Annexe 2 : Cas d’un caractère quantitatif continu

Seconde -Lycée Desfontaines 1/3 Corrigé de l’annexe 2

Annexe 2 : Cas d’un caractère quantitatif continu

Superficie du logement enm²sur un échantillon de 1000 foyers :

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[ Total

Effectifs 110 130 208 160 129 212 51 1000

1. Quelle est la population étudiée dans cette étude statistique ? La population étudiée est un échantillon de 1000 foyers.

Combien y a t il d’individus ?Cette population compte 1000 individus.

2. Quel est le caractère étudié ?

Le caractère étudié sur chacun des foyers est leur superficie.

De quel type de caractère s’agit-il ? Il s’agit d’un caractère quantitatif continu.

Combien y a-t-il de classes statistiques ?Il y a 7 classes statistiques.

Citons-en une et donnons son amplitude ainsi que son centre :

Une classe statistique de cette étude est la classe[60 ; 80[d’amplitude 80-60=20 et de centre 60 + 80

2 = 70.

3. Complétons le tableau suivant :

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[ Total

Effectifs (ni) 110 130 208 160 129 212 51 N=1000

Fréquences (fⁱ =ni

N) 0.11 0.13 0.208 0.160 0.129 0.212 0.051 1

4. (a) Complétons le tableau des effectifs cumulés croissants :

Bornes des classes 20 30 40 60 80 100 140 200

Effectifs cumulés croissants 0 110 240 448 608 737 949 1000

(b) Que représentent les nombres 0, 737 et 1000 de la ligne des effectifs cumulés croissants :

Le nombre 0 de la ligne des effectifs cumulés croissants représente le nb de foyer ayant une superficie strictement inférieure à 20 m².

Le nombre 737 de la ligne des effectifs cumulés croissants représente le nb de foyers ayant une superficie strictement inférieure à 100 m².

Le nombre 1000 de la ligne des effectifs cumulés croissants représente le nb de foyers ayant une superficie strictement inférieure à 200 m².

(c) Combien de logements ont une superficie de moins de 60 m²?

D’après le tableau des effectifs cumulés croissants,448logements ont une superficie de moins de 60 m².

5. Le but de cette question est de tracer l’histogramme de cette série en choisissant1cm pour une amplitude de 10 sur les classes et0.25cm²pour un effectif de 10 foyers :

L’histogramme est la représentation graphique la plus utilisée pour représenter une série statistique dont l’étude porte sur un caractère quantitatif continu.

Méthode : Pour réaliser un histogramme, il faut : - représenter les classes sur un axe horizontal.

- représenter des rectangles dont les aires (et non pas les hauteurs) sont proportionnelles aux effectifsni. Afin de tracer ces rectangles,il nous faut déterminer la largeur et la hauteur de chacun d’eux.

(a) Déterminer la largeur de chacun des rectangles :

Sachant qu’une amplitude de 10 est représentée sur l’axe horizontal par un écart de 1cm, on en déduit facilement la largeur de chacun des rectangles à tracer.

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[

Amplitude aⁱ 10 10 20 20 20 40 60

Largeur du rectanglel_ien cm 1 1 2 2 2 4 6

(b) Déterminons maintenant la formule donnant la hauteur d’un rectangle en fonction de sa largeur et de l’effectif qu’il représente :

Notonslⁱ la largeur etHⁱ la hauteur d’un rectangle représentant un effectif nⁱ. L’aire de ce rectangle est doncli×Hi.

Or les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs donc, sachant que 0.25cm² représente un effectif de 10, on a le tableau de proportionnalité suivant :

Aire 0.25 cm² li×Hi

Effectif 10 ni

D’où ni×0.25 =li×Hi×10 d’où

Hⁱ= nⁱ×0.25

10×li

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(c) Complétons alors le tableau suivant :

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[

Effectifs nⁱ 110 130 208 160 129 212 51

Largeur du rectanglel_ien cm 1 1 2 2 2 4 6

Hauteur du rectangleHien cm 2.75 3.25 2.6 2 ≈1.6 1.325 ≈0.21

(d) Tracer alors l’histogramme de cette série en choisissant1cm pour une amplitude de 10 sur les classes et 0.25cm² pour un effectif de 10 foyers :

20 30 40 60 80 100 140 200

10 foyers

superficie en m²

Dans toutes les questions qui suivent,on considère une répartition régulière à l’intérieur de chaque classe statistique.

6. (a) Construire, à partir du tableau des effectifs cumulés croissants, le polygone des effectifs cumulés croissants :

Pour construire le polygone des effectifs cumulés croissants (dans le cas d’un caractère quantitatif continu), il faut :

- placer dans un repère tous les points de coordonnées (borne d’une classe, effectif cumulé correspondant).

- relier ces points par des segments.

