Plan du cours

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UPJV, Département EEA M1 EEAII

Parcours ViRob

Fabio MORBIDI

Laboratoire MIS

Équipe Perception et Robotique E-mail: [email protected]

Année Universitaire 2015/2016

Mardi 9h00-12h00, Mercredi 13h30-16h30, Salle 8

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Plan du cours

Chapitre 1 : Introduction

1.1 Définitions

1.2 Constituants d’un robot 1.3 Classification des robots 1.4 Caractéristiques d’un robot 1.5 Générations de robots

1.6 Programmation des robots 1.7 Utilisation des robots

Chapitre 2 : Fondements Théoriques 2.1 Positionnement

• Rotation et représentations de la rotation

• Attitude et matrices homogènes

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Plan du cours

Chapitre 3 : Modélisation d’un Robot

2.2 Cinématique

• Vitesse d’un solide

• Vecteur vitesse de rotation

• Mouvement rigide

• Torseur cinématique

3.1 Modèle géométrique

• Convention de Denavit-Hartenberg

• Modèle géométrique direct

• Modèle géométrique inverse 3.2 Modèle cinématique

• Modèle cinématique direct

• Modèle cinématique inverse 3.3 Modèle dynamique

• Formulation de Lagrange

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Objectif: déterminer le modèle dynamique d’un manipulateur à n segments rigides en utilisant la formulation de Lagrange

Modèle dynamique d’un robot: formulation de Lagrange

θ₁

θ₂

θ₄ d₃

Pour déterminer le lagrangien , il faut calculer l’énergie cinétique totale et l’énergie potentielle totale du manipulateur: L

L = T − U

q = [θ₁, θ₂, d₃, θ₄, . . .]^T ∈ Rⁿ

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L’énergie cinétique totale est donnée par la somme des contributions relatives au mouvement de chaque segment et au mouvement de l’actionneur de

chaque articulation (le segment 0 est fixé et ne donne aucune contribution):

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique

Énergie cinétique du segment i

T =

n

i=1

( T

i

+ T

mi

)

Énergie cinétique du moteur qui actionne l’articulation i

Segment i

Articulation i

Segment i ^{- 1} Articulation i

Moteur de l’articulation i

_i

m

_i

(6)

: matrices jacobiennes

Ti

= 1

2

m_iq

˙

^T

(J

⁽_Pⁱ⁾

)

^TJ⁽_Pⁱ⁾q

˙ + 1

2

q

˙

^T

(J

⁽_Oⁱ⁾

)

^T R_i Iⁱ_iR^T_i J⁽_Oⁱ⁾q

˙

où

m_i : masse du segment i

: vecteur des vitesses des variables articulaires

R_i : matrice de rotation entre le repère du segment i et le repère de la base

Iⁱ_i : tenseur d’inertie relatif au centre de masse du segment i exprimé dans le repère du segment (matrice 3 3 symétrique)

J⁽_Pⁱ⁾ =

j⁽_Pⁱ₁⁾ · · · j⁽_{P i}ⁱ⁾ 0 · · · 0 J⁽_Oⁱ⁾ =

j⁽_O1ⁱ⁾ · · · j⁽_Oiⁱ⁾ 0 · · · 0

⎡

⎣ j⁽_{P j}ⁱ⁾ j⁽_Ojⁱ⁾

⎤

⎦ =

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

z_j₋₁ 0

si l’articulation est prismatique z_j₋₁ ×(p_i −p_j−1)

z_j−1

si l’articulation est roto¨ıde où

si l’articulation est prismatique si l’articulation est rotoïde

On peut montrer que:

q

˙

∈ Rⁿ

∈ R

^3×n

∈ R

^3×n

(7)

: vecteur de position de l’origine du repère par rapport au repère de la base

⎡

⎣ j⁽_{P j}ⁱ⁾ j⁽_Ojⁱ⁾

⎤

⎦ =

⎧⎪

⎪⎪

⎨

⎪⎪

⎪⎩

z_j−1 0

si l’articulation est prismatique z_j−1 ×(p_i −p_j−1)

z_j−1

si l’articulation est roto¨ıde où

p_j−1

p_i : position du centre de masse du segment i par rapport au repère de la base

z

_j−1 : vecteur unitaire de l’axe z du repère

Segment i

p_i

j −1

x₀

y₀ z₀

p˙

i

x_i y_i z_i

(8)

