Deuxième note sur le développement des fonctions satisfaisant à une équation différentielle

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A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

F. G

OMES

T

EIXEIRA

Deuxième note sur le développement des fonctions satisfaisant à une équation différentielle

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 4 (1887), p. 107-110

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(2)

DEUXIEME NOTE

SUR LE

DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS

SATISFAISANT

A U N E É Q U A T I O N D I F F É R E N T I E L L E ,

PAR M. F. GOMES TEIXEIBA,

ANCIEN PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE CÔÏMBRE, PROFESSEUR A L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE DE PORTO.

THÉORÈME I. — La série

(i) ao+ a^a) -r~ a^2^.. .4- cin x11 -4--...,

où a^ a^ a^y ... représentent des fractions réduites à leur plus simple expression, ne peut pas être le développement d'une/onction définie par une équation algébrique relativement à x, j, y\ ..., y^ à coefficients entiers

( a ) F ( ^ y , / , . . . , j ^ ) ) = o ,

si les dénominateurs de a^ ^ a^..^, ... contiennent indéfiniment des fac- teurs premiers supérieurs respectivement à n + i, 7 1 + 2 , » . . .

En effet, on peut écrire l'équation (2) sous la forme

(3) V A ^ y ^ y ' }0. ..(y^^o,

et alors, si on la dérive n fois au moyen de la formule de Leibnitz, on

(3)

lû8 F. GOMES TEIXEIRA.

trouve le résultat symbolique

V A^^y^fy. . . ( j œ ) A ] W = o , ,

qui, en posant o?== o, donne

^A/^(n-I)...(^~a+I)[yA(y)c >..,(y^)/ t]^)=o•

En appliquant une autre fois la f o r m u l e de L e i b n i t z au p r o d u i t

^(y^...(j(0)^

on trouve le résultat symbolique

^A/^(/^—l)...(n—a+I)(7o^-7o+...+7oH-yo+•••+Jo')+7o^)^^

où entrent b termes égaux à y , c termes égaux à y, etc.

Donc

V , / , / , H (n — a) \ y^y00... r^r^.-^ Y'^Y^ ( y^V^.

^An(n^Çn-a^)^———^-Z^^^ •—^ o

où la somme S se rapporte à toutes les solutions entières et positives de l'équation

a-+- a^-4-.. .-+-(3-4-^3/-^.. .. -p }, -^. \'^. _ . r= n -- a,

et où le nombre des quantités a, y/, ... est 6, où le nombre des quan- tités P, P\ ... est c, etc.

En séparant m a i n t e n a n t les termes de cette équation qui contiennent y^\ on trouve un résultat de la forme suivante

(4)

f Vl yW yW y(P-H) y^+i) ^?^) ,/Â-W)

[ Y AS&) ^0 ^JL- ... ..-..*r^__ ..^.r«__... .^2jL_ -'rj>__ . 1 Zj a! a7! (jB-h i) 1 (P^ i ) î (T-4- 0 ! (^"+" 0 1

S

^{^(rt-H')}

- A ( H + i)... {n + i)h^y'i'.. .(j'^ )A-I ^y^ = o,

(4)

SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FCWCTIOlNS, ETC. â0q OÙ

o ) = ( ( 3 + I ) ( [ 3^/4 - I ) . . . ( À 4 - I ) ( ^ - + - I ) . . . ( X + 2 ) ( À^/- ! - 2 ) . . . ( Â + 0 ( 7 / - ^ Q . . . . De celte formule on tire le théorème énoncé. En effet, elle fait voir

V./t+i]

que _ Z j — ^ ^^ ^Q peut contenir en dénominateur que les fadeurs premiers qui entrent dans les dénominateurs des fractions antérieures

ydl+l-l} yUl+t-î)

__j_^_ ^ - J L - ^ — . . . j ceux qui entrent dans le numérateur de

^ A A r W . .W-= [^rf]^^]^

et ceux qui entrent en (n 4- i) ... (n + i).

Le théorème énoncé est donc d é m o n t r é si le coefficient (—TT)}

v^v^o

n'est pas n u l . Si l'on a

/ dF \

[d^)^=09

on doit séparer, dans FéquaLion (4)? les termes qui contiennent y;^"0, et l'on trouve un résultat de la forme suivante

^ ^W (a') y(p+l) , y^'+l)

\ A ^ r •>^V-^Q— "JL~^{u 0} -—'Jl___

.Zà ''ce! 'a'î " " ( p + J ) î ( ^ 4 - 1 ) ! ""

4- (^ -4- i) (^ -+- 2 ) . . \n 4- ?•— i)^1'

><^Ak(k-.)yïy^..^1-^^^

d'où l'on tire le théorème, comme dans le cas précédent.

Si

S/

^/

^ -

^I

)^^- • • y^

⁼

(^)„,

^{= 0}

'

on doit séparer, dans l'équation (4)? les termes qui contiennent j^ 2), et l'on démontre le théorème si la dérivée (-—-j) _ n'est pas

nulle.

(5)

1 10 F. GOMES TEIXEÏRA. — SUR LE DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS, ETC.

En continuant de la même manière, on arrive à une équation d'où l'on peut tirer le théorème énoncé, parce que, l'équation (2) ne pouvant donner un nombre infini de valeurs pour y^\ les déri-

. / dF \ I ^F \ , . . i / . . vees :j-77T 7 T—Trî î • • • n e peuvent pas eire mcienniment

W'v^o \<y^{(^)}7^=o^{l 1} nulles.