre rectangulaire de section,

Entre deux poutres ayant des sections de même surface, la poutre ayant la plus grande hauteur résistera le mieux à la flexion.

• Les poutres en acier sont conçues pour avoir un module de flexion important.

Moment quadratique de la section Module de flexion

m

Mc M

I w

I w I

c

σ = =

=

= =

Poutre-IPN Poutre-HE Axe neutre

1 3

12 1 2 1

6 6

2 I bh

w bh Ah

c h

= = = =

cm

cm cm

cm

cm²

Déformations dans une section droite

• Bien que les sections droites restent planes sous l’effet des moments de flexion, les déformations dans ce plan transversal sont non nulles,

ρ νε ν

ρ ε νε ν

ε_y = − _x = ^y _z = − _x = ^y

• L’extension au-dessus de la surface neutre et la contraction en-dessous induisent une courbure dans le plan transversal,

curvature c

anticlasti 1 = =

′ ρ ν

ρ Courbure anticlastique

• La déformation due à un moment de flexion M est quantifiée par la courbure de la surface neutre

EI M

I Mc Ec Ec

c

m m

=

=

=

= 1

1 ε σ

ρ

Surface neutre

Axe neutre de la Section droite

Problème 4.2

Une pièce en acier trempé est actionnée par un couple de 3 kN-m. Sachant que E = 165 GPa et en négligeant les effets d’épaulement, déterminer (a) les

contraintes en tension et compression maximum, (b) le rayon de courbure.

SOLUTION:

• A partir de la géométrie d’une section, calculer la localisation de centre de surface et du moment quadratique.

( )

= ∑ +

∑

= ∑ I _′ I Ad² A

A

Y y _x

• Appliquer la formule de la flexion élastique pour trouver les contraintes maximum en tension et en

compression.

I

m = Mc σ

• Calculer la courbure

EI

= M ρ 1

Problème 4.2

SOLUTION:

A partir de la géométrie d’une section, calculer la localisation du centre de surface et du

moment quadratique.

mm 3000 38

10 114× ³ =

∑ =

= ∑ A

A Y y

( ) ( )

( ) ( )

4 9 - 3

2 3

12 2 1

3 12

1

2 3

12 2 1

m 10 868 mm

10 868

18 1200 40

30 12

1800 20

90

×

=

×

=

× +

× +

× +

×

=

∑ +

∑ + =

′ =

I

d A bh

d A I I_x

∑ = ×

∑ =

×

=

×

×

=

×

3 3 3 3 2

10 114 3000

10 4 2 20

1200 30

40 2

10 90 50

1800 90

20 1

mm , mm

, mm

Area,

A y A

A y Surface, mm² y

Problème 4.2

• Appliquer la formule de la flexion élastique pour trouver les contraintes maximum en tension et en compression.

4 9

4 9

mm 10

868

m 038 . 0 m kN 3

mm 10

868

m 022 . 0 m kN 3

−

−

×

×

− ⋅

=

−

=

×

×

= ⋅

=

=

I c M

I c M

I Mc

B B A A m

σ σ σ

MPa 0

. +76

A = σ

MPa 3

.

−131

B = σ

• Calculer la courbure

(

)

(

)

1

×

= ⋅

= EI M ρ

m 7 . 47

m 10 95 .

1 20 _{3 -1}

=

×

= ⁻

ρ ρ Centre de courbure

• La contrainte due à un chargement excentré est trouvée en superposant la contrainte uniforme due au chargement centré et la distribution linéaire due au moment de flexion pure.

Chargement excentré avec un plan de symétrie (flexion composée)

• Chargement excentré

Pd M

P F

=

=

• Pour être valide, les contraintes doivent être en dessous de la limite proportionnelle, les

déformations doivent avoir des effets

négligeables sur la géométrie et les contraintes ne sont pas évaluées près des points d’application du chargement.

( ) ( )

I My A

P

x x

x

−

=

+

= σ _centric σ _bending

σ centré flexion

Problème 4.8

Les plus grandes contraintes acceptables pour le maillon en acier trempé sont 30 MPa en tension et 120 MPa en compression.

Déterminer la plus grande force P pouvant être appliquée au maillon.

SOLUTION:

• Déterminer un chargement centré équivalent et le moment de flexion.

• Évaluer les chargement critiques pour les contraintes acceptables en tension et en compressions.

• Le plus grand chargement acceptable est le plus petit des deux chargements critiques.

Du problème 2.4,

4 9

2 3

m 10 868

m 038 . 0

m 10 3

−

−

×

=

=

×

= I Y A

• Superposer la contrainte due au

chargement centré et la contrainte due à la flexion.

Problème 4.8

• Déterminer un chargement centré équivalent et le moment de flexion.

• Évaluer les chargement critiques pour les contraintes acceptables.

kN 6 . 79 MPa

120 1559

kN 6 . 79 MPa

30 377

=

−

=

−

=

=

= +

=

P P

P P

B A

σ σ

kN 0 .

= 77

• Le plus grand chargement acceptable P

moment bending

028 . 0

load centric

m 028 . 0 010 . 0 038 . 0

=

=

=

=

=

−

=

P Pd

M P d

Chargement centré

Moment de flexion

• Superposer les deux contraintes

( )( )

( )( )

P P P

I Mc A

P

P P P

I Mc A

P

B A A A

1559 10

868

022 . 0 028 . 0 10

3

377 10

868

022 . 0 028 . 0 10

3

9 3

9 3

−

× =

× −

−

=

−

−

=

+

× =

× +

−

= +

−

=

−

−

−

−

σ σ

B 38

Flexion asymétrique (flexion déviée)

• L’analyse de la flexion pure a été limitée à des éléments soumis à des couples de

flexion agissant dans le plan de symétrie.

• On considère maintenant des situations pour lesquelles des couples de flexion n’agissent pas dans le plan de symétrie.

• En général, l’axe neutre de la section coïncide avec l’axe du couple.

• On ne peut supposer que l’élément va se fléchir dans le plan des couples.

• L’axe neutre de la section coïncide avec l’axe du couple.

• Les éléments restent symétriques et fléchissent dans le plan de symétrie.

Flexion asymétrique (flexion déviée)

La superposition est appliquée pour déterminer les contraintes dans le cas le plus général due la

flexion asymétrique.

• Exprimer le vecteur couple selon ses composantes le long des axes principaux.

θ

θ sin

cos M M

M

M_z = _y =

• Superposer la composante des distributions de contrainte

z y x

z y

M y M z

I I

σ = − +

• Le long de l’axe neutre,

( ^cos ) ( ^sin )

0

tan tan

z y x

z y z y

z y

M z M y M z

M y

I I I I

y I z I

θ θ

σ

φ θ

= = − + = − +

= =

Cas général d’un chargement axial excentré (flexion déviée avec effort normal)

• Considérons un élément droit soumis à des forces excentrées égales et opposées.

• La force excentrée est équivalente à un système de force centrée et deux couples.

• Avec le principe de superposition, la distribution de contrainte combinée est,

y y z

x z I

z M I

y M A

P − + σ =

• Si l’axe neutre est contenu dans la section, on a alors,

A z P I y M I M

y y z

z − =

Pb M

Pa M

P

z

y = =

=centricForce centréeforce