Pour la contribution du moteur qui actionne l’articulation i (un moteur électrique rotatif standard), on trouve une expression similaire pour l’énergie cinétique

On suppose que le moteur de l’articulation i est positionné sur le segment i - 1

segm. i ^{- 1}

articulation i

p_m_i

x₀

y₀ z₀

p˙_m_i

z_m_i

• En pratique, on met les moteurs aussi près que possible de la base du robot pour alléger la charge dynamique des premières articulations

• Les couples des actionneurs sur les articulations sont fournies par les moteurs à travers des transmissions mécaniques (engrenages)

ωmi

(9)

Modèle dynamique d’un robot: énergie cinétique Tmi = 1

2 m_m_i q˙^T(J^(m_P ⁱ⁾)^TJ^(m_P ⁱ⁾q˙ + 1

2 q˙^T(J^(m_O ⁱ⁾)^T R_m_i I^m_mⁱ_i R^T_m_iJ^(m_O ⁱ⁾q˙

où

: masse du rotor du moteur i

: vecteurs des vitesses des variables articulaires

où

m_m_i

: matrice de rotation (entre le repère du moteur i et le repère de la base) : tenseur d’inertie du rotor du moteur i par rapport à son centre de masse (matrice 3 3 symétrique)

R_m_i I^m_mⁱ_i

J^(m_P ⁱ⁾ =

j^(m_P₁ⁱ⁾ · · · j^(m_P,i−1ⁱ⁾ 0 · · · 0

j^(m_{P j}ⁱ⁾ =

z_j−1 si l’articulation est prismatique z_j−1 ×(p_m_i − p_j−1) si l’articulation est roto¨ıde

: matrice jacobienne

p est la position du centre de masse du rotor (par rapport au repère _m_i de la base). et sont définis comme dans le cas précédent

p_j−1 q

˙

∈ Rⁿ

z

_j−1

∈ R

^3×n

(10)

Enfin:

: rapport de transmission des engrenages du moteur i (on suppose une transmission rigide)

: matrice jacobienne

Tmi = 1

2 m_m_i q˙^T(J^(m_P ⁱ⁾)^TJ^(m_P ⁱ⁾q˙ + 1

2 q˙^T(J^(m_O ⁱ⁾)^T R_m_i I^m_mⁱ_i R^T_m_iJ^(m_O ⁱ⁾q˙

J^(m_O ⁱ⁾ =

j^(m_O1ⁱ⁾ · · · j^(m_O,i−1ⁱ⁾ j^(m_O,iⁱ⁾ 0 · · · 0

où

j^(m_Ojⁱ⁾ =

⎧⎨

⎩

j⁽_Ojⁱ⁾ si j ∈ {1, . . . , i− 1} k_ri z_m_i si j = i

k_ri

z_m_i: vecteur unitaire le long de l’axe du rotor du moteur i

∈ R

^3×n

En effet: ωmi = ωi−1 + k_r_iq˙_i z_m_i ωm_i

ωi−1

où est la vitesse angulaire totale du roteur et la vitesse angulaire du segment i - 1 (où le moteur se trouve)

(11)

En conclusion, l’énergie cinétique totale du robot est donnée par la forme quadratique suivante:

où

est la matrice d’inertie du manipulateur

T

= 1

2

q

˙

^T B(q) ˙q

B(q) =

n

i=1

m_i

(J

⁽_Pⁱ⁾

)

^TJ⁽_Pⁱ⁾

+ (J

⁽_Oⁱ⁾

)

^T R_i Iⁱ_i R^T_i J⁽_Oⁱ⁾

+

m_m_i

(J

^(m_P ⁱ⁾

)

^TJ^(m_P ⁱ⁾

+ (J

^(m_O ⁱ⁾

)

^T R_m_i I^m_mⁱ_i R^T_m_iJ^(m_O ⁱ⁾

Propriétés de la matrice d’inertie:

