Modèle dynamique d’un robot

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UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Année Universitaire 2017/2018

Mardi 9h30-12h00, Mercredi 13h30-16h00, Salle 8

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Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

• Matrices de rotation et autres représentations de l’orientation

• Matrices homogènes

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Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

• Vitesse d’un solide

• Vecteur vitesse de rotation

• Mouvement rigide

• Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

• Convention de Denavit-Hartenberg

• Modèle géométrique direct

• Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

• Modèle cinématique direct

• Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

• Formulation de Lagrange

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• Le modèle dynamique d’un manipulateur est important pour:

• La simulation de mouvement

• L’analyse de la structure d’un robot (conception mécanique)

• La synthèse d’algorithmes de commande

Modèle dynamique d’un robot

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• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange

• Conceptuellement simple et systématique

2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

• Elle produit un modèle de façon récursive

• Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la

structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

Modèle dynamique d’un robot

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• Il y a deux méthodes pour déterminer les équations du mouvement d’un manipulateur dans l’espace articulaire:

1. La méthode basée sur la formulation de Lagrange

• Conceptuellement simple et systématique

2. La méthode basée sur la formulation de Newton-Euler (on trouve la résultante des forces qui s'exercent sur un segment générique du manipulateur)

• Elle produit un modèle de façon récursive

• Plus avantageuse d'un point de vue computationnel que la formulation de Lagrange car elle profite de la

structure ouverte de la chaîne cinématique du robot

• Comme pour la modélisation géométrique et cinématique, on peut définir un:

o Problème dynamique direct o Problème dynamique inverse

Modèle dynamique d’un robot

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Le modèle dynamique d’un manipulateur fournit une description de la relation entre les couples* exercés par les actionneurs sur

les articulations du robot et le mouvement de la structure

• Lorsque les variables

• Avec la formulation de Lagrange, les équations du mouvement peuvent être déterminées d’une façon systématique et indépendamment du référentiel que on a choisi

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

ont été fixées (elles décrivent la position des segments d’un manipulateur à DDL), le lagrangien du système peut être défini en fonction des coordonnées généralisées de la manière suivante:

q_i, i ∈ {1, . . . , n} : “coordonnées généralisées”

Énergie potentielle totale Énergie cinétique totale

L

L = T − U n

*Couples (ou moments) = forces généralisées

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• Les équations de Lagrange (ou d’Euler-Lagrange) sont exprimées par:

• Sous une forme compacte, nous pouvons réécrire les équations de Lagrange comme:

• Les contributions aux forces généralisées sont données par les forces non-conservatives dans le système:

• Les couples des actionneurs sur les articulations

• Les couples de frottement sur les articulations

• Les couples sur les articulations générés par les forces de contact de l’effecteur avec l’environnement

d dt

∂ L

∂ q˙_i − ∂ L

∂ q_i = ξ_i, i ∈ {1, . . . , n}

ξ_i q_i

où est la force généralisée associée à la coordonnée généralisée

où, pour un manipulateur sériel (à chaîne ouverte), les coordonnées généralisées sont réunies dans le vecteur des variables articulaires

d dt

∂ L

∂ q˙

_T

−

∂ L

∂ q

_T

= ξ

n

q ∈ Rⁿ

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

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• Les équations de Lagrange:

• Ces équations différentielles ordinaires du second ordre nous permettent de déterminer le modèle dynamique d’un robot à partir de l’énergie cinétique et potentielle du système

nous fournissent une relation entre les forces généralisées appliquées au manipulateur et les positions, vitesses et accelerations des variables

articulaires, c’est-à-dire

Joseph-Louis Lagrange (1736-1813)

q_i, q˙_i, q¨_i, i ∈ {1, . . . , n}

ξ_i

Mécanique Analytique, vol. I et II, 1811-15

• La paire (q, q)˙ n

est appelée état du système

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

Remarque:

