La statique

La statique

Est l’étude des forces qui s’exercent sur un objet en équilibre et au repos … ou presque au repos (situation "quasi-statique") !

Ex.: étude des leviers.

* Notion de "solide rigide" par rapport à "point matériel"

* Notion de "moment des forces"

* Notion de "centre de gravité"

3

Le moment des forces .1

Question: dans quelles conditions un objet se met à tourner autour d'un point ?

F₂ F₁

fixation (pivot)

Quelle formulation mathématique peut-on utiliser pour décrire cette situation ?

Le moment des forces .2

F

r

on introduit le "moment" τ de F par rapport au point O:

τ est donc lié au produit F r O

point d'application

L'objet ne tourne pas si F=0 ou r=0

pivot

sens de rotation de l'objet

Le moment des forces .3

F₁

r O

F₂

r

O

F₁ aura moins d'effet que F₂ =>

seule la composante de F orthogonale à r, F_⊥, met le corps en rotation:

F_⊥ = F sin( angle entre F et r ) = F sin(

φ

φ

φ

Dans le plan:

F r

O

φ

F_⊥

Le moment des forces .4

F r

O θ

τ = F r sin θ

Le moment est maximal quand θ = 90° ( ou 270°)

en conclusion, la formule qui semble convenir est:

Le moment des forces .5

F r

O θ

module: τ = F r sin θ

τ   = r × F

proposition:

Dans ce produit vectoriel, la direction de τ représente

l'axe selon lequel le corps va tourner, poussé par la

force.

Moment des forces. Exemple 1

F

F

a b

N

N - F

- F

= 0 N = F

+ F

aF

+ 0N - bF

= 0 aF

= bF

P Q R

moment par rapport à Q

recherche de l'équilibre de la balançoire:

1) Somme des forces = 0

2) Somme des moments = 0

Moment des forces. Exemple 1bis

F_a F_b

a b

N

N - F

- F

= 0 N = F

+ F

0F

+ aN - (a+b)F

= 0 aN = (a+b)F

a(F

+ F

) = (a+b)F

=> aF

= bF

P Q R

moment par rapport à P

Moment de forces. Exemple 2

Biceps Humérus

Radius/Cubitus

E

T

w

poids ~ 2 kg a

b a ~ 0.05 m

b ~ 0.15 m

Centre de gravité

Le moment produit par le poids d'un objet par rapport à un point quelconque est égal à celui d'un objet de même poids mais concentré dans un point:

le Centre de Gravité (CG) de l'objet.

Centre de gravité, deux corps

a b

w

w

Centre de gravité:

aw

= bw

=> a/b = w

/w

Centre de gravité, plusieurs corps

X

0

w

w

w

x

x

x

x

Par la définition du CG:

x

w

+ x

w

+ x

w

+ ... = x

w

+ w

+ w

+ ...)

= x

w

w

x

= x

w

+ x

w

+ x

w

+ ...

w

= Σ ^x

^w

Σ ^w

C.G. de N points matériels

x y

r

r

= Σ m _i r _i Σ m _i

m

: masse du point i r

: sa position

m

i=1

z

C.G. d'un corps continu

x

y

r

r

=

r ρ dV

ρ dV : masse de l'élément de volume dV au point r dV

z

ρ dV

volume

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Couple de forces

Deux forces de même grandeur mais de

direction opposée sont appliquées a un objet de façon à créer un moment non nul.

z

z

F

F

F

= - F

| F

| = | F

| = F

€

τ = τ

+ τ

= z

F − z

F =

= (z

− z

)F = − dF d

x y

dans l'exemple de la figure: