Modèle dynamique d’un robot

UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception Robotique E-mail: fabio.morbidi@u-picardie.fr

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques

2.1 Positionnement

•  Matrices de rotation et représentations de l’orientation

•  Matrices homogènes

Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

•  Vitesse d’un solide

•  Vecteur vitesse de rotation

•  Mouvement rigide

•  Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

•  Convention de Denavit-Hartenberg

•  Modèle géométrique direct

•  Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

•  Modèle cinématique direct

•  Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

•  Formulation de Lagrange

Objectif: déterminer le modèle dynamique d’un manipulateur à segments rigides en utilisant la formulation de Lagrange

Modèle dynamique d’un robot: formulation de Lagrange

θ₁

θ₂

θ₄ d₃

Pour déterminer le lagrangien , il faut calculer l’énergie cinétique totale et l’énergie potentielle totale du manipulateur: L

L = T − U

q = [θ₁, θ₂, d₃, θ₄, . . .]^T ∈ Rⁿ

n

effecteur

L’énergie cinétique totale est donnée par la somme des contributions relatives au mouvement de chaque segment et au mouvement de l’actionneur de

chaque articulation (le segment 0 est fixé et ne donne aucune contribution):

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

Énergie cinétique du segment i

T =

n

i=1

(Ti + Tmi)

Énergie cinétique du moteur qui actionne l’articulation i

Segment i

Articulation i

Segment i ^{- 1} Articulation i

Moteur de l’articulation i

m_i

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

: jacobiens

T_i = 1

2 m_iq˙^T(J⁽_Pⁱ⁾)^TJ⁽_Pⁱ⁾q˙ + 1

2 q˙^T(J⁽_Oⁱ⁾)^T R_i Iⁱ_iR^T_i J⁽_Oⁱ⁾q˙

où

m_i : masse du segment i

: vecteur des vitesses des variables articulaires

R_i : matrice de rotation entre le repère du segment i et le repère 0 de la base : tenseur d’inertie relatif au centre de masse du segment i exprimé dans le repère du segment (matrice symétrique)

J⁽_Pⁱ⁾ =

j⁽_Pⁱ₁⁾ · · · j⁽_{P i}ⁱ⁾ 0 · · · 0 J⁽_Oⁱ⁾ =

j⁽_O1ⁱ⁾ · · · j⁽_Oiⁱ⁾ 0 · · · 0

⎡

⎣ j⁽_{P j}ⁱ⁾ j⁽_Ojⁱ⁾

⎤

⎦ =

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

z_j−1 0

si l’articulation est prismatique z_j−1 ×(p_i − p_j−1)

z_j−1

si l’articulation est roto¨ıde avec

si l’articulation est prismatique si l’articulation est rotoïde

On peut montrer que:

q˙ ∈ Rⁿ

∈ R^3×n

∈ R^3×n

Iⁱ_i ∈ R^3×3

0

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

: vecteur de position de l’origine du repère par rapport au repère de la base

et où

p_j−1

p_i : position du centre de masse du segment i par rapport au repère de la base

z_j−1 : vecteur unitaire de l’axe z du repère

Segment i j −1

j −1

x₀

y₀

z₀ x_i

y_i z_i ω_i

p˙_i

p_i

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

Pour la contribution du moteur qui actionne l’articulation i (un moteur électrique rotatif standard), on trouve une expression similaire pour l’énergie cinétique

On suppose que le moteur de l’articulation i est positionné sur le segment i - 1

segm. i - 1

articulation i

p_mi

x₀

y₀ z₀

p˙_mi

z_mi

•  En pratique, on positionne les moteurs aussi près que possible de la base du robot pour alléger la charge dynamique des

premières articulations

•  Les couples des actionneurs sur les articulations sont fournis par les moteurs grâce à une transmission mécanique (réducteur)

ωmi

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique Tmi = 1

2 m_mi q˙^T(J^(m_P ⁱ⁾)^TJ^(m_P ⁱ⁾q˙ + 1

2 q˙^T(J^(m_O ⁱ⁾)^T R_mi I^m_mⁱ_i R^T_miJ^(m_O ⁱ⁾q˙

où

: masse du rotor du moteur i

: vecteurs des vitesses des variables articulaires

où

m_mi

: matrice de rotation entre le repère du moteur i et le repère 0 de la base : tenseur d’inertie du rotor du moteur i par rapport à son centre de masse (matrice symétrique)