La graduation de l’axe des abscisses doit commencer à la première borne de la première classe statistique et celle de l’axe des ordonnées à l’ effectif cumulé correspondant, cad nécessairement 0.

Superficie Effectif cumulé croissant

−

−

−

−

−

−

−

−

−

0 100 200 300 400 N

2

= 500

570

600 700 800 900 N= 1000

| | | | | | | | | | | | | | | |

20 30 40 50 60

M= 67

70 ⁷⁵80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180

−

+ +

+

+

+

+

+ +

(b) Déterminons, grâce à ce polygone, une estimation du nombre de foyers ayant une superficie stricte- ment inférieure à 75 m²

Le point du polygone d’abscisse 75 a pour ordonnée 570 donc puisqu’on suppose une répartition régulière à l’intérieur de chaque classe statistique , on peut estimer qu’il y a 570 foyers de superficie strictement inférieure à 75 m².

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7. Complétons le tableau suivant donnant le centre des classes et calculons la superficie moyenne des 1000 foyers :

Pour calculer la moyenne x¯ d’une série portant sur un caractère quantitatif continu, on utilise les mêmes formules que dans le cas d’un caractère quantitatif discret :x¯=n₁x₁+n₂x₂+. . .

N = 1

N

Xnixi

ou¯x=f₁x₁+f₂x₂+· · ·=X

fixi où lesxi désignent alors les centres des classes.

(ceci n’est valable que dans le cas où nous supposons une répartition régulière à l’intérieur de chaque classe statistique)

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[

Centre des classes 25 35 50 70 90 120 170

Effectifs 110 130 208 160 129 212 51

La superficie moyenne de ces 1000 appartements est donc

¯

x= 110×25 + 130×35 + 50×208 +· · ·+ 51×170

1000 =74620

1000 = 74.62≈75m².

(en fait, il s’agit d’une moyenne de moyennes ; en effet, on considère en fait qu’en moyenne 110 foyers ont une superficie de 25 m², 130 une superficie de 35 m²et ainsi de suite, puis on calcule la moyenne avec ces données)

8. Déterminons la superficie médiane des 1000 foyers et donnons une interprétation : On rappelle que la médiane d’une série est un réel, notéM tel que :

- au moins50%des valeurs de la série sont inférieures ou égales àM. -au moins50%des valeurs de la série sont supérieures ou égales àM.

Dans le cas d’une série portant sur un caractère quantitatif continu, une valeur approchée de la mé- diane est alors l’abscisse du point d’ordonnée N

2 du polygone des effectifs cumulés croissants.

La médiane est l’abscisse du point du polygône des effectifs cumulés croissants d’ordonnée N 2 = 500.

D’après le graphique, la superficie médiane des foyers est donc d’environ67m².

Interprétation :Cela signifie qu’au moins50%des logements ont une superficie inférieure ou égale à 67 m² et qu’au moins50%des logements ont une superficie supérieure ou égale à 67 m².

9. Le but de cette question est de déterminer la ou les classes modales :

Dans le cas d’un caractère quantitatif continu, on ne parle pas de mode mais de classe modale ; une classe modale est une classe ayant le plus grand effectif par unité d’amplitude, cad une classe donnant dans l’histogramme, un rectangle ayant la plus grande hauteur.

(a) Complétons le tableau suivant donnant les effectifs par unité d’amplitude :

Superficie [20 ; 30[ [30 ; 40[ [40 ; 60[ [60 ; 80[ [80 ; 100[ [100 ; 140[ [140 ; 200[

Amplitudeai 10 10 20 20 20 40 60

Effectifsni 110 130 208 160 129 212 51

Effectifs par unité d’amplitude ni

a_i 11 13 10.4 8 6.45 5.3 0.85

(b) Déterminons alors la ou les classes modales et donnons une interprétation :

Une classe modale est une classe ayant le plus grand effectif par unité d’amplitude ; c’est donc la classe[30 ; 40[. (remarquons que c’est celle donnant un rectangle le plus haut dans l’histogramme.) Interprétation : Cela signifie que les superficies les plus fréquemment observées parmi ces 1000 logements sont comprises entre 30 et 40m².

10. Déterminer un encadrement de l’étendue de cette série statistique :

On rappelle que l’étendue d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par un caractère. Dans le cas d’un caractère continu, ne connaissant pas les valeurs exactes de la plus grande et de la plus petite des valeurs prises mais seulement un encadrement de chacune d’elles, on ne peut déterminer qu’un encadrement de l’étendue.

Soitel’étendue.e=S^max−S^min (Spour superficie)

OrS^max∈[140 ; 200[donc140≤S^max<200.

et Smin∈[20 ; 30[donc20≤Smin<30d’où −30<−Smin≤ −20.

d’où en ajoutant membre à membre,140−30< e <200−20d’où110< e <180.