UPJV, Département EEA M1 EEAII
Parcours ViRob
Fabio MORBIDI
Laboratoire MIS
Équipe Perception et Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr
Année Universitaire 2015/2016
Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8
Plan du cours
Chapitre 1 : Introduction
1.1 Définitions
1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots
1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots
Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement
• Rotation et représentations de la rotation
• Attitude et matrices homogènes
Plan du cours
Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot
2.2 Cinématique
• Vitesse d’un solide
• Vecteur vitesse de rotation
• Mouvement rigide
• Torseur cinématique
3.1 Modèle géométrique
• Convention de Denavit-Hartenberg
• Modèle géométrique direct
• Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique
• Modèle cinématique direct
• Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique
• Formulation de Lagrange
• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour:
• La simulation du mouvement
• Analyser la structure d’un robot
• Le projet des algorithmes de contrôle
Modèle dynamique d’un robot
• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:
1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange
• Conceptuellement simple et systématique
2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)
• Elle produit un modèle de façon récursive
• Plus avantageuse du point de vue computationnel que la formulation de Lagrange
• Comme pour le modèle géométrique et cinématique, on peut définir:
o Un problème dynamique direct o Un problème dynamique inverse
Modèle dynamique : il fournit une description de la relation entre les couples des actionneurs sur les articulations d’un manipulateur et le mouvement de la structure
• Lorsque les variables:
• Avec la formulation de Lagrange les équations du mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du
référentiel que on a choisi
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
ont été fixées (elles décrivent la position des segments d’un manipulateur à n DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées de la manière suivante:
qi, i ∈ {1, . . . , n} : “coordonnées généralisées”
Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale
L
L = T − U
• Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:
• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les n équations de Lagrange comme:
où
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
• Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:
• Les couples des actionneurs sur les articulations
• Les forces de frottement sur les articulations
• Les couples sur les articulations générées par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement
d dt
∂ L
∂ q˙i − ∂ L
∂ qi = ξi, i ∈ {1, . . . , n}
ξi est la force généralisée associée à la coordonnée généralisée qi
où, pour un manipulateur (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires
q
d dt
∂ L
∂ q˙
T
−
∂ L
∂ q
T
= ξ
• Les équations de Lagrange:
• Ces équations nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système
nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur, et les positions, vitesses et accelerations des variables articulaires, c’est-à-dire
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
d dt
∂ L
∂ q˙i − ∂ L
∂ qi = ξi, i ∈ {1, . . . , n}
Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)
qi, q˙i, q¨i, i ∈ {1, . . . , n}
ξi
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
θ θ
mmoteur
: longueur de la tige [m]
: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation [kgm2] et son coefficient de frottement visqueux [Nms]
: moment d'inertie de la tige [kgm2] et son coefficient de frottement visqueux [Nms]
r
r
m: rayon des engrenages côté tige et côté moteur [m]
: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas) : couple engendrée par le moteur [Nm]
: masse de la tige [kg] et accélération de la pesanteur ( = 9.81 m/s2)
Im, Fm
I, F r, rm
θ, θm m, g
cm
kr = r/rm : rapport de transmission des engrenages
θ = 0 Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]
F
g
F
mmg
Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
θ
mmoteur
Si on choisit comme coordonnée
généralisée, l’énergie cinétique du système est ( ):
r
r
mθ
T = 1
2 I θ˙2 + 1
2Im kr2 θ˙2
En outre, l’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:
U = m g (1 − cosθ)
F
θ˙m = krθ˙
mg θ, τ
F
mModèle dynamique: formulation de Lagrange
Le lagrangien du système est donc:
Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange suivante (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):
L = T − U = 1
2 I θ˙2 + 1
2Im k2r θ˙2 − m g (1 − cosθ)
d dt
∂ L
∂ θ˙ − ∂ L
∂ θ = ξ
on trouve:
θ
(I + Im kr2) ¨θ + m g sinθ = ξ
La force généralisée est donnée par plusieurs contributions: la couple
d’actionnement au côté tige et les couples de frottement visqueux , (la deuxième couple a été reportée au côté tige). En conclusion:
ξ −F θ˙ −Fmkr2θ˙
ξ = τ − F θ˙ − Fm kr2 θ˙
Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]
τ
Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]
Modèle dynamique: formulation de Lagrange
Conclusion:
Nous avons ainsi trouvé le modèle dynamique complet du système, sous la forme d’une équation différentielle ordinaire du second ordre:
Prochaine étape:
Calculer l’énergie cinétique et l’énergie potentielle d’un manipulateur générique à n segments rigides, pour trouver son modèle dynamique (“les équations du mouvement’’) avec la formulation de Lagrange
(I + Im kr2) ¨θ + (F + Fm kr2) ˙θ + m g sinθ = τ
Segment i