R_mi

J^(m_P ⁱ⁾ =

j^(m_P1ⁱ⁾ · · · j^(m_P,i−1ⁱ⁾ 0 · · · 0

j^(m_{P j}ⁱ⁾ =

z_j−1 si l’articulation est prismatique z_j−1 ×(p_mi − p_j−1) si l’articulation est roto¨ıde

: jacobien

p est la position du centre de masse du rotor du moteur (par rapport au _mi repère de la base). et sont définis comme pour les segments

si l’articulation est prismatique si l’articulation est rotoïde

p_j−1 q˙ ∈ Rⁿ

z_j−1

∈ R^3×n

I^m_mⁱ_i ∈ R^3×3

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

en outre:

: rapport de transmission des engrenages du réducteur du moteur i (on suppose une transmission rigide)

: jacobien

J^(m_O ⁱ⁾ =

j^(m_O1ⁱ⁾ · · · j^(m_O,i−1ⁱ⁾ j^(m_O,iⁱ⁾ 0 · · · 0

où

j^(m_Ojⁱ⁾ =

⎧⎨

⎩

j⁽_Ojⁱ⁾ si j ∈ {1, . . . , i− 1} k_ri z_mi si j = i

k_ri

z_mi: vecteur unitaire le long de l’axe du rotor du moteur i

∈ R^3×n

Noter que: ωmi = ωi−1 +k_riq˙_i z_mi ωm_i

ωi−1

où est la vitesse angulaire totale du rotor du moteur et la vitesse angulaire du segment i – 1 (où le moteur se trouve)

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

En conclusion, l’énergie cinétique totale du robot est donnée par la forme quadratique suivante:

où

est la matrice d’inertie du manipulateur

T = 1

2 q˙^T B(q) ˙q B(q) =

n

i=1

m_i(J⁽_Pⁱ⁾)^TJ⁽_Pⁱ⁾ + (J⁽_Oⁱ⁾)^T R_i Iⁱ_i R^T_i J⁽_Oⁱ⁾

+m_mi(J^(m_P ⁱ⁾)^TJ^(m_P ⁱ⁾ + (J^(m_O ⁱ⁾)^T R_mi I^m_mⁱ_i R^T_miJ^(m_O ⁱ⁾

Propriétés de la matrice d’inertie:

B(q)

•  est une matrice symétrique (à savoir, )

•  est une matrice définie positive (à savoir, )

B(q)

•  depend, en général, de la configuration du robot

z^T B(q)z > 0, ∀z = 0

B(q)

B(q) = B^T(q)

n × n

q ∈ Rⁿ

Modèle dynamique d’un robot: énergie potentielle

On peut montrer que:

où est le vecteur de l’accélération de la pesanteur par rapport au repère de la base (par ex. si z est l’axe vertical)

L’énergie potentielle totale stockée dans le robot est donnée par la somme des contributions relatives aux segments et aux actionneurs de chaque articulation:

U =

n

i=1

(U_i + U_mi)

U = −

n

i=1

(m_i g^T₀ p_i + m_mi g^T₀ p_mi)

g₀

g₀ = [0, 0, −g]^T

Segment i Moteur i

Modèle dynamique d’un robot: énergie potentielle

On peut montrer que:

où est le vecteur de l’accélération de la pesanteur par rapport au repère de la base (par ex. si z est l’axe vertical)

Remarque:

L’énergie potentielle est une fonction des variables articulaires (à travers ) mais elle n’est pas une fonction des vitesses articulaires

L’énergie potentielle totale stockée dans le robot est donnée par la somme des contributions relatives aux segments et aux actionneurs de chaque articulation:

U =

n

i=1

(U_i + U_mi)

U = −

n

i=1

(m_i g^T₀ p_i + m_mi g^T₀ p_mi)

g₀

g₀ = [0, 0, −g]^T

p_i, p_mi q˙ q

Segment i Moteur i

U

•  On peut maintenant écrire le lagrangien du robot:

• Si on calcule les dérivées requises par l’équation (vectorielle) de Lagrange:

on trouve les équations du mouvement:

d dt

∂ L

∂ q˙

_T

−

∂ L

∂ q

_T

= ξ

Modèle dynamique d’un robot: le lagrangien

B(q) ¨q + n(q, q) =˙ ξ

où le vecteur

n(q, q) = ˙˙ B(q) ˙q − 1 2

∂

∂ q( ˙q^T B(q) ˙q)

_T

+

∂ U(q)

∂ q

_T

L(q, q) =˙ T (q, q)˙ − U(q)

•  Pour compléter le modèle, il reste à trouver le vecteur des forces généralisées ξ g(q)

• On a plusieurs forces non-conservatives à l'œuvre sur les articulations du robot:

Couples des actionneurs (“commande

du robot”)

•  On peut utiliser les couples du frottement de Coulomb comme modèle simplifié des couples de frottement statique, à savoir:

ξ = τ − F_v q˙ − f_s(q, q)˙

Couples de frottement visqueux

: matrice diagonale des coefficients de frottement visqueux

Couples de frottement statique

f_s(q, q)˙ F_s sgn( ˙q)

où

: matrice diagonale

: signe des composantes du vecteur

sgn( ˙q) = [sgn( ˙q₁), . . . ,sgn( ˙q_n)]^T τ ∈ Rⁿ

−J^T(q)h_e

Couples générés sur les articulations du robot par le contact de l’effecteur avec l’environnement

n

F_v ∈ R^n×n

F_s ∈ R^n×n

Modèle dynamique d’un robot

En conclusion, on peut réécrire les équations du mouvement comme:

Modèle dynamique d’un robot

: moment (ou couple) généré sur l’axe de l’articulation i par la présence de la pesanteur, dans la configuration courante du robot

B(q)¨q + C(q, q) ˙˙ q + F_v q˙ + F_ssgn( ˙q) + g(q) = τ − J^T(q)h_e

: matrice relative aux forces centrifuges et de Coriolis (non-unique)

: vecteur des forces et couples (torseur statique) exercés par l’effecteur sur l’environnement

Ça représente le modéle dynamique du robot dans l’espace articulaire.

: jacobien géométrique du robot

C(q, q)˙ ∈ R^n×n

J(q) ∈ R^6×n h_e ∈ R⁶

g_i(q) = ∂ U(q)

∂ q_i = −

n

j=1

m_j g^T₀ j⁽_Pi^j)(q) + m_mj g^T₀ j^(m_Pi ^j)(q)

, i ∈ {1, . . . , n}

Exemple: robot cartésien à 2 segments

q = [d₁, d₂]^T m₁, m₂ m_m1, m_m2 I_m1, I_m2

p_mi = p_i−1, z_mi = z_i−1, i ∈ {1,2}

: vecteur des coordonnées généralisées : masses des deux segments

: masses des rotors des deux moteurs : moments d’inertie par rapport aux axes des deux rotors

Hypothèse simplificatrice:

c’est-à-dire, les moteurs sont positionnés sur les axes des articulations avec les centres de masse situés aux origines des repères correspondantes

Noter que: z₀ = [0, 0, 1]^T, z₁ = [1, 0, 0]^T

m₂

m₁

Exemple: robot cartésien à 2 segments

•  On trouve que les jacobiens (segments):

Évidemment, nous n’avons pas de contributions des vitesses angulaires pour les deux segments

J⁽_P¹⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 1 0

⎤

⎦, J⁽_P²⁾ =

⎡

⎣0 1 0 0 1 0

⎤

⎦

•  En outre (moteurs):

J^(m_P ¹⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 0 0

⎤

⎦, J^(m_P ²⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 1 0

⎤

⎦

J^(m_O ¹⁾ =

⎡

⎣ 0 0 0 0 k_r1 0

⎤

⎦, J^(m_O ²⁾ =

⎡

⎣0 k_r2 0 0 0 0

⎤

⎦

où k_ri est le rapport de transmission du réducteur du moteur i

m₂

m₁

Exemple: robot cartésien à 2 segments

•  La matrice d’inertie est:

Elle est une matrice diagonale constante (elle ne

dépend pas de la configuration du robot ).

