MAT6150. Mécanique des Fluides.

MAT6150. Mécanique des Fluides.

Exercices 2.

25 septembre 2014

1. L’écoulement plan d’un fluide non-visqueux et incompressible peut être décrit au tempst=0 par la fonction de courant

ψ^=x2+y2.

Calculez le rotationnel partout pourt>0. Justifiez clairement votre réponse. [7 points]

2. Un écoulement irrotationnel (presque partout) et bidimensionnel d’un fluide incompressible et non-visqueux dans le planxyest engendré par deux tourbillons, l’un ayant une intensitéΓ1en(x₁,y₁)et l’autre ayant une intensitéΓ2en(x₂,y₂).

(a) Si les deux tourbillons sont libres de se déplacer, démontrez que leurs vitesses complexesdz₁/dt et dz₂/dtsont données par

dz₁

dt =d(x₁+iy₁)

dt =iΓ2(z₁−z₂) 2π^{a2 ,}

dz₂

dt =d(x₂+iy₂)

dt =iΓ1(z₂−z₁) 2π^{a2 ,}

aveca=|z₁−z₂|. [6 points]

(b) En supposant queΓ1+Γ2̸=0, démontrez quedZ/dt=0 etda/dt=0, où

Z=Γ1z₁+Γ2z₂ Γ1+Γ2

.

[5 et 6 points]

(c) De là, démontrez que chaque tourbillon se déplacera le long d’une trajectoire circulaire centrée surZ

et trouvez sa vitesse angulaire. [6 points]

(d) Qu’est-ce qui se passerait dans le cas particulier oùΓ1+Γ2=0? [2 points]

3. (a) Un fluide non-visqueux et incompressible occupe la régionx²+y²>a²au dehors d’un cylindre cir- culaire de rayona. Un tourbillon d’intensitéΓse situe en(b,0)oùb>a. En utilisant le théorème de Milne-Thomson, trouvez le potentiel complexe de cet écoulement. [7 points]

(b) Expliquez pourquoi le tourbillon se déplacera autour du cylindre sur une trajectoire circulaire de rayon

bet obtenez sa vitesse angulaire. [6 points]

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