Nous avons supposé que le système soit

complètement actionné, à savoir où est le nombe de DDL du robot et le nombre d’actionneurs linéairement indépendants du robot (en fait, )

n = m n m

q, ξ ∈ Rⁿ

d dt

∂ L

∂ q˙_i − ∂ L

∂ q_i = ξ_i, i ∈ {1, . . . , n}

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• L’action d’un système est le fonctionnel:

L'action a la dimension d'une énergie multipliée par un temps ([Js] en SI):

elle est une grandeur physique qui ne se mesure pas

où les points extrêmes de la trajectoire sont donnés et définis par:

S(q(t)) =

_t₂

t1

L(q(t), q(˙ t), t)dt q1 = q(t₁), q2 = q(t₂).

Principe de moindre action (ou principe de Hamilton): le trajet effectivement suivi par un système entre deux points donnés est celui qui conduit à une valeur stationnaire (un minimum, un maximum, un point-selle) de l’action.

Lorsque la trajectoire reliant les deux points est suffisamment

petite, cet extremum de l'action est un minimum, d'où le nom donné au principe

q₂, t₂ q^∗(t)

q(t)

• Le principe de moindre action permet de déterminer en chaque point de la trajectoire l'équation du mouvement gouvernant le futur du système

• L’action fait donc partie d’une approche alternative pour déterminer les equations du mouvement d’un système

q1, t₁

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

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θ_m

moteur

: longueur de la tige [m]

: moment d'inertie du servomoteur autour de l’axe de rotation [kgm²] et son coefficient de frottement visqueux [kgm²/s]

: moment d'inertie de la tige [kgm²] et son coefficient de frottement visqueux [kgm²/s]

r

r_m

: rayon des engrenages côté tige et côté moteur [m]

: position angulaire de l’axe du moteur et de l’axe de la tige (si , la tige pointe vers le bas) : couple engendré par le moteur [Nm]

: masse de la tige [kg] et accélération de la pesanteur ( = 9.81 m/s²)

I_m, F_m

I, F r, r_m

θ, θ_m m, g

c_m

k_r = r/r_m : rapport de transmission des engrenages

θ = 0 Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

F

g

F_m

θ, τ

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

mg

c

_m

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θ_m

moteur

Si on choisit comme coordonnée généralisée, l’énergie cinétique du système est ( ):

r

r_m

θ

L’énergie potentielle du système (définie à une constante près) est:

U = m g (1 − cosθ)

F

θ˙_m = k_rθ˙

θ, τ

Exemple [Pendule inversé rigide actionné par un moteur électrique]

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

F_m

T = 1

2 I θ˙² + 1

2 I_m θ˙_m² = 1

2 I θ˙² + 1

2 I_m k_r² θ˙²

c

_m

mg

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Le lagrangien du système est donc:

Si on utilise cette expression dans l’equation de Lagrange (nous avons une seule coordonnée généralisée, l’angle ):

d dt

∂L

∂ θ˙ − ∂L

∂ θ = ξ

on trouve:

θ

(I + I_m k_r²) ¨θ + m g sinθ = ξ

La force généralisée est donnée par plusieurs contributions: le couple d’actionnement au côté tige et les couples de frottement visqueux , (noter que le 2^e couple a été reporté au côté tige)

ξ −F θ˙

τ

Donc, au final:

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

L = T − U = 1

2 θ˙²(I + k²_r I_m) − m g(1 − cosθ)

−F_mk_r θ˙

ξ = τ − F θ˙ − F_m k_r θ˙

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Conclusion:

Nous avons ainsi trouvé le modèle dynamique complet du pendule inversé, sous forme d’une équation différentielle ordinaire non-linéaire du second ordre:

Prochaine séance:

Calcul de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle d’un manipulateur générique à

segments rigides et détermination du modèle dynamique grâce à la formulation de Lagrange

Segment i ^{du robot} n

Modèle dynamique: formulation de Lagrange

(I + I_m k_r²) ¨θ + (F + F_m k_r) ˙θ + m g sinθ = τ