B(q)

• est une matrice n × n symétrique ( )

• est définie positive ( )

B(q)

• depend, en général, de la configuration du robot q

z^T B(q)z > 0, ∀z = 0

B(q)

B(q) = B^T(q)

(12)

Modèle dynamique d’un robot: énergie potentielle

On peut montrer que:

où est le vecteur de l’accélération de la pesanteur par rapport au repère de la base (par ex. si z est l’axe vertical)

Remarque:

L’énergie potentielle est une fonction des variables articulaires (à travers ) mais elle n’est pas une fonction des vitesses articulaires

L’énergie potentielle totale stockée dans le robot est donnée par la somme des contributions relatives aux segments et aux actionneurs de chaque articulation:

U

=

n

i=1

(

U_i

+

U_m_i

)

U

=

−

n

i=1

(

m_i g₀^Tp_i

+

m_m_i g^T₀ p_m_i

)

g₀

g₀ = [0, 0, −g]^T

p_i, p_m_i q˙ q

Segment i Moteur i

(13)

• On peut maintenant écrire le lagrangien du robot:

• Si on calcule les dérivées requises par l’équation (vectorielle) de Lagrange:

on trouve l’équations du mouvement:

d dt

∂ L

∂ q˙

_T

−

∂ L

∂ q

_T

= ξ

Modèle dynamique d’un robot: le lagrangien

B(q) ¨q

+

n(q, q) =

˙

ξ

où le vecteur

n(q, q) = ˙

˙

B(q) ˙q −

1 2

∂

∂ q

( ˙

q^T B(q) ˙q)

_T

+

∂ U

(q)

∂ q

_T

L (q, q) = ˙ T (q, q) ˙ − U (q)

• Il reste à trouver le vecteur des forces généralisées ξ

(14)

• Les forces non-conservatives à l'œuvre sur les articulations du robot sont:

Couples des

n actionneurs (“commande”)

Modèle dynamique d’un robot

• On peut utiliser les couples du frottement de Coulomb comme modèle simplifié des couples de frottement statique:

ξ

=

τ − F_v q

˙

− f_s

(q,

q)

˙

Couples de frottement visqueux

F_v : matrice diagonale n^×n des coefficients de frottement visqueux

Couples de frottement statique

f_s

(q,

q)

˙

F_s sgn( ˙q)

où

F_s : matrice diagonale n ^× n

: signe des composantes du vecteur des vitesses articulaires

sgn( ˙q) = [sgn( ˙q₁), . . . ,sgn( ˙q_n)]^T τ ∈ Rⁿ

−J^T(q)h_e

Couples générées sur les

articulations du robot par le contact de l’effecteur avec environnement

(15)

En conclusion, on peut réécrire les équations du mouvement comme:

Modèle dynamique d’un robot

où

: moment généré sur l’axe de l’articulation i par la

présence de la pesanteur, dans la configuration courante

La matrice est antisymétrique, c’est-à-dire:

B(q)¨q

+

C(q, q) ˙

˙

q

+

F_v q

˙ +

F_ssgn( ˙q) + g(q) = τ − J^T

(q)h

_e

C(q, q)˙ : matrice n × n des forces centrifuges et de Coriolis (non-unique)

h_e : vecteur des forces et moments exercés par l’effecteur sur l’environnement

Remarque:

N(q, q) = ˙˙ B(q) − 2C(q, q)˙

−N(q, q) =˙ N^T(q, q)˙

Il représente le modéle dynamique du robot dans l’espace articulaire

: jacobien géométrique du robot

J(q) g_i(q) = ∂ U

∂ q_i, i ∈ {1, . . . , n}

(16)

Exemple: robot cartésien à 2 segments

q = [d₁, d₂]^T m₁, m₂ m_m₁, m_m₂ I_m₁, I_m₂

p_m_i

=

p_i−1, z_m_i

=

z_i−1, i ∈ {

1, 2

}

: vecteur des coordonnées généralisées : masses des deux segments

: masses des rotors des moteurs sur les deux articulations

: moments d’inertie par rapport aux axes des deux rotors

Hypothèse simplificatrice:

c’est-à-dire, les moteurs sont positionnés sur les axes des articulations avec les centres de masse situés aux origines des repères correspondantes