Cela implique aussi que:

•  Pour le vecteur des moments, car :

B =

m₁ + m_m2 + k_r1² I_m1 + m₂ 0

0 m₂ +k_r2² I_m2

C = 0_2×2

c’est-à-dire, nous n’avons pas de contributions des forces centrifuges et de Coriolis

g₀ = [0, 0, −g]^T g =

(m₁ + m_m2 + m₂)g

0

q = [d₁, d₂]^T

g =

∂ U

∂ d₁, ∂ U

∂ d_{2 T}

=

m₂

m₁

En l’absence de frottements et de forces de contact sur l’effecteur, le modèle dynamique du robot est donc:

où

sont les forces appliquées par le deux moteurs sur les articulations du robot (les entrées de commande du robot)

•  Les dynamiques sont complètement découplées.

Cela est une consequence de la structure cartésienne et de la géométrie particulière de ce robot

•  En effet, si le deuxième segment n’était pas orthogonal au premier segment, la matrice d’inertie ne serait pas diagonale

(m₁ + m_m2 + k²_r1 I_m1 + m₂) ¨d₁ + (m₁ + m_m2 + m₂)g = τ₁ (m₂ + k_r2² I_m2) ¨d₂ = τ₂

τ₁, τ₂

Remarque: m₁

Exemple: robot cartésien à 2 segments

B

m₂

Problème dynamique direct et inverse

Problème dynamique direct

Déterminer pour , les accelerations articulaires (et ainsi , ) qui résultent des couples appliquées sur les articulations , et éventuellement des forces appliquées sur l’effecteur , lorsque , sont connus (à savoir, l’état initial du système au temps est donné)

Problème dynamique inverse

Déterminer les couples sur les articulations qui sont nécessaires pour

générer le mouvement specifié par les accelerations, vitesses et positions , , des articulations, lorsque les forces sur l’effecteur (si elles existent), sont connues

q(t) q(t)˙

q(t)¨ q(t˙ ₀) q(t₀)

h_e(t) τ(t)

τ(t)

q(t) ˙¨ q(t) q(t) h_e(t)

t > t₀

t₀

Problème dynamique direct et inverse

Problème dynamique direct

•  La résolution du problème dynamique direct est utile pour simuler le comportement d’un robot

- Nombre d’operations nécessaires pour calculer la dynamique directe d’un robot à articulations:

•  La résolution du problème dynamique inverse est utile pour la planification

de trajectoire d’un robot et pour la mise en œuvre des algorithmes de commande - Nombre d’operations nécessaires pour calculer la dynamique inverse d’un robot à articulations:

Déterminer pour , les accelerations articulaires (et ainsi , ) qui résultent des couples appliquées sur les articulations , et éventuellement des forces appliquées sur l’effecteur , lorsque , sont connus (à savoir, l’état initial du système au temps est donné)

Remarque:

Problème dynamique inverse

Déterminer les couples sur les articulations qui sont nécessaires pour

générer le mouvement specifié par les accelerations, vitesses et positions , , des articulations, lorsque les forces sur l’effecteur (si elles existent), sont connues

q(t) q(t)˙

q(t)¨ q(t˙ ₀) q(t₀)

h_e(t) τ(t)

τ(t)

q(t) ˙¨ q(t) q(t) h_e(t)

O(n) O(n²) t > t₀

n

n

t₀

Plan des travaux pratiques (en binôme)

TP1 14 mars 2017 (salle TP204,

8h30-12h30) – J. Caracotte Modèle géométrique (Matlab)

TP2 28 mars 2017 (salle TP204,

10h00-12h30) Modèle cinématique (Matlab)

TP3 4 avril 2017 (salle TP204,

8h30-12h30) Découverte du robot Stäubli TX60

DS2 28 mars (salle TP204,

8h30-10h00) Chapitres 3.1 (MGI), 3.2 et 3.3