Modèle dynamique d’un robot

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2016/2017

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et représentations de l’orientation

•  Matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour:

•  La simulation du mouvement

•  Analyser la structure d’un robot (conception mécanique)

•  La conception des algorithmes de commande

Modèle dynamique d’un robot

• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1.  La méthode basée sur la formulation de Lagrange

•  Conceptuellement simple et systématique

2.  La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

•  Elle produit un modèle de façon récursive

•  Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la

structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour:

•  La simulation du mouvement

•  Analyser la structure d’un robot (conception mécanique)

•  La conception des algorithmes de commande

Modèle dynamique d’un robot

• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1.  La méthode basée sur la formulation de Lagrange

•  Conceptuellement simple et systématique

2.  La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

•  Elle produit un modèle de façon récursive

•  Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la

structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

• Comme pour la modélisation géométrique et cinématique, on peut définir un:

o  Problème dynamique direct o  Problème dynamique inverse

Le modèle dynamique d’un manipulateur fournit une description de la relation entre les couples exercés par les actionneurs sur les articulations du robot et le mouvement de la structure

•  Lorsque les variables:

•  Avec la formulation de Lagrange les équations du mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du référentiel que on a choisi

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

ont été fixées (elles décrivent la position des segments d’un manipulateur à DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées de la manière suivante:

q_i, i ∈ {1, . . . , n} : “coordonnées généralisées”

Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale

L

L = T − U n

Couples (ou moments) = forces généralisées sur les articulations du robot

•  Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:

• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:

où

•  Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:

•  Les couples des actionneurs sur les articulations

•  Les couples de frottement sur les articulations

•  Les couples sur les articulations générés par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement

d dt

∂ L

∂ q˙_i − ∂ L

∂ q_i = ξ_i, i ∈ {1, . . . , n}

ξ_i est la force généralisée associée à la coordonnée généralisée q_i

où, pour un manipulateur (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires

d dt

∂ L

∂ q˙

_T

−

∂ L

∂ q

_T

= ξ

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

n

q ∈ Rⁿ

•  Les équations de Lagrange:

•  Ces équations différentielles ordinaires du second ordre nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système

nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur, et les positions, vitesses et accelerations des variables articulaires, c’est-à-dire

d dt

∂ L

∂ q˙_i − ∂ L

∂ q_i = ξ_i, i ∈ {1, . . . , n}

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

q_i, q˙_i, q¨_i, i ∈ {1, . . . , n}

ξ_i

Mécanique Analytique, vol. I et II, 1811-15

•  La paire (q, q)˙

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

n

est appelée état du système

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

•  L’action d’un système est le fonctionnel:

L'action a la dimension d'une énergie multipliée par un temps ([Js] en SI):

elle est une grandeur physique qui ne se mesure pas

où les points extrêmes de la trajectoire sont donnés et définis par:

S(q(t)) =

_t2

t1

L(q(t), q(˙ t), t)dt q1 = q(t₁), q2 = q(t₂).

Principe de moindre action (ou principe de Hamilton): le trajet effectivement suivi par un système entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire (un minimum,

un maximum, un point-selle) de l’action. Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment petite, cet extremum

de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe

q2, t₂ q^∗(t)

q(t)

Le principe de moindre action permet de déterminer en chaque point de la

trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur du système. L’action fait donc partie d’une approche alternative pour déterminer les equations du mouvement d’un système

q1, t₁

Problème inverse

Problème inverse de la mécanique lagrangienne

Ce problème consiste à déterminer si un système d’équations différentielles ordinaires donné peut être obtenu par les équations de Lagrange d’un certain lagrangien

•  Les conditions nécessaires et suffisantes pour l'existence d'un tel lagrangien sont appelées conditions de Helmholtz (Théorème de Douglas, 1941)

•  Ces conditions ont été découvertes par le physicien Helmholtz à la fin du XIX^e siècle et elles sont formalisées sous la forme d’un système d’équations différentielles-algébriques

Hermann von Helmholtz (1821-1894)

L

θ_m

moteur

: longueur de la tige [m]

: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation [kgm²] et son coefficient de frottement visqueux [Nms]

: moment d'inertie de la tige [kgm²] et son coefficient de frottement visqueux [Nms]

r

r_m

: rayon des engrenages côté tige et côté moteur [m]

: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas) : couple engendré par le moteur [Nm]

: masse de la tige [kg] et accélération de la pesanteur ( = 9.81 m/s² )

I_m, F_m

I, F r, r_m

θ, θ_m m, g

c_m

k_r = r/r_m : rapport de transmission des engrenages

θ = 0 Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

F

g

F_m mg

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

θ, τ

θ_m

moteur

Si on choisit comme coordonnée généralisée, l’énergie cinétique du système est ( ):

r

r_m

θ

T = 1

2 I θ˙² + 1

2I_m k_r² θ˙²

En outre, l’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:

U = m g (1 − cosθ)

F

θ˙_m = k_rθ˙

mg θ, τ

F_m

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

Le lagrangien du système est donc:

Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange suivante (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):

L = T − U = 1

2 I θ˙² + 1

2I_m k²_r θ˙² − m g (1 − cosθ)

d dt

∂L

∂ θ˙ − ∂L

∂ θ = ξ

on trouve:

θ

(I + I_m k_r²) ¨θ + m g sinθ = ξ

La force généralisée est donnée par plusieurs contributions: le couple d’actionnement au côté tige et les couples de frottement visqueux , (noter que le 2^e couple a été reporté au côté tige).

ξ −F θ˙ −F_mk_r²θ˙

ξ = τ − F θ˙ − F_m k_r² θ˙ τ

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

Donc, au final:

Conclusion:

Nous avons ainsi trouvé le modèle dynamique complet du pendule inversé, sous forme d’une équation différentielle ordinaire du second ordre:

Prochaine séance:

Calcul de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’un manipulateur générique à

segments rigides, pour déterminer son modèle dynamique grâce à la formulation de Lagrange

(I + I_m k_r²) ¨θ + (F + F_m k_r²) ˙θ + m g sinθ = τ

Segment i ^{du robot}

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

n