Noter que: z₀ = [0, 0, 1]^T, z₁ = [1, 0, 0]^T

(17)

Exemple: robot cartésien à 2 segments

• On trouve que les matrices jacobiennes (segments):

Évidemment, nous n’avons pas de contributions des vitesses angulaires pour les deux segments

J⁽_P¹⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 1 0

⎤

⎦, J⁽_P²⁾ =

⎡

⎣0 1 0 0 1 0

⎤

⎦

• En outre (moteurs):

J^(m_P ¹⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 0 0

⎤

⎦, J^(m_P ²⁾ =

⎡

⎣0 0 0 0 1 0

⎤

⎦

J^(m_O ¹⁾ =

⎡

⎣ 0 0 0 0 k_r1 0

⎤

⎦, J^(m_O ²⁾ =

⎡

⎣0 k_r2 0 0 0 0

⎤

⎦

où k_ri est le rapport de transmission du moteur i

(18)

Exemple: robot cartésien à 2 segments

• La matrice d’inertie est:

Elle est une matrice diagonale constante (elle ne dépend pas de la configuration du robot )

• Cela implique aussi que:

• Pour le vecteur des moments, car :

B =

m₁ +m_m₂ + k_r1² I_m₁ +m₂ 0

0 m₂ + k_r2² I_m₂

C

=

0_2×2

c’est-à-dire, nous n’avons pas de contributions des forces centrifuges et de Coriolis

g₀ = [0, 0, −g]^T g =

(m₁ + m_m₂ + m₂)g

0

q = [d₁, d₂]^T

g =

∂ U

∂ d₁, ∂ U

∂ d₂ _T

=

(19)

Exemple: robot cartésien à 2 segments

En l’absence de frottements et de forces sur l’effecteur, le modèle dynamique est:

où

sont les forces appliquées sur les deux articulations du robot

(les variables de commande du robot)

• Les dynamiques sont complètement découplées.

Cela est une consequence de la structure cartésienne et de la géométrie particulière du manipulateur

• En effet, si le deuxième segment n’était pas perpendiculaire au premier segment, la matrice d’inertie B ne serait pas diagonale

(m₁ + m_m₂ + k_r1² I_m₁ + m₂) ¨d₁ + (m₁ + m_m₂ + m₂)g = τ₁ (m₂ + k_r2² I_m₂) ¨d₂ = τ₂

τ₁, τ₂

Remarque:

(20)

Problème dynamique direct et inverse

Problème dynamique direct

• La résolution du problème dynamique direct est utile pour simuler le comportement d’un robot

- Nombre d’operations nécessaires pour calculer la dynamique directe d’un robot à n articulations:

• La résolution du problème dynamique inverse est utile pour la planification de trajectoire d’un robot et pour la mise en oeuvre des algorithmes de contrôle

- Nombre d’operations nécessaires pour calculer la dynamique inverse d’un robot à n articulations:

Déterminer pour t^>t₀, les accelerations articulaires (et ainsi , ) qui résultent des couples appliquées aux articulations , et éventuellement des forces appliquées à l’effecteur , lorsque , sont connus (à savoir l’état initial du système est donné)

Remarque:

Problème dynamique inverse

Déterminer les couples sur les articulations qui sont nécessaires pour

génerer le mouvement specifié par les accelerations, vitesses et positions , , des articulations, lorsque les forces sur l’effecteur (si elles existent), sont connues

q(t) q(t)˙

q(t)¨ q(t˙ ₀) q(t₀)

h_e(t)

τ(t)

q(t) ˙¨ q(t) q(t) h_e(t)

O(n) O(n²)

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Plan des travaux pratiques (par binôme)

TP1 14 mars (salle TP204,

13h30-17h30) Modèle géométrique (Matlab)

15h00-17h30) Modèle cinématique (Matlab)

13h30-17h30) Découverte du robot Stäubli TX60

DS2 16 mars (salle TP202,

13h30-15h00) Chapitres 3.2 et 3.3